第五章控制系统计算机辅助分析

第五章控制系统计算机辅助分析第一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的计算机辅助分析是以理论分析为依据，在已建立控制系统数学模型的基础上，通过编程实现对系统稳定性、稳态性能和瞬态性能进行分析的一门应用型技术。MATLAB以其灵活的编程、丰富的工具箱和强大的图形功能成为目前人们公认使用最方便的控制系统辅助分析软件。本章在简单介绍系统分析基础理论的基础上，主要讲述利用MATLAB实现线性定常系统稳定性分析的方法以及基于MATLAB的对控制系统瞬态性能进行分析的域法、频域法和根轨迹法。第二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析稳定是动态系统最重要的特性，也是控制系统能够正常工作的前提条件。只有稳定的系统才能够完成预定的控制任务。稳定性的严格的数学定义是俄国科学家李雅普诺夫于1892年提出的，一直沿用至今。经典控制理论中的系统稳定实质是指李雅普诺夫意义下的渐近稳定。即受到扰动影响，控制系统将偏离平衡状态，如果扰动消除后，系统能够回复到原来的平衡状态，就称系统平衡状态是渐近稳定的。在分析线性系统的稳定性时，关心的是系统的运动稳定性，即系统在不受任何外界输入作用时，系统方程的解在时间t趋于无穷时的渐近行为。可以证明，对于线性系统运动稳定性和平衡状态稳定性是等价的。线性定常连续系统稳定的充要条件是：所有的闭环极点都位于复平面的左半部。线性定常离散控制系统稳定的充要条件是：所有的闭环极点均位于复平面上以坐标原点为圆心的单位圆以内。因此判断系统稳定性的最直接的方法是求出系统全部的闭环极点，根据闭环极点在复平面上的位置判别系统的稳定性。第三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析一.特征方程根的求取n阶的线性定常系统，其特征方程是一个n次代数方程。特征方程的根即为系统的闭环极点，MATLAB提供了求取特征方程根的函数roots()，其调用格式为式中，P为特征多项式的系数向量，返回值V是特征根构成的列向量。对于n维状态方程描述的系统系统矩阵Ａ为n×n阶方阵，那么为系统的特征多项式。第四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析MATLAB提供了求取矩阵特征多项式的函数其中返回值P为n+1维行向量，各分量对应为矩阵特征多项式按降幂形式排列时的各项系数，即：MATLAB还提供了一个可以直接求取矩阵特征值的函数eig()，其调用格式为其中D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。调用该函数时，也可以给出两个返回值：其中V是由与特征值相对应的特征向量构成的矩阵。第五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析二.利用传递函数的极点判断系统的稳定性控制系统传递函数(或脉冲传递函数)以有理真分式形式给出时，MATLAB提供的函数tf2zp()和pzmap()可以用来求取系统的零点和极点，进而实现对系统稳定性的判断。【例5.1】已知控制系统结构图，如图5.1所示。图5.1例5.1图求取系统的闭环极点，并判别闭环系统的稳定性。解n1=30;d1=[0.5,1];%输入环节1的数学模型n2=[0.2，0.4];d2=[0.25,1,0];%输入环节2的数学模型Gkn=conv(n1,n2);Gkd=conv(d1,d2);%求取系统的开环传递函数[num,den]=cloop(Gkn,Gkd);%求取系统的闭环传递函数P=roots(den);%求取系统的闭环极点Disp(‘系统的闭环极点为’)，disp(P)输入下面的命令，MATLAB可给出稳定性判别的结果及位于右半复平面的极点ss=find(real(P)>0);tt=length(ss);if(tt>0)disp(‘系统不稳定’)disp(‘位于右半复平面的极点为’)，disp(P(ss))elsedisp(‘系统是稳定的’)end图5.1第六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析【例5.2】已知离散控制系统闭环脉冲传递函数判别系统的稳定性。解：MATLAB程序为Num=[２,3,-1,0.6,3,２];den=[6,4,-1,0.6,3,0.8];[Z,P]=tf2zp(num,den);ss=find(abs(P)>1);tt=length(ss);if(tt>0)disp(‘系统不稳定’)disp([‘位于z平面单位圆外的极点有’int2str(tt)‘个，分别为’])，disp(P(ss))elsedisp(‘系统是稳定的’)end这里也可以调用MATLAB提供的函数pzmap()来绘制闭环系统的零极点分布图，>>pzmap(num,den);title(‘零极点分布图’)再用下面的语句绘制一个以坐标原点为圆心的单位圆，闭环系统的稳定性则清楚可见。>>holdon;sgrid([],1)若采用带返回变量的调用格式，该函数可用于求取系统的零点和极点。[P，Z]=pzmap(num,den)其中的P、Z分别是由系统的极点和零点构成的列向量。第七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析三.利用李雅普诺夫第二法判别系统的稳定性线性定常连续系统当A非奇异时，系统有唯一的平衡状态，如果该平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的。李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给出的正定实对称矩阵Q都存在一个正定的实对陈矩阵P满足下面的方程那么，系统的平衡状态是渐近稳定的，并且标量函数就是系统的李雅普诺夫函数。为了方便，常取Q为单位矩阵。MATLAB提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap()，其调用格式为第八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析【例5.3】系统状态方程为确定系统的平衡状态，判断平衡状态的稳定性。解：MATLAB程序为A=[1,2,0;-6,-2,3;-3,-4,0]；[m,n]=size(A);if(n~=m)disp(‘输入错误，系统矩阵不是方阵’)，breakelseif(rank(A)<m)disp(‘系统平衡状态不止一个’)breakelseQ=eye(size(A));P=lyap(A,Q);forii=1:mdetp(ii)=det(P([1:ii],[1:ii]));endss=find(detp<=0);tt=length(ss);if(tt>0)disp(‘系统平衡状态是不稳定’)elsedisp(‘P正定，系统在原点处平衡状态是渐近稳定的’)endendend第九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的稳定性分析线性定常离散控制系统其平衡状态在李雅普诺夫意义下渐近稳定的充要条件是：对于任意给出的实对称矩阵Q存在正定的实对称矩阵P，使得李雅普诺夫方程成立，而且是系统的李氏函数。MATLAB中，求解离散系统李雅普诺夫方程的函数是dlyap()，判别平衡状态稳定性时，只需编程，对于任意给定的Q阵，判别李雅普诺夫方程的解P阵的定号性。第十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析一.时域分析的一般方法控制系统数学模型的时域形式一般有微分方程、差分方程和状态空间表达式等。时域内对控制系统进行分析时，应先求取系统在典型输入信号作用下的时间响应，然后以系统时间响应为依据分析系统的动态性能和稳态性能。1.典型输入信号实际系统承受的外作用形式多种多样，为了便于用统一的方法研究并比较系统的性能，人们约定了一些典型形式的输入信号。这些信号在现场和实验室中容易得到，它们的数学表达式简单，便于理论计算，而且对实际系统有代表性。常用的典型输入信号见表5-1。第十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析第十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析2.控制系统动态性能指标对于稳定的系统，通常用描述系统阶跃响应特征的一些参数来评价其性能的好坏。1)最大超调量(简称超调量)瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数，即式中，和分别是输出响应的最大值和稳态值。2)峰值时间输出响应超过稳态值第一次达到峰值所需要的时间。第十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析3)上升时间输出响应第一次达到稳态值的时间，或由稳态值的上升到所需的时间。4)延迟时间输出响应第一次达到稳态值所需的时间。5)调节时间或过渡过程时间当和之间误差达到规定的允许值(一般取的或，称允许误差范围，用表示)，且以后不再超出此值所需的时间称为调节时间，即以后有(或)6)振荡次数在调节时间内，偏离振荡的次数。第十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析3.控制系统稳态性能指标单位负反馈控制系统中，误差定义为稳态误差是指稳定的系统在外作用下，经历过渡过程后进入稳态时的误差，即不同输入信号作用下系统的稳态误差可以根据表5-2进行计算。第十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析表中0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统是根据系统开环传递函数Gk(s)中所含积分环节的个数定义的，Kp为系统的静态位置误差系数、Kv为系统的静态速度误差系数、Ka为系统的静态加速度误差系数，分别定义为第十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析二.常用时域分析函数常用时域分析正数见表5-3。第十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析三.时域分析应用实例【例5.4】已知控制系统传递函数利用拉普拉斯变换法求系统的脉冲响应函数，并绘制响应曲线。解：输入为理想单位脉冲，。在MATLAB命令窗口执行下面的语句，>>symss>>y=ilaplace(1*(25/(s^2+2*s+25)))y=-25/96*(-96)^(1/2)*(exp((-1+1/2*(-96)^(1/2))*t)-exp((-1-1/2*(-96)^(1/2))*t))输入下面的程序可得如图5.2所示的响应曲线。t=[0:0.01:5];y=-25/96*(-96)^(1/2)*(exp((-1+1/2*(-96)^(1/2))*t)-exp((-1-1/2*(-96)^(1/2))*t));plot(t,y)第十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析【例5.5】已知控制系统闭环传递函数，绘制控制系统阶跃响应曲线。解：num=[4.8,28.8,24);den=[1,9,26,24];step(num,den)grid%给图形添加网格线鼠标置于图形上，右击鼠标，在快捷菜单中选择Grid(网格)功能也可以给图形添加网格线。鼠标置于Characteristics(特性)项，在子菜单中选择PeakResponse(响应峰值)、SettlingTime(调整时间)、RiseTime(上升时间)和SteadyState(稳态值)，MATLAB将在响应曲线上标出这些点的位置。将鼠标置于响应曲线的任意位置，单击，MATLAB都将显示与该点对应的时间及响应值。完整的阶跃响应曲线如图5.3所示。第十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析【例5.6】在同一个坐标系中绘制典型二阶系统、具有零点的二阶系统和三阶系统的阶跃响应曲线，并比较它们的性能。系统的传递函数分别为(1)(2)(3)解：num1=3.2;%系统1分子多项式系数den1=conv([1,0.8+1.6*j],[1,0.8-1.6*j]);%系统1分母为两个一阶因子的乘积num2=num1;den2=conv(den1,[0.33,1]);num3=conv(num1,[0.33,1]);den3=den1;step(num1,den1)gridholdon%保留屏幕上原有图形step(num2,den2)step(num3,den3)gtext('系统1')%用鼠标在图形窗口定位添加文本text('系统2')gtext('系统3')第二十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析系统2和系统3分别是在系统增加闭环极点和闭环零点构成的，全部的响应曲线如图5.4所示。由于增加的闭环零点或闭环极点与一对复数极点距离相对较近，复数极点的主导作用不明显。根据响应曲线可知：与系统1比较，系统2超调量降低，调整时间延长；系统3的超调量增加，调整时间缩短。第二十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析【例5.7】已知单位反馈控制系统,为其输入，为输出,系统的开环传递函数为求系统的闭环传递函数。在同一个坐标系中绘制输入信号为和时，系统的时域响应曲线和。系统响应曲线如图5.5所示。第二十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析解：编写如下所示的MATLAB程序numk=25;denk=[1,4,0];

[num,den]=cloop(numk,denk);printsys(num,den)%显示闭环传递函数t=0:0.1:5;%产生时间向量u1=1+0.2*sin(4*t);u2=0.3*t+0.3*sin(5*t);y1=lsim(num,den,u1,t);y2=lsim(num,den,u2,t);plot(t,[y1,y2])%在同一个坐标系中绘制响应曲线grid

xlabel('t(s)');%标注横坐标ylabel('y(t)');%标注纵坐标gtext(0.6,1.1,'u1');%给图形添加文本gtext(0.7,1.5,'y1');gtext(4.5,1.3,'u2');gtext(4.2,1.5,'y2');程序的运行结果为num/den=25--------------s^2+4s+25第二十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的时域分析【例5.8】控制系统状态空间表达式为

试以T=0.5(s)为采样周期，采用零阶保持器将系统离散化，设系统的初始状态为x0=[-1,1,-1]T,求离散化系统的零输入响应。解：在MATLAB命令窗口输入下面的程序，可得图5.6所示的响应曲线A=[-4,-2.5,-0.5;1.5,0,0;0,2.5,0];B=[1;2;3];C=[0,1.5,1;-3,0,-6];D=[0;0];x0=[-1,1,-1]'[G,H,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,0.5,'zoh');%连续系统的离散化dinitial(G,H,Cd,Dd,x0)第二十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析频域分析是工程上常用的一种利用频率特性对控制系统性能进行分析的方法。频域分析的一般方法有如下几种。一.频域分析的一般方法1.频率特性稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量是与输入同频率的正弦函数，不同的是其振幅和初始相位。输出稳态分量与输入正弦信号的振幅之比称为幅频特性，而它们的初始相位之差称为相频特性。频率响应与输入正弦信号的向量之比称为系统的频率特性，用表示为频率特性也可以用复数的代数形式表示为式中，称为实频特性；称为虚频特性。显然有下面的一些关系成立。第二十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析工程上常见的控制系统，其输入并非正弦函数。但一般都满足条件：t<0时，函数值等于0。将频率特性也可以定义为：零初始条件下，系统输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。频率特性是控制系统在频域内的数学模型。当系统的传递函数为时，频率特性和传递函数有下面的关系：这表明了不同形式数学模型之间的等价关系。第二十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析2.最小相位系统右半s平面内既无零点又无极点，同时也不含延迟环节的系统称为最小相位系统，对应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有零点或极点，或含延迟环节的系统为非最小相位系统，相应的传递函数为非最小相位传递函数。当频率由0变化至无穷时，在幅频特性相同的各系统中，最小相位系统的相角变化范围是最小的，且相频特性和幅频特性变化的趋势是一致的，而非最小相位系统的相角变化范围通常大于前者，或者相频特性的变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势是不一致的。第二十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析3.常用的几种开环频率特性图1)极坐标频率特性图极坐标频率特性图也称奈奎斯特(Nyquist)图，或幅相特性图。它是以频率为参变量，以复平面上的向量表示频率特性的方法。当从连续变化至时，向量的端点在复平面上连续变化形成的轨迹即为极坐标频率特性曲线。由频率特性和传递函数的关系可知，频率特性曲线是映射当自变量沿s平面虚轴变化时的象曲线，通常将绘有极坐标频率特性曲线的复平面称为平面。第二十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析2)对数频率特性图对数频率特性图也称伯德(Bode)图，是由对数幅频特性和对数相频特两条曲线组成，实质是用和两个实变函数表示复变函数，只是在作图时频率轴虽然以标注，却以进行线性分度。对数幅频特性的纵轴以线性分度且以标注，单位为分贝(dB),对数相频特性曲线的纵轴以线性分度，一般以度或弧度为单位。采用对数频率轴的优点是可以在有限的范围内扩大频率的表示范围。由于对数频率轴上=0的点在负的无穷远处，所以Bode图可以表示的频率变化范围是0～。第二十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析3)对数幅相特性图对数幅相特性图也称尼柯尔斯(Nichols)图，它是将Bode图中的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线合并得到的，分别以和作为横坐标和纵坐标，为参变量。通常表示的频率变化范围也是0～。4.奈奎斯特稳定判据1)奈奎斯特(Nyquist)稳定判据的基本思想第三十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析反馈控制系统位于右半复平面的闭环极点个数：式中，P为系统开环传递函数位于右半s平面的极点个数；N为开环极坐标频率特性曲线顺时针方向包围平面点的圈数。Nyquist稳定判据的基本思想是：利用系统的开环频率特性及开环传递函数中位于右半s平面的极点个数来判别闭环系统的稳定性。闭环系统稳定的充要条件是：。2)应用Nyquist稳定判据需要注意的问题(1)右半s平面指开平面，不包括虚轴。(2)判据中，N是指Nyquist曲线顺时针方向和逆时针方向包围点圈数的代数和。N>0表示顺时针方向包围；N<0表示逆时针方向包围；N=0表示不包围。(3)Nyquist曲线正好穿过点，表明闭环系统有位于虚轴上的极点，系统处于临界稳定状态。工程上认为这种系统是不能正常工作的。第三十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析(4)对于虚轴上坐标原点处有个开环极点的非0型的系统，和均位于平面的无穷远处，需要补充Nyquist曲线上到的一段使Nyquist曲线闭合之后，才能使用Nyquist判据来判别闭环系统的稳定性。补充的这一段通常是以为起点，为终点，圆心在坐标原点，半径为无穷大的个半圆。(5)上述Nyquist稳定判据是在假设开环传递函数中不存在零点、极点相消现象的前提下进行的。如果开环传递函数中存在有零点和极点的相消现象，那么只有在用Nyquist稳定判据判别系统稳定且被消去的极点稳定时，对应的闭环系统才是稳定的。第三十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析3)利用正负穿越判别系统的稳定性这里的穿越(见图5.7)特指极坐标频率特性曲线对平面负实轴上段的穿越。极坐标频率特性曲线上频率的变化范围是，当增加，频率特性曲线由上而下穿过-1左侧的负实轴时，称作一次正穿越；频率特性自下而上穿过该段时，称作一次负穿越，正、负穿越次数分别记作和，它们与Nyquist曲线顺时针方向包围点的圈数N之间的关系是。根据Nyquist稳定判据可得，闭环系统稳定的充要条件是即：极坐标频率特性曲线对于平面负实轴上段的正、负穿越次数之差等于开环传递函数中位于右半ｓ平面的极点个数。位于右半ｓ平面的闭环极点个数为第三十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析当只绘制正频率部分的极坐标频率特性曲线时，正负穿越次数分别用和表示。这时有从-1左侧实轴上开始或终止于该段的频率特性，对应地记作半次正穿越或半次负穿越。由于说明与对称于复平面的实轴，所以有根据Nyquist稳定判据可得，闭环系统稳定的充要条件是令，则有即闭环系统稳定的充要条件：正频率部分极坐标频率特性曲线对于平面负实轴上段的正、负穿越次数之差等于右半ｓ平面开环极点个数的一半。此时，闭环系统位于右半ｓ平面不稳定的极点个数第三十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析4)Nyquist稳定判据在Bode图和Nichols图上的应用由图5.8可知，Bode图描述的系统频率特性其频率变化范围是。G(s)平面上段对应于

用对数幅值表示即为Bode图上在的频段，对数相频特性曲线随频率增加由上至下穿过线，对应于一次负穿越；而由下至上穿过线时，对应于一次正穿越。利用对数频率特性判别系统的稳定性时，闭环系统稳定的充要条件是：对数频率特性图上，在对数幅频特性大于0dB的频段内，当频率增加时，对数相频特性对线的正、负穿越次数之差为。对于系统不稳定的情况，闭环不稳定极点的个数。第三十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析在对数幅相特性图上，对应于上半平面。作线，Nichols曲线在上半平面随频率增加从左到右穿过线和从右到左穿过线分别对应于正穿越和负穿越，正、负穿越次数分别为和。第三十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析5.开环频域性能指标1)幅值稳定裕度图5.9所示最小相位系统中式中，为相角穿越频率，幅值稳定裕度定义为：开环相频特性为时，开环幅频特性值的倒数，用表示。幅值稳定裕度的物理意义：稳定的开环为最小相位的系统，如果开环放大系数增大倍，开环极坐标频率特性曲线恰好穿过点，系统处于临界稳定状态。若开环放大系数增大的倍数超过，系统将变得不稳定。Bode图上用表示幅值稳定裕度，称为对数幅值稳定裕度。第三十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析2)相角稳定裕度在图5.9中，，称为幅值穿越频率，也称为剪切频率或截止频率。相角稳定裕度定义为：系统开环频率特性幅值为1时，开环相频特性的值与°的相角差，用表示相角稳定裕度的物理意义：开环为最小相位的系统，开环频率特性在处增加一个等于的滞后相角，原来闭环稳定的系统将变为临界稳定，增加的滞后相角超过时，系统将变得不稳定。3)开环频域性能指标与时域性能指标的关系常用的开环频域性能指标还有截止频率和中频段宽度。中频段宽度定义为对数幅频特性以斜率过零分贝线频率段的宽度。对于工程上常见的开环为最小相位的系统，当中频段足够宽时，一般可以用下面的经验公式来估算系统的性能。第三十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析6.闭环频域性能指标1)常用的闭环频域性能指标常用的闭环频域性能指标有谐振峰值，谐振频率和带宽频率。设是系统的闭环频率特性，指闭环幅频特性超过的最大值，对应的频率称为谐振频率；是指幅频特性值由降至时对应的频率。频率范围称为系统的带宽。2)高阶系统性能指标的换算关系高阶系统各项性能指标与系统参数的关系及各种性能指标之间的换算关系非常复杂，但对工程上常见的具有一对共轭复数闭环主导极点的高阶系统，可以利用在二阶系统中推导出的结论对其性能进行估算。下面是人们通过对大量实际系统的研究计算，总结归纳出的一些经验公式：

式中，，第三十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析二.频域分析应用实例1.利用MATLAB求取频率响应MATLAB6.5提供了直接求取频率特性值的函数freqresp()，其调用格式为G=freqresp(ncloop,dcloop,sqrt(-1)*w)其中，w为给定的频率范围向量或频率值，ncloop、dcloop分别为传递函数的分子和分母多项式向量。第四十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析【例5.9】如图5.10所示系统，利用MATLAB求取系统的频率响应。其中输入信号为解：运行下面的程序num=1;den=[1,1]; %输入开环传递函数模型[ncloop,dcloop]=cloop(num,den), %求闭环传递函数w=[2,3];rphase=[0,30];rmag=[2,4]; %输入正弦信号参数G=freqresp(ncloop,dcloop,sqrt(-1)*w) %频率特性计算Gmag=abs(G), %闭环系统幅频特性Gphase=57.3*angle(G) %闭环系统相频特性Cmag=Gmag'.*rmag %频率响应幅值向量Cphase=Gphase'+rphase %频率响应初始相位向量Css(t)=sprintf('=C1s(t)+C2s(t)')Css(t)=sprintf('=%dsin(%dt+%d)+%dcos(%dt+%d)',Cmag(1),w(1),Cphase(1),Cmag(2),w(2),Cphase(2))显示结果ncloop=[01]dcloop=[12]G=[0.2500-0.2500i0.1538-0.2308i]Gmag=[0.35360.2774]Cmag=[0.70711.1094]Gphase=[-45.0033-56.3141]Cphase=[-45.0033-26.3141]Css(t)=C1s(t)+C2s(t)Css(t)=0.71sin(2t-45)+1.11cos(3t-26.3)第四十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析2.利用MATLAB绘制控制系统Bode图利用MATLAB提供的bode()函数可以绘制系统的对数频率特性图。Bode函数有下面几种常用的调用格式：(1)bode(num,den) %MATALB自动绘制Bode图(2)[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den,w)这种格式带有输出变量，执行该命令，MATLAB将自动形成一行矢量的频率点并返回与这些频率点对应的幅值和相角的列矢量(相角以度为单位)，但不显示频率特性曲线。为了得到系统Bode图，需使用绘图命令。subplot(2,1,1) %图形窗口分割成2×1的两个区域，选中第一个区域semilogx(w,20*log10(mag)) %在当前窗口横轴为对数坐标的半对数坐标系里生成 %对数幅频特性曲线，纵轴以20lg(mag)线性分度，subplot(2,1,2) %激活图形窗口的第二个区域semilogx(w,phase) %在半对数坐标系中绘制对数相频特性曲线，纵轴以 相角线性分度第四十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析【例5.10】

已知系统传递函数绘制其图。解：K=1;num=1;den=poly([0,-1,-2]); %由给定的极点求取传递函数的分母多项式w=logspace(-1,1,100); %在和10频率范围内产生100个点。[m,p]=bode(K*num,den,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m)); %绘制对数幅频特性曲线gridtitle('对数幅频特性曲线') %加标题xlabel(‘\omega(1/s)’) %横轴加标题，“\omega”为特殊字符ylabel('L(\omega)(dB)') %纵轴加标题subplot(2,1,2);semilogx(w,p); %绘制对数相频特性曲线gridtitle('对数相频特性曲线')xlabel('\omega(1/s)')ylabel('\phi(\omega)(deg)') %“\phi”为特殊字符第四十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析由图5.11可知，以为开环传递函数的单位反馈系统，，。使用margin()函数和allmargin()函数能够获得幅值稳定裕度、相角稳定裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率及系统稳定性等信息。[Kh，r，wg，wc]=margin(m,p,w)Kh=4.0002r=41.5332wg=1.4142wc=0.6118计算对数幅值稳定裕度Lh=20*log10(Kh)第四十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析使用cloop命令绘制单位反馈时闭环系统频率特性曲线，如图5.12所示。[ncloop,dcloop]=cloop(num,den); %求取闭环传递函数的分母多项式向量和分子多项式向量[mc,pc,w]=bode(ncloop,dcloop); %计算闭环幅值和相角向量subplot(211) %分割图形窗口为2×1，选中图形区域2plot(w,mc) %绘制闭环幅频特性曲线subplot(21２) %分割图形窗口为2×1，选中图形区域2plot(w,pc) %绘制闭环相频特性曲线第四十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析3.利用MATLAB绘制控制系统奈奎斯特图MATLAB提供了nyquist()函数用于绘制系统Nyquist曲线。该函数常用的调用格式有以下几种。(1)nyquist(num,den)(2)[re,im]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)w为频率矢量。这些带有输出变量的命令执行后只产生频率特性的实部、虚部和频率矢量，在屏幕上不产生图形，用plot命令可以绘制极坐标频率特性曲线。第四十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析【例5.11】利用MATLAB绘制Nyquist图。已知解：num=[0,0,1];den=[1,0.8,1];nyquist(num,den)grid如图5.13所示。图中实轴、虚轴的范围都是MATLAB自动产生的，如果采用手工确定的范围来绘制Nyquist图，可以输入以下命令v=[-2,2,-2,2];axis(v);即指定实轴、虚轴的范围均为-2～2。上述命令也可合并写做axis([xmin,xmax,ymin,ymax]);MATLAB自动绘制的极坐标频率特性曲线其频率变化范围是，也可以通过功能菜单选择为。另外，在绘制Nyquist图时，若MATLAB运算中包括“被零除”现象，得到的Nyquist图可能是错误的，此时只要给定axis(v)，则可对错误的图进行修正。第四十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析4.利用MATLAB绘制控制系统尼柯尔斯图MATLAB中nichols()函数的调用格式有nichols(num,den)[mag,phase]=nichols(num,den,w)后者利用指定的频率矢量计算频率特性的幅值和相角，使用下面的命令和方法求取对数幅频特性，并绘制对数幅相特性曲线。magdb=20*log10(mag)plot(phase,magdb)用ngrid命令加画Nichols图线。第四十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析【例5.12】制系统开环传递函数绘制对数幅相特性曲线，并加画Nichols图线和坐标线。解：num=1;den=conv([1,1,0],[1,2,2]);ngrid('new')%清图后画Nichols图线nichols(num,den)%绘制系统Nichols图gridMATLAB绘制的该系统对数幅相特性曲线如图5.14所示。第四十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四控制系统的频域分析5.控制系统MATLAB辅助分析在利用MATLAB自动绘图命令bode(num,den)、nyquist(num,den)、nichols(num,den)等绘制的频率特性图形窗口中，进行适当的操作可以获得MATLAB自动提供的系统开环频率特性的特征量以及对应的闭环系统是否稳定等信息。(1)将光标置于频率特性曲线上。①单击鼠标，MATLAB将自动用“”标注对应的点，并显示其频率特性信息：频率和对应的幅频特性或相频特性之值；②拖动鼠标，沿频率特性曲线移动光标，显示的信息将随光标位置变化。(2)光标置于频率特性图的其他位置。右击，MATLAB显示功能选项菜单，包括坐标轴的属性设置、给图形加画网格线等。其中“characteristics”选项可以用来在特性曲线上标注、及等频域性能指标。将光标移到这些点上，MATLAB将显示对应的频率值、幅值稳定裕度、相角稳定裕度、频率特性峰值及闭环系统是否稳定等信息。第五十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法闭环传递函数是控制系统最常用的数学模型之一，是系统结构和参数的数学描述，反映了控制系统的全部特征。其中稳定性取决于闭环系统的极点，稳定系统的瞬态性能和稳定性能则取决于闭环零点和极点在复平面上的分布情况。控制系统的根轨迹分析就是利用根轨迹图分析系统性能及参数变化对系统性能的影响。第五十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法一.幅值条件和相角条件广义的根轨迹是指当开环系统的某个开环参数连续变化从0～时，闭环系统特征方程的根随之连续变化在复平面上形成的轨迹。1.根轨迹增益当开环传递函数表示成零-极点形式时增益称为系统的根轨迹增益。根轨迹是指根轨迹增益从连续变化0～时，闭环系统特征方程的根在s平面上形成的轨迹。根轨迹图上，根轨迹增益是参变量，根轨迹增益和系统开环放大系数的关系为第五十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法2.根轨迹方程开环传递函数为的系统，具有负反馈时闭环系统的特征方程为或控制系统的特征方程就是系统的根轨迹方程。第五十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法3.满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件根轨迹方程是一个复数方程，对应地可以用两个实数方程来表示，即幅值条件方程和相角条件方程复平面上满足相角条件方程的根轨迹称为等相角根轨迹，满足幅值条件方程的根轨迹称为等幅值根轨迹。等幅值根轨迹和等相角根轨迹的交点轨迹即为系统的根轨迹。但对于复平面上的任意一个点，都可以找到一个使其满足根轨迹的幅值条件，也就是说，复平面上的点只要满足相角条件就一定是根轨迹上的点。因此，负反馈控制系统的根轨迹实质就是等相角根轨迹，也称常规根轨迹，根轨迹上指定的点对应的根轨迹增益值可由幅值条件方程求得。第五十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法二.绘制根轨迹的基本规则绘制高阶系统根轨迹只能用图解的方法，利用根轨迹方程通过对幅值条件方程和相角条件方程特征的分析可得绘制系统根轨迹图的一般规则。利用这些规则可以画出根轨迹的大致走势。绘制控制系统常规根轨迹的基本规则有：1.根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的并且对称于实轴。2.根轨迹的分支数、起点和终点n阶系统有n支根轨迹。n支根轨迹分别起始于n个开环极点，其中m支终止于有限的开环零点，另外n-m支将趋向于无穷远处。第五十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法3.根轨迹趋向于无穷远处的渐近线n-m支根轨迹趋向于无穷远处时的渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的交点坐标为，其中4.实轴上的根轨迹区间右侧实轴上开环零点、极点个数之和为奇数的区间是实轴上有根轨迹的区间。第五十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法5.根轨迹的分离点系统开环传递函数用下式表示式中，和均为s的首1多项式。闭环系统的特征方程为用对根轨迹增益求极值或求取特征方程重根的方法可得，分离点应满足下面的方程：需要注意的是：分离点满足上述方程，但该方程的根不一定都是分离点，应进行判断进行取舍。分离点处分离的根轨迹支数用表示时，分离的各根轨迹之间的夹角为第五十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法6.根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开复数开环极点时的出射角式中，，是复数极点与开环零点构成向量的相角；，是复数极点与其他开环极点构成向量的相角。根轨迹指向复数开环零点时的入射角式中，，是复数开环零点与其他开环零点构成向量的相角；是复数开环零点与各开环极点构成向量的相角。7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点对应于闭环系统的临界稳定状态。与该点对应的根轨迹增益值即临界根轨迹增益。求取根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根轨迹增益的方法有两种：(1)令代入特征方程并求解。(2)利用Routh稳定判据确定临界根轨迹增益，求解辅助方程可得闭环系统的纯虚数极点，即为根轨迹与虚轴的交点。第五十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法8.闭环极点之和与闭环极点之积用表示n阶系统的闭环极点，当时，有：式中，为系统的开环极点，为系统的开环零点。说明闭环极点之积与根轨迹增益成正比，趋于无穷时，必有某些根轨迹分支趋向于s平面的无穷远处。当时，说明闭环极点之和等于开环极点之和，当根轨迹的某些分支随着的增大朝向复平面左侧运动时，必然有另一些根轨迹分支朝向复平面右侧运动。第五十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法9.非典型形式系统根轨迹的绘制1)参量根轨迹变化量是除根轨迹增益外的其他参数时的根轨迹称为参量根轨迹。将根轨迹方程变形整理成如下形式：式中，为可调参数，为已知的关于s的首1多项式，那么称为等效系统的开环传递函数。等效系统的根轨迹就是原系统的参量根轨迹。需要注意的是：等效系统与原系统虽然闭环极点相同，闭环零点却不同。确定系统的闭环零点时，必须依据原系统的开环传递函数。第六十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法2)正反馈回路的根轨迹正反馈回路根轨迹方程为或满足正反馈回路根轨迹方程的幅值条件和相角条件分别为与负反馈系统根轨迹方程的幅值条件和相角条件对照不难发现，它们的幅值条件相同，不同的只是相角条件。正反馈回路的根轨迹是等相角根轨迹，因此，只要需修负反馈系统根轨迹绘制的基本规则中与相角条件有关的各项，且以代替其中的即可得出绘制正反馈回路根轨迹的基本规则。第六十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法一些开环为非最小相位的负反馈系统的根轨迹要按等相角根轨迹来绘制。因此，特别需要注意：并不是正反馈回路就要画根轨迹，负反馈系统就要画根轨迹。区别画还是等相角根轨迹的关键在于根轨迹方程的标准形式，即其中当在区间变化时，右端的“-”号对应等相角根轨迹，右端的“+”号则对应等相角根轨迹。第六十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法5.4.3根轨迹分析应用实例根轨迹反映闭环系统特征方程的根随系统中的可调参数变化的过程。利用根轨迹图可以分析可调参数与闭环(主导)极点及闭环系统性能指标之间的关系。MATLAB提供的用于绘制根轨迹的函数为rlocus()，其调用格式为rlocus(num,den)rlocus(sys)不带返回变量调用函数时，MATLAB将自动绘制闭环系统的根轨迹图。这时可以利用MATLAB提供的图形工具读取根轨迹上的数据。将光标置于某一根轨迹分支上，单击鼠标，弹出的对话框中将显示：系统名称、鼠标所处位置的根的坐标、该点对应的根轨迹增益值、阻尼比、超调量和无阻尼振荡角频率等。拖动鼠标左键，沿根轨迹曲线移动光标，对话框中显示的内容将随极点位置变化而变化。鼠标置于图形区域，右击，在弹出的对话框中选择“属性”，即可为根轨迹图添加等阻尼和等频率网格线，或根据需要调整图形的显示区域。[R，K]=rlocus(num,den)[R，K]=rlocus(num,den，K)[R，K]=rlocus(A，B，C，D)[R，K]=rlocus(A，B，C，D，K)第六十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法带返回变量引用rlocus(

)函数时，返回值R为系统的闭环极点列向量，K为对应的根轨迹增益，此时需要调用绘图函数plot(R,’x’)才能画出根轨迹图。在利用根轨迹对系统进行分析时，常常需要确定根轨迹上的某点对应的增益值及其他闭环极点，这时可以在绘制了根轨迹图后，执行下面的命令[K，poles]=rlocfind(num,den)[K，poles]=rlocfind(A，B，C，D)图形窗口屏幕上会生成一个“+”字光标，使用鼠标移动它到希望的位置处，然后单击鼠标便可得到根轨迹增益值及对应的闭环极点列向量，MATLAB还将所有的极点用“+”字在根轨迹图上标注出来。这条指令也可以在不绘制根轨迹图时使用，其调用格式为[K，poles]=rlocfind(num,den，P)其中，输入参数P是指定的闭环极点。rlocus()函数也可用于绘制离散控制系统的根轨迹图第六十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法1.利用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响【例5.13】已知装备有自动驾驶仪的飞机在纵向运动中的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹图并讨论变化对系统性能的影响。解：MATLAB命令窗口输入系统的开环传递函数，求取开环零点和开环极点>>num=[1,1];den=([1,-1,0],[1,4,16]);>>sys=tf(num,den)Transferfunction:s+1---------------------------s^4+3s^3+12s^2-16s>>[P,Z]=pzmap(sys)P0=0图5.15例5.13系统完整根轨迹图-2.0000+3.4641i-2.0000-3.4641i1.0000Z0=-1第六十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法由此可知，系统有一个位于右半平面的开环极点，开环系统不稳定，且一定有位于右半平面的根轨迹，闭环系统是条件稳定的。>>rlocus(sys)绘制系统根轨迹如图5.15所示，由图可知对分析控制系统性能有价值的部分对应于根轨迹增益的取值范围，采用下面的方法绘制这一部分的根轨迹如图5.16所示。>>K=[0:0.05:80];clpoles=rlocus(sys,K)；>>plot(clpoles)第六十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法利用下面的命令可得分离点及对应的根轨迹增益。>>[Kd1，pd1]=rlocfind(sys)Kd1=70.5674pd1=0.7627+3.6334i0.7627-3.6334i-2.2789-2.2466>>[Kd2，pd2]=rlocfind(sys)Kd2=3.0774pd2=-1.9482+3.3906i-1.9482-3.3906i0.4482+0.0194i0.4482-0.0194i1.同样的方法可得根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益。>>[Kp1，pp1]=rlocfind(sys)第六十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法Kp1=23.2949pp1=-1.5006+2.7051i-1.5006-2.7051i0.0006+1.5603i0.0006-1.5603i>>[Kp2，pp2]=rlocfind(sys)Kp2=35.9470pp2=0.0089+2.5771i图5.16例5.13系统局部根轨迹图0.0089-2.5771i-1.5089+1.7707i-1.5089-1.7707i第六十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法稳定性分析：由图5.16可以清楚地看出起始于两个共轭复数极点的根轨迹分支始终位于左半平面，对整个系统的稳定性没有影响。当时，由开环极点0和1出发的两个根轨迹分支位于左半平面，控制系统稳定。当取值超出此范围时，上述根轨迹分支位于右半平面，闭环系统是不稳定的。这类参数必须在一定范围内取值(不能过大也不能过小)闭环才能稳定的系统称为条件稳定系统。通常系统如果有局部回路，则可能出现不稳定的前向通道。开环为非最小相位的系统一定是条件稳定的。在系统运行过程中，条件稳定是危险的。一旦参数变化使的取值对应于不稳定的工作状态，系统稳定性将遭到破坏。实际应用中应当尽量避免条件稳定问题。在系统中增加适当的校正装置，可以缓解、有时还可以消除条件稳定问题。通常增加稳定的开环零点可使系统根轨迹左移，从而提高系统的稳定程度，改善系统的瞬态性能。第六十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法动态性能分析：条件稳定系统有位于右半平面的根轨迹分支，即使根轨迹位于左半平面，系统稳定，闭环极点也离虚轴很近，阻尼较小，系统在单位阶跃输入信号作用下的超调量很大，过渡过程时间也较长。因此条件稳定的系统其性能不能令人满意，这也是要避免系统条件稳定的一个重要原因。稳态性能分析：系统的稳态误差与开环系统前向通道所含积分环节的个数及开环放大系数有关。系统的前向通道中所含积分环节的个数可由开环零极点分布图得出。对应于确定的值，开环放大系数与根轨迹增益及开环零、极点的关系为第七十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法【例5.14】已知随动系统结构如图5.17所示，其中被控对象的传递函数图5.17随动系统结构图是控制器的传递函数。采用比例微分控制规律，讨论当时，的变化对系统性能的影响。解：首先，绘制以为参量的系统根轨迹图。系统开环传递函数

闭环系统特征方程为

等效系统根轨迹方程

等效系统开环传递函数第七十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法式中，。利用MATLAB绘制等效系统根轨迹如图5.18所示，等效系统的根轨迹就是原系统的参量根轨迹。(是比例控制器)时，闭环系统是稳定的。可以用下面的程序计算根轨迹的分离点。第七十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法>>num=[1,0];den=[1,1,10];>>[taod,sd]=fld(num,den);其中，fld()为求取分离点的子函数function[K,sd]=fld(num,den)dnum=polyder(num),dden=polyder(den),d1=conv(num,dden),d2=conv(dnum,den),pp=d1-d2,s=[];s=roots(pp),Kk=-polyval(den,s)./polyval(num,s)ll=length(Kk)kn=(Kk>0);K=[];sd=[];fori=1:llifkn(i)==1n0=i;K=Kk(n0)/10;sd=s(n0);endend求得根轨迹在实轴上的分离点处。第七十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法分析：当时，根轨迹位于复平面上，特征根为共轭复数，系统欠阻尼，单位阶跃响应呈现衰减的振荡形式。时，闭环系统有两个相等的实根。当时，系统有两个不等的实根，系统过阻尼，单位阶跃输入信号作用下的输出响应单调增加，系统响应速度变慢。对于典型的二阶系统，系统欠阻尼时用特征参数和表示闭环极点其时域性能指标与特征参数的关系为由根轨迹图可知，随着的增加，及均增加，系统超调量减小，调整时间也会缩短。应注意的是，这是一个具有零点的二阶系统，闭环零点为开环零点很小时，零点远离虚轴，微分作用也弱，对系统性能基本不产生影响。随着的增加，零点右移，将使系统超调量增加，调整时间相应也会延长，因此利用比例微分控制规律来改善系统性能时，微分时间常数不能取得太大。第七十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法2.根据对系统性能的要求确定可调参数的值【例5.15】单位反馈控制系统的开环传递函数为

若要求闭环系统单位阶跃响应最大超调量。试确定开环放大系数的取值，并计算系统过渡过程时间及单位斜坡输入信号作用下系统的稳态误差。解：利用MATLAB绘制从0～变化时系统的根轨迹，如图5.19所示。时，根轨迹在实轴上有分离点；当时，闭环系统不稳定。根据系统性能指标的要求，闭环主导极点应为共轭复数，所以根轨迹增益的取值范围应为。第七十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法由图可知，时，离虚轴最近的一对共轭复数极点为，在MATLAB命令窗口执行下面的命令>>clpoles=rlocus(num,den,76.3)运行结果为clpoles=-9.0807-1.4597+2.5219i-1.4597-2.5219i显然，此时另外一个闭环极点离开虚轴的距离是一对共轭复数极点到虚轴距离的5倍多，这对共轭复数极点对系统性能起决定作用，为闭环主导极点。系统阶跃响应超调量，满足瞬态性能指标要求。根据调整时间的计算公式，当允许误差取5%时第七十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法允许误差取2%时

系统开环放大系数为

由给定的开环传递函数可知，系统为I型，单位斜坡输入信号作用下系统的稳态位置误差

如果再要求系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差，那么就需要在能够保持系统动态性能基本不变的前提下，设法改善系统的稳态性能。由于开环放大系数与根轨迹增益及开环零、极点之间有如下关系第七十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四根轨迹分析方法式中，增大将使增加