初中数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数2二次函数的图象和性质 优秀奖

中物理沪科版数学九年级上册第21章二次函数与反比例函数

知识回顾二次函数y=a(x+h)2+k的图像与性质y=a(x+h)2+k

图像

开口方向

开口大小

顶点坐标

对称轴

增减性

最值

a>0a<0yxoyxoyxoyxoh>0,k>0h>0,k<0h<0,k>0h<0,k<0yxoyxoyxoyxoh>0,k>0h>0,k<0h<0,k>0h<0,k<0开口向上开口向下越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大.(-h,k)最低点(-h,k)最高点直线x=-h当

x=-h

时，y最小值=k当x=-h时，y最大值=k即x>-h时，y随x的增大而减小；即x>-h时，在对称轴的左侧，即x<-h时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，即x<-h时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y=ax2y=ax2+k(0,0)(0,k)y轴(直线x=0)y轴(直线x=0)上下平移个单位当

k>0

时，向上平移；当

k<0

时，向下平移.y=a(x+h)2(-h,0)直线x=-h左右平移

个单位当h>0时，向左平移；当h<0时，向右平移.左右平移

个单位当h>0时，向左平移；当h<0时，向右平移.上下平移个单位当

k>0

时，向上平移；当

k<0

时，向下平移.y=a(x+h)2+k(-h,k)直线x=-h①先左右平移∣h∣个单位，再上下平移∣k∣个单位.②先上下平移∣k∣个单位，再左右平移∣h∣个单位.知识回顾知识回顾纵坐标上加下减；点上下平移时，1、点平移的规律.点左右平移时，横坐标不变，横坐标左减右加，纵坐标不变.直线y=kx+b，平移时k不变2、直线平移的规律.直线y=kx+b，上下平移时，左右平移时，b上加下减；x左加右减.3、抛物线平移的规律.抛物线y=a(x+h)2+k，上下平移时，k上加下减.平移时a不变抛物线y=a(x+h)2+k，左右平移时，x左加右减.2(x-)2

32=2[x2-3x]+()2求代数式2x2-6x+7的最小值.解:∵2x2-6x+7=2(x2)又∵

∴

∴

2x2-6x+7的最小值是

≥0课前热身+7-3x3232-()2+7=2(x-)2

52+322(x-)2+5232≥5252提取二次项系数

一次项系数绝对值一半的平方配方：化简整理加上再减去探究新知

思考：通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图像特点，你认为怎样画函数y=-2x2-8x-7

的图像较简便？我们可以先将这个函数的表达式配方，得y=-2x2-8x-7

=-2(x2)-7+4x=-2(x2+4x

)-7+22-22=-2(x2+4x+22)

-7+8=-2(x+2)2+1对称轴是

可见，函数

y=-2x2-8x-7

的图像是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(-2,1)，直线x=-2.探究新知

思考：通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图像特点，你认为怎样画函数y=-2x2-8x-7

的图像较简便？列表：x

-2y=-2(x+2)2+1-32-1-120···112-1-72-7···-52-3-72-4······12-1-72-7描点、12345-5-4-3-2-1123-3-2-1-4-6-5-8-7连线，即得函数y=-2x2-8x-7的图像.y=-2x2-8x-7

对应练习：用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后利用描点法画出函数图像.

(1)y=2x2+8x+5(2)y=x2+2x-113解:(1)配方，得y=2(x+2)2-3该抛物线开口向上，顶点坐标是(-2,-3)，对称轴是直线x=-2.列表：x

-2y=2(x+2)2-3-32-1-120···-3-1325···-52-3-72-4······-52-52-1325

对应练习：用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后利用描点法画出函数图像.

(1)y=2x2+8x+5(2)y=x2+2x-113解:(2)配方，得y=(x+3)2-4该抛物线开口向上，顶点坐标是(-3,-4)，对称轴是直线x=-3.列表：x

-3y=x2+2x-1-10···-4······1313-21-113-83-143-6-5-7-4-113-83-143···y=ax2+bx+c的图像特点是怎样的？从中可看出函数有哪些性质？解：如果将这个函数表达式配方，则有=a[x2+x]+()2y=ax2+bx+c=a(x2)+c+xb2a-()2b2a+c提取二次项系数

一次项系数绝对值一半的平方配方：化简整理加上再减去baba=a[x2+x]+()2b2a-b24a+cba=a(x+）24ac-b24ab2a+y=ax2+bx+c的图像特点是怎样的？从中可看出函数有哪些性质？解：如果将这个函数表达式配方，则有y=ax2+bx+c=a(x+）24ac-b24ab2a+当a>0时，开口向上；顶点坐标：当a<0时，开口向下.(-,)b2a4ac-b24a对称轴：直线

x=-b2a归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质y=ax2+bx+c

图象

开口方向

开口大小

顶点坐标

对称轴

增减性

最值

a>0a<0开口向上开口向下越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大.(-,)b2a4ac-b24a直线

x=-b2ayxoyxo即x>-时，在对称轴的左侧，即x<-时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；b2ab2a即x>-时，在对称轴的左侧，即x<-时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；b2ab2a当x=时，y最小值=b2a-4ac-b24a当x=时，y最大值=b2a-4ac-b24a对应练习1、二次函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4

C.5

D.62、抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是()A.(1,1)B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-1,3)3、如果抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为(1,-2),那么b=

，c=

.AC-40对应练习4、二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示，下列说法中错误的是()A.函数图像与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1，-3)C.函数图像与x轴的交点坐标是(3,0)、(-1,0)D.当x<0时，y随x的增大而减小5、抛物线y＝3x2-5x的最低点坐标是

，可由抛物线y＝3x2向____平移____个单位，再向____平移

个单位得到．当x

时，函数y随x的增大而减小；当x

时，函数y随x的增大而增大；当x＝

时，函数取得最____值，y最

＝

．B(,-)562512右56小251256<56>56下小值-2512对应练习6、【中考·荆州】将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为()8、把抛物线y=ax2+bx+c的图像先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的表达式是y=x2-3x+5，则a+b+c的是时

.7、将函数y=x2+x的图像向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为()A、1B、2C、3D、4A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6

D.y=(x-4)2+6B1B9、如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，那么()直线

x=-b2a方法规律：抛物线开口向下时，(1)由开口方向可确定a的符号，抛物线开口向上时，a>0；a<0.A.a<0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a>0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0(2)

b的符号可由b2a①当对称轴在y轴的左侧时，②当对称轴在y轴的右侧时，③当对称轴在y轴为y轴时，简记”a，b左同右异”a的符号及对称轴直线x=-的位置确定.（ab>0）；（ab<0）；a，b同号a，b异号b=0.9、如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，那么()A直线

x=-b2a方法规律：A.a<0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a>0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0①当抛物线与y轴的交点在x轴的上方时，(3)抛物线y=ax2+bx+c

与y轴的交点为(0,c).③当抛物线经过原点时，c为正数；②当抛物线与y轴的交点在x轴的下方时，c为负数；c为0.(0,c)abc字母项目抛物线y=ax2+bx+c的图像与a，b，c的符号之间的关系(拓展)归纳总结字母的符号图象的特征a＞0a＜0开口向上开口向下ab＞0(即a,b同号)ab＜0(即a,b异号)b=0c=0c＞0c＜0对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴在y轴图象经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交

a，b左同右异10、已知y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论：①abc>0；

②2a-b=0；

③a+b+c＜0；

④a-b+c＞0；

⑤(a+c)2＜b2；

⑥3a+c>0；

⑦m(ma+b)+b＜a(m≠-1).其中，正确的结论是

.(填序号)√√√√√×√①②③④⑤⑦11、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCDBa<0,b<0a>0,b>0a<0,b<0a<0,b<0a>0,b<0a>0,b>0a<0,b>0a<0,b<012、若A(-,y1)，B(-,y2)，C(,y3)为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）

A.y1<y2<y3B.y2<y1<y2C.y3<y1<y2D.y1<y3<y21345414对应练习13、在抛物线y=ax2-2ax-7上有A(-4,y1)，B(2,y2)，C(3,y3),三点，若抛物线开口向下，则y1，y2，y3

的大小关系为

.Ay1<y3<y214、已知二次函数y=2x2-12x+5，则该函数图像关于x轴对称的图像表达式为

；关于y轴对称的图像表达式为

.抛物线y=ax2+bx+c：关于x轴对称的抛物线为

，关于y轴对称的抛物线为

.方法规律：y=-2x2+12x-5y=2x2-12x+5y=-ax2-bx-cy=ax2-bx+cA.B.C.或

D.-或巩固练习16、已知二次函数y=x2+(m-1)x+1，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()16、已知二次函数y=x2-2mx(m为常数)，当-1≤x≤2时，函数y的最小值为-2，则m的值是()15、已知0≤x≤

，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是

.12323232A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-1-2.5DD17、【中考·宁波】如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.解:(1)∵抛物线y=-x2+mx+3经过点B(3,0)

∴0=-32+3m+3解得m=2∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∴

抛物线的顶点坐标为(1,4).

则点P即为所求的点，交抛物线对称轴于点P，∴连接BC，17、【中考·宁波】如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.解:(2)∵

点A和点B关于对称轴直线x=1

对称∴设直线BC的表达式为y=kx+b∴当x=0时，y=-(0-1)2+4∴

点C的坐标为(0,3).p∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C

b=33k+b=0∵直线BC经过点B(3,0)，点C(0,3)此时，PA+PC的值最小解得

b=3k=-1∴直线BC的表达式为y=-x+3∴当x=1时，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2).=3y=-1+3=218、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2,4)，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，连接OA.若抛物线y=-x2-2x+c,则完成下列要求:(1)求c的值；

(2)将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△AOB的边界)，求m的取值范围(可直接写出答案).解:(1)∵把点A的坐标是(-2,4)代入y=-x2-2x+c，得4=-(-2)2-2×(-2)+c解得c=4∴

c的值为4.

抛物线的顶点在边AB上，

顶点在边OA上，18、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2,4)，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，连接OA.若抛物线y=-x2-2x+c,则完成下列要求:(1)求c的值；

(2)将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△AOB的边界)，求m的取值范围(可直接写出答案).解:(2)由(1)得到抛物线的解析式为：∴

该抛物线的顶点坐标是

(-1,5).=-(x+1)2+5

(-1