高中总复习第一轮数学(新)第九章空间距离

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精9。9空间距离巩固·夯实基础一、自主梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离。2。直线与平面平行,那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行,它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离。4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5。借助向量求距离(1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点,点M为平面α内任意一点,则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即d=.（2)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l,平面α的法向量为n,点M∈α、P∈l,平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.平面α∥β,平面α的法向量为n,点M∈α、P∈β,平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值,即d=.（3)异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直,M∈a、P∈b,则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=。二、点击双基1.ABCD是边长为2的正方形,以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中点,则异面直线AE、BC的距离为()A。B.C。D。1解析:易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段,其长为所求。易证CE=1.∴选D。答案：D2。在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是(）A。13B.11C。9D。7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC。∴O是△ABC的外心。∴OA===5。∴PO==11为所求。∴选B.答案:B3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A。aB。aC.aD。a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得。VA-MBD=VB—AMD.易求d=a。答案：D4.A、B是直线l上的两点，AB＝4，AC⊥ｌ于A，BD⊥ｌ于B,AC＝BD＝3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是___________________.解析:CD=.答案：5或5。若a、b是两条异面直线,A∈a，B∈b，n是直线a、b公垂线的方向向量,则a、b间的距离为(）A.·nB.|·n|C.·D。解析:如图，设EF为公垂线段，则n∥,n⊥,n⊥，由=++n·=n·+n·+n·，得n·=n·=|n|·｜｜·cos〈n,>，而cos〈n,〉=1或—1,∴|｜=.答案：D诱思·实例点拨【例1】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点,且OH⊥O1B,垂足为H.(1)求证:MO∥平面BB1C1C；（2)分别求MO与OH的长;（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离。（1)证明:连结B1C，∵MO是△AB1C的中位线,∴MO∥B1C。∵B1C平面BB1C1C,∴MO∥平面BB1C1C.（2)解:MO=B1C=a，∵OH是Rt△BOO1斜边上的高,BO=a，∴OH=a.(3)解:MO不是A1B与AC的公垂线,MO∥B1C,△AB1C为正三角形,∴MO与AC成60°角。∵AC⊥BD,AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1.∵OH面BOO1,∴OH⊥AC，OH⊥A1C1。∵OH⊥O1B，A1C1∩O1B=O1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A1B.∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线,其长度即为这两条异面直线的距离.链接·提示在立体几何的计算或证明中,常需要计算直角三角形斜边上的高,据面积关系得它等于直角边的积除以斜边，应作为常识记熟并可直接应用。立体几何问题求解,总体上可分为几何法与代数法，要注意选择最简方法求解。本题(3)利用代数向量方法解答也比较简单.【例2】如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.求:（1）与所成的角;（2)P点到平面EFB的距离;（3）异面直线PM与FQ的距离.解：建立空间直角坐标系,使得D(0,0,0)、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C(0，a,0)、M(0，0，a)、E(a,0，a）、F(0，a，a）,则由中点坐标公式得P（,0，）、Q(,，0）。(1)∴=（—,0,），=(,-,—a），·=（-)×+0+×(-a)=a2,且｜|=a，｜｜=a。∴cos<,〉===-.故得两向量所成的角为150°.（2)设n=(x，y,z)是平面EFB的单位法向量,即｜n|=1，n⊥平面EFB,∴n⊥，n⊥。又=(—a,a，0),EB=(0，a，—a）,即有得其中的一组解∴n=（,，),=(,0，)。设所求距离为d，则d=｜·n|=a.（3)设e=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=(—,0,),=(，—,—a），得求得其中的一个e=(,—,）,而=(0，a，0）.设所求距离为m，则m=｜·e｜=｜—a｜=a.【例3】如图，已知二面角α—PQ—β为60°,点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a。（1)求证:AB⊥PQ；(2)求点B到平面α的距离;(3)设R是线段CA上的一点,直线BR与平面α所成的角为45°,求线段CR的长度。(1)证明：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD.∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,CD公用,∴△ACD≌△BCD.∴∠ADC=∠BDC=90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD,则AB⊥PQ.（2)解：由(1）知∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，则BE即为B到平面α的距离。BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°=a.(3）解:连结ER，∵BE⊥α,∴∠BRE是BR与α所成的角,即∠BRE=45°，则有BR==a.易知△ABD为正三角形,AB=AD=BD=a.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=。在△BCR中,设CR=x，由余弦定理得（a）2=x2+a2-2ax·，求得x1=，x2=（舍去，∵CR<AC=a），故CR=。【例4】在正北方向的一条公路上,一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/时,从汽车里看飞机,在某个时刻看见飞机在正西方向、仰角为30°,在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处,求飞机飞行的高度。剖析：解本题的关键是按题意画出相应的空间图形,将点（飞机）到水平面的距离,转化到水平面上,利用平面几何知识求解.解：如图，A、C分别是汽车、飞机开始的位置，B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，CFED是矩形,且CD=×100=（千米），AB=×100=1（千米),CF（或DE）则为飞机飞行的高度,设其为x千米,在Rt△CFA中,AF=x；在Rt△DEB中，BE=x.作E