西南大学《概率论》作业及答案

2013年秋西南大学《概率论》作业及答案(共6次,已整理)第一次作业一、主观题、论述题、判断题：1.“A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生.【√】2.设A、B为二事件，则A—B=A—AB.【√】3.已知：P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6.【√】4.一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量表示取到正品时的抽取次数，则服从几何分布.【√】5．设二维随机变量(X,Y)具有联合概率密度，则X与Y相互独立.【×】6．特征函数具有性质：.【√】7．设随机变量的特征函数为，且它有n阶矩存在，则当时，有.【×】8．从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件.【×】9．对二项分布，当时，概率值达到最大.【×】10．设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率为.【√】11.设，若A与B互不相容，则A与B必不相互独立.【√】12.n个相互独立的随机变量之积的特征函数等于它们特征函数的乘积.【×】.13．设X服从参数为的泊松分布，则.【×】14．设两个相互独立的随机变量，的方差分别是4和2，则＝44.【√】15.设服从的均匀分布，，则的密度函数为.【√】16.任意随机变量均存在数学期望.【×】17.X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.【√】18.X～N(3,4),则P(X<3)=P(X>3).【√】19.随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY.【√】20.设为两两不相关的随机变量序列，，且存在常数C，使得，则服从大数定律.【√】二、主观题：在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则"至少订阅一种报纸的”概率为0.9三、主观题：三人独立的破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为0.25,0.5,0.6.则这密码被译出的概率为0.85四、客观题：1.随机变量X的方差DX也称为X的二阶原点矩。×2.掷硬币出现正面的概率为P,

掷了n次，则至少出现一次正面的概率为1-(1-p)n.√3.随机变量X的取值为不可列无穷多，则X必为连续型随机变量。×4.设事件为A、B，已知P(AB)=0，则A与B必相互独立.×5.“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。×6.设X、Y是随机变量，X与Y不相关的充分必要条件是X与Y的协方差等于0。√7.设X、Y是随机变量，若X与Y相互独立，则E(XY)=EX•Ey.√8.连续型随机变量均有方差存在。×9.A、B为任意二随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B).×10.设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则三事件A、B、C必然相互独立。×11.设X是随机变量，且EX=DX,则X服从（B）分布。

A：二项B：泊松C：正态D：指数12.（D）是离散型随机变量的分布。A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布第二次作业一、单项选择题1.设A、B为二事件，事件可化简为（D）.（A）A(B)B(C)A-B(D)B-A2.对事件A、B，下列说法正确的是（D）.(A)若A与B互不相容，则与也互不相容(B)若A与B相容，则与也相容(C)若A与B互不相容，则A与B相互独立(D)A与B相互独立，则与也相互独立3.设事件、的概率均大于零，且与互为逆事件（或对立事件），则有（B）(A)与相互独立(B)与互不相容(C)与相等(D)包含或包含4.，，，(A)(A)(B)(C)(D)5.设随机变量的分布函数为则其中常数为（A）.(A)A=-1,B=1(B)A=1,B=-1(C)A=1,B=1(D)A=-1,B=-16.下列函数可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（D）.(A)(B)(C)(D)7.设随机变量的概率密度函数为则随机变量的概率密度为（C）.（A）(B)(C)(D)8.设随机变量X服从二项分布,由切比雪夫不等式有(B).(A)(B)(C).(D)9．袋中装有1，2，…，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）.(A)(B)(C)(D)10.对于任意两个随机变量与，下面（A）说法与协方差不等价.(A)与相互独立(B)(C)(D)相关系数11.设随机变量服从参数为的泊松分布，则E2=（D）.(A)(B)2(C)2－(D)2＋12．下列函数中，（A)可以作为连续型随机变量的分布函数.(A).(B)(C)(D)13.已知二维随机变量的联合分布律为-2-112000100则(B).(A)与相互独立、不相关(B)与不相互独立、不相关(C)与相互独立且相关(D)与不相互独立且相关14．已知二维随机变量的联合分布律为-10100010则(D).(A)与相互独立、不相关(B)与不相互独立且相关(C)与相互独立且相关(D)与不相互独立、不相关15．设服从二维正态分布，是独立的（C）.(A)充分但不必要条件.(B)必要但不充分条件.(C)充分且必要条件.(D).既不充分也不必要条件.16．设两个相互独立的随机变量、，，,则（D）.(A)(B)(C)(D)17．两人约定7点到8点在某地会面，则一人要等另一人半小时以上的概率为（C）.(A)0(B)(C)(D)118.设随机变量X~B(n,p),且E(X+1)=6,D(X+1)=4,则n=(B).(A)20；(B)25；(C)10；(D)50.19.设X、Y为相互独立的随机变量，且,,则E(X-Y),D(X-Y)分别为（B）.(A)-1，7；(B)-1，25；(C)1，7；(D)1，25。20.设随机变量服从两点分布，其分布律为X01Pqp其中则的特征函数为（A）.(A)(B)(C)(D)二、填空题：设10件产品中含有4件次品，今从中任取2件，发现其中一件是次品，则另一件也是次品的概率为0.2三、填空题：投掷五个硬币，每个硬币出现正面的概率为1/2.已知正面数不超过3，则正面数刚好为3的概率为5/13四、判断题：1.设事件为A、B，已知P(AB)=0,则A与B互不相容.×2.随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也为正态分布.√3若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X与Y相互独立，则X+Y～B(8,0.2).√4.X为随机变量，a,b是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b.×5.设X、Y是随机变量，X与Y不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY.√五、单选题：1.C为常数，则E(C)=(C).A：0B：1C：CD：不存在2.若X服从泊松分布P(10),则EX=(A).A：10

B：1C：100D：1/103.已知X在[1，3]上服从均匀分布，则X的方差DX=(D).A：2B：1C：3D：1/3第三次作业一、填空题（主观题）1.一袋中有编号为0，1，2，…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为；（2）取到的球最大号码为5的概率为.2.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为0.2；（2）“第一卷出现在旁边”的概率为0.4.3．设连续型随机变量的分布函数为则（1）A=1；（2）=0.5；（3）的密度函数为=。4.设随机变量X的分布列为（1）常数C＝4.（2）=不存在.5．设则.6.若A、B为二事件，，则0.7.7．已知随机变量的概率密度为其中、为常数，则=m.8.设服从正态分布，即~N(,2)，则的密度函数p(x)在x=m.时达到最大值.9.设随机事件A的概率为P(A)=0.5,随机事件B的概率为P(B)=0.4，条件概率，则=0.8.10.设随机变量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,则（1）E(X+Y+Z)=6；(2)D(X+Y+Z)=19.11.在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则（1）“只订A报及B报的”概率为0.07；（2）“只订A报的”概率为0.3.12.将n个不同的球等可能地放入N(N>n)个盒子中，则（1）某指定的n个盒子中各有一个球的概率p1=；（2）任意n个盒子中各有一个球的概率p2=.13.设的概率密度为，则____;_____。14.设随机变量的分布函数为则(1)＝;(2)=;(3)＝.15.设在（0，5）服从均匀分布，则的方程有实根的概率为0.6.16.设随机变量X的概率密度为且，则k=2，b=1.17.设.18.418.设X与Y为相互独立的随机变量,,Y的密度函数为,则（1）E(X+Y)=5/8；（2）D(X-Y)=49/192.19.设随机变量X服从几何分布。则X的特征函数.20.随机变量的特征函数为，则（1）的特征函数为_____；（2）的特征函数为______.二、判断题（客观题）1、设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X与Y相互独立.（×）2、X、Y相互独立，则X、Y必不相关.（√）3、A.B为任意二随机事件，则P(A-B)=P(A)-P(B).（×）4、C为常数，则D(C)=0.（√）5、若X服从二项分布B(5,0.2),则EX=2.（×）6、若X服从泊松分布P(10),Y服从泊松分布P(10),且X与Y相互独立，则X+Y服从泊松分布P(20).（√）7、cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY.（√）8、随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。（√）9、两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之和.（×）10、相互独立的随机变量序列，如果具有有限的数学期望，则该序列服从大数定律。×11、随机变量X服从二项分布b(n,p),当n充分大时，由中心极限定理，X近似服从正态分布N(np,np(1-p)).√第四次作业计算题1.设连续型随机变量X的分布函数为：确定常数A及P(-1<x<1/2)；(2)求Y=2X的分布函数及密度函数.；(3)求DY.解：(1)因是连续型随机变量X的分布函数，所以在1处连续故F（1）=F（1+0）=F（1－0）可得A=1(2)分布函数为密度函数为(3)2.设随机变量的概率密度函数为，求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。解：（1）由性质得得：，，（2）.（3）故。3.设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）常数；（2）；（3）；（4）。解：（1）（2）（3）（4）当，故。4.设的联合密度函数为，求（1）的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）条件密度函数.解：（1）可求得，；因为，故与不独立。（2）当时，。5.设的密度函数为求：（1）常数A；（2）求的边际密度；（3）是否相互独立？（4）求概率P(<1)；（5）.解：(2)(4)(5)6.设二维随机变量的分布函数为，则常数分别为多少？并求其密度函数.解：由分布函数的性质有，，得，因，，所以，，。，故所求密度函数为。7.设在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求的联合密度函数；（2）是否相互独立？为什么？(3)求的协方差.解：（1）由已知可得：的概率密度为（2）同理当且时，，说明与不是独立的。（3）因为同理有：所以：。第五次作业1、甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”（1）（2）（3）（4）2、为防止意外，在某矿内同时设有两种报警系统A及B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.9，系统B为0.92，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.8，求（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解：设A表示“A有效”，B表示“B有效”，则（1）（2）。3、假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率;(3)该时期内只有甲河流泛滥的概率。解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，（1）（2）（3）4．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率.解：,所求概率为。5．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：设A表示“目标被击中”，表示“炮弹距目标250米射出”，表示“炮弹距目标200米射出”，表示“炮弹距目标150米射出”，（1）（2）=0.043。6.已知产品中96％是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1)产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。解：设A=“产品为合格品”，B=“简化方法检验为合格品”（1）（2）。7.一个机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。解：设C表示“机床停机”,A表示“加工A零件”,B表示“加工B零件”则