高中数学-【课堂实录】等比数列的前n项和教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE6<<等比数列的前n项和>>教学设计一、设计思想：教学理念：让不同的学生学到不同的数学，培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考问题，并从中找到乐趣和信心，体验成功的快乐。教学方法：启发引导探究发现法。在教学流程上采用：展示数学实例――提出问题――探讨方法――发现错位相减法――实现目标；在教学上采用：启发引导――激励――深化――示范；本节课采用合作探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作讨论交流为前提，以探究“等比数列前n项和”公式为活动内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对“等比数列前n项和”的深入探讨。二、教材分析：本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（人教A版）》第二章第5节等比数列的前项和的第一课时。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，又为学习“数列的求和”等内容作准备，具有承上启下的作用。在公式推导中蕴涵的数学思想方法，如：分类讨论方法等在各种数学问题中有着广泛的应用；另外错位相减法也是今后学习混合数列求和的一种重要解题方法。在本节课中，还可以通过对等比数列的前n项和公式的探究和推导，培养学生的创新思维和探索精神。学情分析：学生已掌握等差数列和等比数列的有关知识，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。毕竟本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导在具体方法上有所不同，很多学生在公式推导上会产生思维定势，教师应及时引导，直到找到解决问题的方法。当然在对公式的应用上很多学生也很容易忘记对q=1进行讨论。四、教学目标：知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及其推导，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。过程与方法：通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。情感、态度与价值观：通过对等比数列前n项和的学习，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。五、教学重点和难点：教学重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。教学难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。六、教学过程设计：教学环节合作探究活动设计意图情境引入提出问题国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，判断国王是否能实现他的诺言。师：棋盘各格所放的麦粒数，构成什么数列？生：首项为1，公比为2的等比数列。师：国王应给他多少麦粒？（用式子表示出来）生：师：如何求此数列的和？建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,有利于学生用原有的知识和经验去同化或顺应当前要学习的新知识。另外，以故事引题也能激发学生的学习兴趣和热情，调动学生的积极性，领悟“数学来源于生活”，实现数学的应用价值。知识回顾师：等比数列的定义是什么？生：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.师：等比数列的通项公式是什么？生：本节讲的是：等比数列的前n项和，结合学生的知识接受能力，我选择的是：给出知识回顾，进一步探究一般的等比数列的前n项和。合作探究对于一般的等比数列,如何求等比数列的前n项和？师：由（1）（2）两式，如何求出前n项和？小组讨论，合作完成，等比数列的前n项和的推导。师：展示其中一组同学的做法，他在相减时，选用的是：第一项对应相减，第二项对应相减，依次类推，最后变为恒等式，无法求出前n项和。师：哪位同学能够指出错误，帮助他完成前n项和的推导。生B：应该第二项与第一项相减，第三项与第二项相减，依次类推；师：请学生B上台展示。师：对于每一步，大家是否同意她的意见，有不同意见吗?生c：应该讨论q是否等于1师：当时，生：师：结合等比数列的通项公式,如何把用表示出来？生：，师：回顾整个的推导过程，用幻灯片展示，加深学生的印象，掌握错位相减法。对于等比数列求和，需要学生掌握错位相减法，先利用等比数列的通项公式给出等比数列前项和的公式另一种表达方式。通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．诱导学生的解题思路，通过猜想、思疑、讲练和验证，让学生自己去生疑，去探索，以及老师适可而止的指导，这都是调动学生参与教学的有效手段。认识公式师：思考1运用前n项和公式，需要注意什么问题？生：q是否等于1.师：对于五个基本量，知道几个量可求出其他量？考虑q不等于1的情况。给出三道小题，让学生说出选用的是哪个公式?生：作出回答。师：总结:知三求二。剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式.问题解决问题1：国王应给他多少麦粒？问题2：假定千粒麦子的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。这个数很大，超过了，总质量超过了7000亿吨，因此，国王不可能实现他的诺言。学以致用，将所学知识应用到实际生活中，增加学生学习的兴趣。例题讲解变式训练例1：求下列等比数列前8项的和：例2：如果一个等比数列的前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？首先，学生独立思考，自主解题，再请学生说一下具体的解法，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。通过变式，深化学生对公式的认识与理解。知识巩固

、巩固所学内容，进而检验学生对本节课内容掌握如何。课堂小结知识：①②,五个量，已知三个，可求出其它两个。推导等比数列前n项和的方法：错位相减法。数学思想：分类讨论的思想；通过知识小结，使学生各自体会收获。作业设计注意分层教学和因材施教，让有些同学能吃饱，同时选做题也为下节课做铺垫，以培养学生探索问题的能力和创新精神。七、教学反思:整节课采取了“情境——问题”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境，抽象出解决一般问题的方法，在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。同时，运用了学案，成果展示等新的教学理念。既保留了传统教学的优势，又增添了新式教学的辅助。新老结合，效果显著。情境的反思：在选用情境时，我搜寻了很多教学资料，我采用本节课的情景，自认为比较贴近学生的生活，也不会缺乏与时俱进的教育理念支撑，更不缺乏和谐与幽默，有较强的感染力。当然在上课的过程中学生的积极性较高。2．合作探究的反思：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下，不断经历观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，体验等比数列前n项和公式的“在创造”过程，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。本节课创设了一系列“数学探究”活动，让学生边观察，边思考，边讨论。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维参与和行为参与，鼓励学生发现数学的规律和问题的解决的途径，使他们经历知识形成的过程。在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。3．例题与变式的反思：我采用了2个较简单的例题，但不乏典型性。例1（1）问中直接套用前n项和;第（2）问中设计了公比为负的障碍，在（2）问探讨求和的不同方法。变式：探讨偶数项是公比为的等比数列，进而训练学生的思维，突出表现五个基本量“知三求二”的关系,进一步提高学生运用知识的能力；例2体现整体代换的方法，培养学生思维的深刻性和灵活性.4．作业的反思：我在作业布置时做了一个新尝试分层作业，这就符合新课程理念：注意分层教学和因材施教，让不同层次的学生都各有收获，对于能力强的学生，可以培养他们勇于探索的良好的品质，达到很好的学习效果。5、从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等比数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高是有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们可以从一节课中吸取精华，让一节又一节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。学情分析学生在学本节课之前已经学习了：等差数列的定义及前n项和，等比数列的定义等，对于等比数列有了一定的知识基础.对于等比数列前n项和的推导，通过适时的引导，可以做到小组讨论、合作完成推导过程。我所授班级学生比较活跃，合作意识比较强，敢于实验质疑，针对我班学生特点，我将以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。为此，课前学习准备方面，我准备让学生以小组为单位，利用《课前导学案》，预习本节课要学习的内容。紧接着，给出一般的等比数列前n项和的形式，借用通项公式，将每一项写成首项和公比的形式；再构造第二个等式，由学生思考、讨论由这两个式子，如何求出前n项和?问题的解决完全让学生动手完成，通过学生的参与、比较、交流、总结，让学生自主完成前n项和的推导。但是，部分学生对解题的思想方法，理解的不是很透彻，知识的来龙去脉仅仅停留在模仿的知识层面，因此还需教师进行及时地引导和帮助,以达到很好的学习效果。效果分析本节课是《等比数列的前n项和》的第一课时，学生在学习了等比数列的概念、等差与等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式前提下学习的，对于本节课所需的知识点和探究方法都有了一定的储备。本节课一开始，我选用了课本上的“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。本节课我用心准备、精心设计、潜心专研,是我上好这节课的前提。在教学过程中,我充分体现了教学目标,抓住了教学重点,解决了教学难点,这节课的内容是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续,为学生后面学综合数列的求和做了铺垫,重点是推导等比数列的前n项和的公式以及公式的简单应用,难点是用错位相减法推导等比数列的前n项和公式以及公式应用中对q与1的讨论。本节课我注重从“知识传授”的传统模式转变为“以学生为主体”的参与模式，注重数学思想方法的渗透和良好的思维品质的养成，注重学生创造精神和实践能力的培养。本节课例子设计精巧。通过精讲一题（例1），发散变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解（例2），进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少，思考题体现数学的文化价值。这节课在民主和谐的课堂氛围里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。在教学环节上我利用小组合作学习、学生自主学习、小组讨论、学生展示、师生点评，教师总结升华，当堂检测等环节，有效地实现本节课的教学目标。在教学评价上我关注学生，不单纯看学生是否会解题，关键是看学生是否动脑，看学生的思维过程来肯定和鼓励，如在解决情景问题的过程中，学生跃跃欲试、情绪高涨、讨论激烈，可能会探究出多种解决方案，适时地鼓励与评价，使学生的进取心得到增强，是激发学生学习数学兴趣的有效途径。我通过对学生的评价，将知识点和思想方法又得到强化。总之，这节课也有不足，容量大，知识丰富，渗透整体代换、分类讨论等数学思想，对学生要求高。但通过课堂反应，教学效果好，这是我感到欣慰的地方。教材分析（一）教材的地位和作用：本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（人教A版）》第二章第5节等比数列的前项和的第一课时。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，又为学习“数列的求和”等内容作准备，具有承上启下的作用。在公式推导中蕴涵的数学思想方法，如：分类讨论方法等在各种数学问题中有着广泛的应用；另外错位相减法也是今后学习混合数列求和的一种重要解题方法。在本节课中，还可以通过对等比数列的前n项和公式的探究和推导，培养学生的创新思维和探索精神。（二）教学目标：根据课标要求，结合学生的已有的知识基础，目标制定如下：1.知识与技能：（1）掌握等比数列的前n项和公式；（2）能用等比数列的前n项和公式解决实际问题。2.过程与方法：（1）等比数列前n项和公式及其获取思路；（2）会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。3.情感态度与价值观：通过对等比数列前n项和的学习，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。提高学生的推理能力；培养学生应用意识．（三）教学重难点：重点：等比数列前n项和公式的理解、推导及应用。难点：灵活应用等比数列前n项公式解决一些简单的有关问题。等比数列的前n项和1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为（）A．63B．64C．127D．1282．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于（）A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)3．等比数列的前3项和为4，前9项和为28，它的前6项和是（）A． B．12C．或12 D．84．在递增的等比数列中，，且前n项和,则项数等于（）A．6 B．5 C．4 D．35．等比数列的前n项和为，若，则公比（）A． B． -1 C． 1 D．6．数列中为的前n项和，若，则.7.设为等比数列的前n项和，若，且，，成等差数列，则.8.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前n项和等于.9．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．答案解析：1.C2.B3.C4.C5．A6．67.3n-1.8．【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前n项和9.63【解析】因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝eq\f(1－26,1－2)＝63.课后反思本节课开始，我选用了课本上的“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推导上。在探索公式的过程中，用到了重要的方法：错位相减法。在后面的教学中，求一些特殊数列的前n项和，经常涉及到这种方法,所以说，错位相减法是一种很重要的求和方法，需要大家熟练掌握。在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处，学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。本节课例子设计精巧。我采用了2个较简单的例题，但不乏典型性。例1（1）问中直接套用前n项和;第（2）问中设计了公比为负的障碍，在（2）问探讨求和的不同方法。变式：探讨偶数项是公比为的等比数列，进而训练学生的思维，突出表现五个基本量“知三求二”的关系,进一步提高学生运用知识的能力；例2体现整体代换的方法，培养学生思维的深刻性和灵活性.我在作业布置时做了一个新尝试分层作业，这就符合新课程理念：注意分层教学和因材施教，让不同层次的学生都各有收获，对于能力强的学生，可以培养他们勇于探索的良好的品质，达到很好的学习效果。从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等比数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高是有限的，特别是数学思想的渗