北京2013届朝阳上学期期末高三数学(理科)

2013朝阳高三上期末数学理科第6页共10页北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（理工类）2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.开始结束输入x是否输出k1.开始结束输入x是否输出kA．B．C．D．2.“”是“直线与圆相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是A．B．C．D．4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． 1正视图正视图俯视图C．1正视图正视图俯视图5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A．140种B．120种C．35种D．34种[6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．B．C．D．7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是A．B． C．D．8.在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为.10.如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.若，，则=，（用表示）.11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则.12.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则．14.将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值.16.（本小题满分14分）在长方体中，，点在棱上，且．D1BA1B1D1BA1B1CC1ADE（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是．…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则，，．所以，的分布列为…………12分所以，．……13分18、（本小题满分13分）解：函数的定义域为，．…………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………3分（Ⅱ）函数的定义域为．（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………4分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………5分由，即，得．………6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……7分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．………………8分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.…………………9分令，等价于“当时，”.对求导，得.……………10分因为当时，，所以在上单调递增.……………12分所以，因此.…………13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，.………9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意.……………………10分（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以.……………11分（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.…………12分（ⅲ）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为.………13分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为△的面积为，解得.所以椭圆的方程为.…………………4分（Ⅱ）由得，显然.…5分设,则，………………6分,.又直线的方程为，由解得，同理得.所以,……9分又因为.…………13分所以,所以以为直径的圆过点.…………………14分20、（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或………………3分714582369（Ⅱ）当时，数表为此时，数表的“特征值”为……………………4分13159101426711153481216当时,数表为此时，数表的“特征值”为.……5分当时,数表为21161116172227121318233891419244510152025此时，数表的“特征值”为.……6分猜想“特征值”为.…7分（Ⅲ）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.①当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（