高中数学苏教版必修常用逻辑用语全称量词命题与存在量词命题“十校联赛”一等奖

2.3全称量词命题与存在量词命题第2章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理)3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)课前篇自主预习情境导入在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,这些人自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀.你们觉得他能不能给自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸,他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑推理方法进行分析了.知识点拨一、全称量词与全称量词命题1.全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.2.全称量词命题含有全称量词的命题称为全称量词命题,它的一般形式可表示为:∀x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.名师点析

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.由于全称量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下:命题全称量词命题“∀x∈M,p(x)”表述形式①对所有的x∈M,都有p(x)成立;②对一切x∈M,都有p(x)成立;③对每一个x∈M,都有p(x)成立;④任选一个x∈M,都有p(x)成立;⑤凡是x∈M,都有p(x)成立.微练习

下列命题是否为全称量词命题?若是,请指出全称量词,并判断其真假.(1)所有的圆的圆心到其切线的距离都等于半径;(2)∀x∈R,x2>0;(3)负数的平方都是正数.解(1)是,全称量词是“所有的”,真命题.(2)是,全称量词是符号“∀”,假命题.(3)是,省略了全称量词“任意一个”,真命题.二、存在量词与存在量词命题1.存在量词“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x”.2.存在量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题,它的一般形式可表示为:∃x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.名师点析

常见的存在量词还有“有些”“对某些”等.由于存在量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下:命题存在量词命题“∃x∈M,p(x)”表述形式①存在x∈M,使p(x)成立;②至少有一个x∈M,使p(x)成立;③对有些x∈M,使p(x)成立;④对某些x∈M,使p(x)成立;⑤有一个x∈M,使p(x)成立.微思考

观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m>8;Q:存在一个m∈Z,m>8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示

(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.微练习

下列命题是真命题的是(

)A.∀x∈R,x>0B.∃x∈R,x2+2x+3=0C.有的三角形是正三角形D.每一个四边形都有外接圆答案

C解析

对A,∀x∈R,x>0显然不正确;对B,∃x∈R,x2+2x+3=0,因为Δ<0,所以方程无解,命题不正确;对C,有的三角形是正三角形,显然正确;对D,每一个四边形都有外接圆,显然不正确.故选C.三、含有一个量词的命题的否定一般地,“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x∈M,p(x)”,“∃x∈M,p(x)”的否定为“∀x∈M,p(x)”.其中,“p(x)”是对语句“p(x)”的否定.名师点析

常见关键词及其否定形式

关键词否定词等于不等于能不能至少有一个一个都没有都是不都是没有至少有一个大于不大于小于不小于至多有一个至少有两个是不是属于不属于微练习

(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(

)A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈R,x2-x+3>0”的否定是

.

(3)命题“∃x∈R,x2+1<0”的否定是

.

答案

(1)B

(2)∃x∈R,x2-x+3≤0

(3)∀x∈R,x2+1≥0课堂篇探究学习探究一全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)平面内,凸多边形的外角和等于360°;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)∀x∈{x|x>0},x+≥2.解

(1)可以改写为“平面内,所有凸多边形的外角和都等于360°”,故是全称量词命题,是真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,是真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,是真命题.反思感悟1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法(1)分析命题中是否含有量词;(2)分析量词是全称量词还是存在量词;(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.(2)要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题.变式训练1以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(

)A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使

>2答案

B探究二全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(

)A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠x D.∃x∈R,x2=x(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:①p:∀x∈R,x2-x+≥0;②p:所有的正方形都是菱形;③p:至少有一个实数x,使x3+1=0.(1)答案

D解析

原命题的否定为“∃x∈R,x2=x”,故选D.②至少存在一个正方形不是菱形,假命题.③∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0.反思感悟对全称量词命题和存在量词命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型:是全称量词命题还是存在量词命题.(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.变式训练2写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)q:某些平行四边形是菱形;(2)r:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(3)t:∃x∈R,x2+2x+2≤0.解

(1)命题q的否定是“任意平行四边形都不是菱形”,假命题;(2)命题r的否定是“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.当Δ=1+4m<0时,即当m<-时,方程x2+x-m=0没有实数根,命题r的否定为真命题;(3)命题t的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,命题t的否定为真命题.探究三由全称(存在)量词命题的真假确定参数的范围例3若命题p“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是

.

解析

命题p的否定为“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”,真命题.反思感悟应用全称(存在)量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解,也可以根据函数等数学知识来解决.(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.变式训练3是否存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.素养形成全称(存在)量词命题在不等式中的应用典例已知函数y=x2-2x+5.(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;(2)若存在一个实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.解

(1)存在.不等式m+y>0可化为m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,且m>-4.(2)不等式m-y>0可化为m>y,若存在一个实数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.又y=(x-1)2+4,∴ymin=4,则m>4.故实数m的取值范围是(4,+∞).点评一般地,对任意的实数x,a>y恒成立,只要a>ymax;若存在一个实数x,使a>y成立,只需a>ymin.当堂检测1.(2020广东广州期末)设命题p:∀x∈[0,1],都有x2-1≤0.则命题p的否定为(

)A.∃x∈[0,1],使x2-1≤0B.∀x∈[0,1],使x2-1≥0C.∃x∈[0,1],使x2-1>0D.∀x∈[0,1],使x2-1>0答案

C解析

根据全称量词命题的否定为存在量词命题,命题p:∀x∈[0,1],都有x2-1≤0的否定为∃x∈[0,1],使x2-1>0.故选C.2.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)设命题p:∃k∈N,k2>2k+3,则命题p的否定为(

)A.∀k∈N,k2>2k+3 B.∃k∈N,k2<2k+3C.∀k∈N,k2≤2k+3 D.∃k∈N,k2≤2k+3答案

C解析

因为命题p:∃k∈N,k2>2k+3,所以其否定为∀k∈N,k2≤2k+3.故选C.3.(2020江苏南京外国语学校高一月考)下列命题为真命题的是(

)A.∃x∈Z,1<4x<3 B.∃x∈Z,15x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0 D.∀x∈R,x2+x+2>0答案

D4.命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是

(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),命题p是

(填“真”或“假”)命题,命题p的否定为

.

答案

存在量词命题

假

∀x∈R,x2+2x+5