高中数学北师大版必修预备知识2常用逻辑用语必要条件与充分条件“百校联赛”一等奖

§2常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件王安石在《游褒禅山记》中写道“而世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。”思考：“有志”与“至”有什么关系？1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.了解真命题与推出符号的关系，领会符号语言的优越性（数学抽象）理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法（逻辑推理）掌握证明充要条件的一般方法（逻辑推理）我们约定：若p，则q为真，记作：或若p，则q为假，记作：探究一

充分条件与必要条件提示：两三角形全等两三角形面积相等例如：1.如果两个三角形全等，那么两三角形面积相等.

提示：两个三角形面积相等两三角形全等2.如果两个三角形面积相等，那么两三角形不一定全等.用符号与填空.

（1）x2=y2x=y；

（2）内错角相等两直线平行；

（3）整数a能被6整除a的个位数字为偶数；

（4）ac=bca=b. 【即时训练】

充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作

，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．例如：“x>3”是“x>2”充分条件，“x>2”是“x>3”的必要条件解析:命题(1)是真命题,命题(2)是假命题.

所以,命题(1)中的p是q的充分条件.例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若x=1,则x2-4x+3=0;(2)若x为无理数,则x2为无理数.下列条件中哪些是a+b>0的充分条件？a>0，b>0②a<0,b<0④a>0，b<0且|a|>|b|③a=3,b=-2思路分析：先给多个p，进行选择，通过选择，感知p的不唯一性.答案：①③④【变式练习】解析:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若x=y,则x2=y2;(2)若x<3,则x<5;(3)若a>b,则ac>bc.pq，相当于pq，p足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.从集合的角度来理解充分条件、必要条件pqp【提升总结】一般地，如果既有p

q，又有q

p，就记作

p⇔

q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficientandnecessarycondition）.概念！探究2

充要条件

显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔

q，那么p与q互为充要条件.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？提示：p是q的充分条件，p不是q的必要条件；p是q的必要条件，p不是q的充分条件；即p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件p与q之间的四种逻辑关系：p是q的充要条件；p是q的充分不必要条件；p是q的必要不充分条件；p是q的既不充分条件，也不必要条件.判断p是q的什么条件，并填空：（1）

p：

x

是整数是q：x是有理数的

；（2）

p：

ac＝bc是q：a＝b的

；（3）

p：

x＝3

或x＝-3是q：x2＝9

的

；（4）

p：同位角相等是q：两直线平行的

；（5）p：(x-2)(x-3)＝0

是q：x+2＝0的__________________．充分不必要条件充要条件充要条件既不充分也不必要条件

必要不充分条件【即时训练】充分条件与必要条件核心知识方法总结易错提醒核心素养

（2）集合法:A⊆B,A是B的充分条件，B⊆A,A是B的必要条件.（1）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向（2）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养充分条件必要条件充要条件判断与证明应用1.x∈N是x∈Q的_____________.（用“充分条件”、“必要条件”、“充要条件填空”）充分条件【解析】因为x∈N能够推出x∈Q,但x∈Q推不出x∈N,所以x∈N是x∈Q的充分条件,x∈Q是x∈N的必要条件。2.设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B【解析】选B.因为|x-1|<1,所以0<x<2;又因为0<x<2⇒0<x<5;而由0<x<5不能推出0<x<2.所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.（1）p:菱形q:正方形（2）p:x>4q:x>1解：(1)由图１可知p是q的必要条件

(2)由图２可知p是q的充分条件p:菱形q:正方形图１qp014图２3.用集合的方法来判断下列哪个p是q的充分条件，哪个p是q的必要条件?（用或填写）由小推大4.判断正误

p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；则p是q的充要条件.(