空间向量基本定理及向量的直角坐标运算空间向量基本定理

3.3.1

空间向量基本定理北师大2019版高中数学选修101情景引入如图,已知是给定不共线的向量，对于任意的，

请问能用表示吗？当与共面时.01情景引入如图，已知是给定的不共线向量，对于任意的，

请问能用表示吗？当与共面时.唯一02温故知新不共线知识点一

平面向量基本定理如果向量

是同一平面内的两个

向量,那么对于这一平面内任一向量,存在

一对实数，使得

.不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.03问题探究如图，已知是给定的不共线向量，对于任意的，

请问能用表示吗？当与不共面时.03如果向量

是空间三个

的向量,

是空间任一向量,不共面问题探究特殊一般03如果向量

是空间三个

的向量,

是空间任一向量,不共面问题探究过点P作三个平面分别平行于所在平面

03如果向量

是空间三个

的向量,

是空间任一向量,不共面问题探究唯一04新知讲授知识点二

空间向量基本定理如果向量

是空间三个

的向量,

是空间任一向量,那么存在

一组实数

,

使得.

不共面[思考]空间的基底唯一吗?解:不唯一,只要三个向量不共面,这三个向量就可以组成空间的一个基底.04新知讲授知识点二

空间向量基本定理

空间中不共面的三个向量

叫作这个空间的一个

,

表示向量

关于基底

的分解.基底特别地,当向量

两两垂直时,就得到这个向量的一个

分解.当时,就是标准正交分解.

正交例1

在以下三个命题中,真命题的个数是(

)①若三个非零向量

不能构成空间的一个基底,则

共面;②若两个非零向量

与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则

共线;③若

是两个不共线的向量,而

,则

构成空间的一个基底.A.0 B.1 C.2 D.305典例讲评[解析]①为真命题,构成基底的向量必须不共面;②为真命题;③为假命题,a,b不共线,当

,

共面.故只有①②为真命题.答案：C规律总结：本题重点考查了空间的基底的概念.05典例讲评练习1.已知向量是空间的一个基底，从

中选哪一个向量，一定可以与向量

构成空间向量的另一个基底？解：易知

与共面，则都不能与构成空间向量的基底；而与不共面，那么与不共面，那么，一定能与构成空间向量的基底；例题2

如图所示，在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，是棱的中点.如果，试用表示.

05典例讲评解

(1)因为而

所以规律总结：本题重点考查了用一组不共面的向量来表示空间中的任一向量,解题时注意三角形法则和平行四边形法则的应用.练习2.如图，已知三棱锥

,为

中点,

为

中点，,且

两两垂直，

(1)试用

表示

;

05典例讲评解:

(1)所以因为规律总结：本题重点考查了用一组不共面的向量来表示空间中的任一向量,解题时注意三角形法则和平行四边形法则的应用.练习2.如图，已知三棱锥

,为

中点,

为

中点，,且

两两垂直，

(2)你能选择另外一个基底来表示

吗？

05典例讲评解:

(2)例如选取

作为一个基底因为规律总结：空间的基底不唯一.练习2.如图，已知三棱锥

,为

中点,

为

中点，,且

两两垂直，

(3)试求：.

05典例讲评解:

(3)规律总结：选用空间三个不共面的向量作为基底表示其它向量，并解决一些简单问题.解题时注意根据具体问题选择合理的基底.练习2.如图，已知三棱锥

,为

中点,

为

中点，,且

两两垂直，

(3)试求：.

（4）求05典例讲评解:

(4)练习2.如图，已知三棱锥

,为

中点,

为

中点，,且

两两垂直，

(3)试求：.

（4）求05典例讲评解:

(4)知识方法1.空间向量的基本定理2.选用空间三个不共面的向量作为基底表示其它向量，并解决一些简单问题1.本节课主要运用了类比的数学推理方法，通过平面向量基本定理来学习和它类似的空间向量基本定理.2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.06课内小结07课后作业1.为空间中的四点，且向量不能构成空间中的一个基底，则（）A.共线B.

共线C.

共线D.

四点共面[答案]

D[解析]

由不能构成基底知，三个向量共面，所以四点共面.

07课后作业2.如图，在平行六面体

中，以为基底表示.解:

07课后作业3.如图，

，且两两垂直，