第六章数值计算

第六章数值计算第一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.1多项式运算1．多项式表示法2．多项式求值3．多项式乘法和除4．多项式的微积分5．多项式的根6．多项式部分分式展开7．多项式曲线拟合8．多曲线拟合图形用户接口

第二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五MATLAB提供了关于多项式的函数：多项式的值；多项式的根和微分；多项式拟合曲线；部分分式。第三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五多项式函数第四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五1．多项式表示法

MATLAB采用行向量表示多项式系数，多项式系数按降幂排列。函数poly2str(p,’v’)或poly2sym(p)将多项式系数向量转换为完整形式。第五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五多项式的创建首先，了解多项式在matlab中，都是用多项式的系数矢量来表示，也就是行向量。对于多项式P(X)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an用p=[a0a1

…an-1an]来表示因此，创建多项式，可简单总结为以下三个方法第六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五系数矢量的直接输入法即已知具体的多项式形式，在命令窗口直接输入多项式的系数矢量。注意幂次缺项的处理。特征多项式输入法借助于函数poly，取得矩阵的特征多项式系数，作为新的多项式系数矢量。由根矢量创建多项式同样借助于函数poly，由根矢量得到多项式系数注意：如果希望创建实系数多项式，根矢量里如果有复数根必须共轭成对；若得到的系数中带有很小的虚部，可用取实部命令real把虚部滤掉。第七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五A:表示多项式系数向量；‘x’：表示变量用x表示。提供系数向量，用函数poly2str（）得出完整式。第八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．多项式求值函数polyval()计算多项式的值，其具体使用方法如下：y=polyval(p,x)，p为多项式系数行向量，x代入多项式的值,是按数组规则计算；Y=polyvalm(p,X)，把矩阵X代入多项式p中进行计算，是按矩阵规则运算。第九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五3．多项式乘法和除法函数conv()和deconv()进行多项式乘法和除法，其具体使用方法如下：w=conv(u,v)，实现多项式乘法，返回结果多项式的系数行向量；[q,r]=deconv(u,v)，实现多项式除法，q是商，r是余数。第十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五4．多项式的微积分（1）多项式的微分函数polyder()计算多项式的微分，其具体使用方法如下：k=polyder(p)，返回多项式p微分的系数向量；k=polyder(a,b)，返回多项式ab乘积微分的系数向量；第十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五

[q,d]=polyder(b,a)，返回多项式b/a微分的系数向量。q，d是系数向量第十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五什么意思！！第十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（2）多项式的积分

函数polyint()计算多项式的不定积分，其具体使用方法如下：s=polyint(p,k)，返回多项式p不定积分的系数向量，k为积分常数项，缺省为0。也可以简化使用polyint(p)第十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五5．多项式的根

函数roots()求多项式的根，其具体使用方法如下：r=roots(c)，返回多项式c的所有根r。第十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6．多项式部分分式展开

函数residue()将多项式之比按部分分式展开，其具体使用方法如下：[r,p,k]=residue(b,a)，求多项式b/a的部分分式展开；[b,a]=residue(r,p,k)，从部分分式得到多项式向量。第十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五7．多项式曲线拟合函数polyfit()采用最小二乘法对给定数据进行多项式拟合，其具体使用方法如下：p=polyfit(x,y,n)，采用n次多项式p来拟合数据x和y。第十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五legend（‘’）；是用于生产图例。生成的图例可以移动位置第十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。生成的图例可以移动位置调整位置！！第二十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.2插值运算

6.2.1一维插值6.2.2二维插值第二十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五插值是根据已知输入/输出数据集和当前输入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函数，如下表所示。插值函数第二十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.2.1一维插值一维插值就是对函数y=f(x)进行插值，一维插值的原理如下图所示。第二十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五函数interp1()实现一维插值，其具体使用方法如下：yi=interp1(x,y,xi,method)，method用于指定插值的方法，包括：邻近点插值（’nearest’）：返回已知数据集中与当前输入最邻近点对应的输出；线性插值（’linear’）：返回当前输入在与它相邻两点直线上的取值，是默认方法；三次样条插值（’spline’）：返回当前输入在采用三次样条函数上的取值。比较第二十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第二十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第二十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.2.2二维插值二维插值是对两变量的函数z=f(x,y)进行插值，二维插值的原理如下图所示：第二十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五

函数interp2()实现二维插值,其具体使用方法如下：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法。包括：邻近点插值（’nearest’）：返回已知数据集中与当前输入最邻近点对应的输出；双线性插值（’linear’）：返回与当前输入相邻四点输出的双线性加权，是默认方法；三次样条插值（’spline’）：返回当前输入在采用三次样条函数上的取值。

第二十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五[xiyi]=meshgrid(-3:0.25:3);zi=peaks(xi,yi);第二十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第三十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3数据分析6.3.1基本数据分析函数6.3.2协方差和相关系数矩阵6.3.3有限差分和梯度6.3.4信号滤波和卷积6.3.5傅立叶变换第三十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五MATLAB提供大量数据分析的函数，首先给出如下约定：一维数据分析时，数据可以用行向量或者列向量来表示，运算是对整个矢量进行的；二维数据分析时，数据可以用多个向量或者二维矩阵来表示，函数运算按列进行。第三十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3.1基本数据分析函数

1．最大值、最小值、平均值、中间值、元素求和2．标准差和方差3．元素排序第三十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五基本数据分析函数

第三十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第三十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五续表第三十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五1．最大值、最小值、平均值、中间值、元素求和第三十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下，并如下图所示。运行结果不一样！！第三十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．标准差和方差第三十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五改为r5=r2^2第四十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第四十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第四十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五3．元素排序MATLAB提供对实数、复数和字符串的排序函数。函数sort()实现数值的排序；函数sortrows()实现对行的排序。第四十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第四十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3.2协方差和相关系数矩阵第四十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五

函数cov()计算随机变量的协方差矩阵，其具体使用方法如下：C=cov(X)，计算X代表的随机变量的协方差矩阵；C=cov(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量；第四十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五函数corrcoef()计算随机变量的相关系数矩阵，其具体使用方法如下：R=corrcoef(X)，返回X代表的随机变量的相关系数矩阵；R=corrcoef(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量。第四十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3.3有限差分和梯度函数diff()计算差分，其具体使用方法如下：Y=diff(X)，X可以是向量或矩阵；Y=diff(X,n)，返回n阶差分；Y=diff(X,n,dim)，返回在dim维上的n阶差分。第四十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第四十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第五十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五函数gradient()计算梯度，其具体使用方法如下：FX=gradient(F)，返回F在x方向上的梯度；[FX,FY]=gradient(F)，FX是F在x方向的近似偏导数，FY是F在y方向的近似偏导数；[Fx,Fy,Fz,...]=gradient(F)，返回N个方向的近似偏导数；第五十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五[...]=gradient(F,h)，h用于指定所有方向上自变量的间距；[...]=gradient(F,h1,h2,...)，用多个标量来指定各个方向上自变量的间距。第五十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第五十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3.4信号滤波和卷积1．一维数字滤波2．信号卷积3．去除信号直流或线性成分

第五十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五MATLAB提供如下表所示的信号滤波和卷积的函数。信号滤波和卷积函数第五十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五1．一维数字滤波

函数filter()实现一维数字滤波，该函数的具体使用方法如下：y=filter(b,a,X)，X为用于滤波的数据，Y为数据X通过滤波器之后的值；[y,zf]=filter(b,a,X)，附加返回一个表示数据延迟时间的量zf；第五十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五[y,zf]=filter(b,a,X,zi)，zi为初始数据延迟，zf等于最终数据延迟；y=filter(b,a,X,zi,dim)，在dim维上进行数据滤波。第五十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．信号卷积函数conv()计算卷积。第五十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第五十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五3．去除信号直流或线性成分detrend()函数实现去除信号中的直流或者线性成分，其具体使用方法如下：y=detrend(x)，如果x是一个向量，从信号x中减去线性成分；如果x是一个矩阵，去除x所有列中的线性成分；第六十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五y=detrend(x,‘constant’)，如果x是一个向量，减去信号中的直流成分；如果x是一个矩阵，去除所有列中的直流成分；y=detrend(x,'linear',bp)，从信号x中减去分段线性函数。第六十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.3.5傅立叶变换1．一维傅立叶变换和逆变换2．二维傅立叶变换和逆变换

第六十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五

傅立叶变换既可以对连续信号进行变换，也可以对离散信号进行变换。本小节只介绍离散傅立叶变换。

傅立叶变换函数

第六十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五1．一维傅立叶变换和逆变换函数fft()实现一维离散傅立叶变换，其具体使用方法如下：Y=fft(X)，如果X是向量，返回向量X的傅立叶变换；如果X是矩阵，函数对矩阵X的每一列进行傅立叶变换；第六十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五Y=fft(X,n)，用输入n指定傅立叶变换的长度；Y=fft(X,[],dim)，在dim维上进行傅立叶变换；Y=fft(X,n,dim)，在dim维上进行傅立叶变换，并指定傅立叶变换的长度。第六十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五函数ifft()实现一维离散傅立叶逆变换，其具体使用方法与函数fft()类似，只是添加一个选项。y=ifft(...,'symmetric')；y=ifft(...,'nonsymmetric')。第六十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．二维傅立叶变换和逆变换函数fft2()实现二维傅立叶变换，用函数ifft2来实现二维傅立叶逆变换。函数fft2()的具体使用方法如下：Y=fft2(X)，X是矩阵，对矩阵X进行二维傅立叶变换；Y=fft2(X,m,n)，m和n指定傅立叶变换的长度。第六十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.4功能函数

功能函数就是可以将其他函数作为输入变量的函数。1．函数的表示2．函数画图3．函数最小值和零点4．数值积分5．在功能函数中使用含参函数第六十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五在matlab中，函数可以通过以下方式来表示：M文件；匿名函数；函数inline()。1．函数的表示第六十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第七十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．函数画图MATLAB提供函数画图的函数如下表所示。函数画图的函数

第七十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五以函数fplot()为例介绍画图函数的用法，其具体使用方法如下：fplot(function,limits)，function为待画图的函数，limits是横坐标数值范围或横纵坐标数值范围；第七十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定画图的线条属性；fplot(function,limits,tol)，tol指定画图相对精度；fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定画图的线条属性和画图相对精度。第七十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五画网格的作用是1不是L第七十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第七十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五3．函数最小值和零点求函数的最小值和零点的函数，如下表所示。求函数最小值和零点

第七十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（1）求一元函数最小值函数fminbnd()求一元函数在给定区间内的最小值，其具体使用方法如下：x=fminbnd(fun,,x1,x2)，在区间[x1x2]内寻找函数最小值；

第七十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五x=fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options选项来指定的优化器的参数；[x,fval]=fminbnd(...)，附加返回函数最小值。第七十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（2）求多元函数的最小值函数fminsearch()求多元函数的最小值。其具体使用方法如下：x=fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近寻找局部最小值；x=fminsearch(fun,x0,options)，使用options选项来指定优化器的参数；第七十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五[x,fval]=fminsearch(...)，附加返回函数最小值。第八十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（3）求一元函数的零点函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下：x=fzero(fun,x0)，在x0点附近寻找函数的零点；x=fzero(fun,[x0,x1])，在[x0,x1]区间内寻找函数的零点；第八十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五x=fzero(fun,x0,options)，用options指定寻找零点的优化器参数；[x,fval]=fzero(...)，附加自变量为x时的函数值。第八十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（4）优化器参数函数optimset()设定优化器参数，其具体使用方法如下：options=optimset('param1',value1,'param2',value2,...)，用参数名和对应的参数值设定优化器的参数；第八十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五optimset，显示优化器的所有参数名和有效的参数值；options=optimset，返回一个优化器的结构体；options=optimset(optimfun)，返回函数optimfun()对应的优化器参数；第八十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五options=optimset(oldopts,'param1',value1,...)，在原优化器参数oldopts的基础上，改动指定优化器参数；options=optimset(oldopts,newopts)，用newopts的所有非空参数覆盖oldopts中的值。第八十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五在函数optimset()中常用的优化器参数如下表所示。优化器参数

第八十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五函数optimget()得到目前优化器的参数，其具体使用方法如下：val=optimget(options,'param')，返回优化器参数'param'的值；val=optimget(options,'param',default)，返回优化器参数'param'的值。第八十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五4．数值积分MATLAB提供一些的数值积分函数，如下表所示。数值积分函数

第八十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（1）一元函数的数值积分函数quad()和函数quadl()来计算一元函数的积分。函数quad()的具体使用方法如下：q=quad(fun,a,b)，计算函数fun在[ab]区间内的定积分；第八十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五q=quad(fun,a,b,tol)，以绝对误差容限tol计算函数fun在[ab]区间内的定积分；q=quad(fun,a,b,tol,trace)，当trace为非零值时，显示迭代过程的中间值。第九十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（2）矢量数值积分矢量数值积分等价于多个一元定积分。第九十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（3）二重和三重积分

函数dblquad()计算二重积分。其具体使用方法如下：q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，计算二元函数的二重积分；q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定绝对计算精度；第九十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定计算一维积分时采用的函数。第九十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五5．在功能函数中使用含参函数

功能函数中的含参函数的两种解决方法：嵌套函数匿名函数第九十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五编写M文件的函数时：首先将含参函数的参数作为输入；其次在其中调用功能函数，形成嵌套；最后通过调用该函数进行计算。（1）用嵌套函数提供函数参数第九十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第九十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第九十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五（2）用匿名函数提供函数参数用匿名函数提供函数参数的具体步骤如下：创建一个含参函数，并保存为M文件格式；调用功能函数的M文件中给参数赋值；用含参函数创建匿名函数；把匿名函数句柄传递给功能函数计算。第九十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.5微分方程组数值解在MATLAB中，可以计算微分方程数值解，如：常微分方程组的初值问题；延迟微分方程的问题；常微分方程组的边界问题。第九十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第一百页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五6.5.1常微分方程组的初值问题1．显式常微分方程组2．设置解法器参数3．线性隐式常微分方程组4．完全隐式常微分方程组第一百零一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五在MATLAB中可以计算以下初值问题的数值解。显式常微分方程组；线性隐式常微分方程组；完全隐式常微分方程组。第一百零二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五1．显式常微分方程组在MATLAB中，用函数实现不同的解法，如下表所示。第一百零三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五常微分方程组解法对比

第一百零四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五2．设置解法器参数函数odeset()设定解法器参数，其具体使用方法如下：options=odeset('name1',value1,'name2',value2,…)，用参数名和相应参数值设定解法器的参数；第一百零五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五options=odeset(oldopts,‘name1’,value1,…)，修改原来的解法器options结构体oldopts；options=odeset(oldopts,newopts)，合并两个解法器options结构体oldopts和newopts；odeset，显示所有的参数值和它们的默认值。第一百零六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五常微分方程组解法器参数第一百零七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第一百零八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五3．线性隐式常微分方程组线性隐式常微分方程组可以利用解法器参数options来求解。第一百零九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五第一百一十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五运行结果如下图所示。第一百一十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期五4．完全隐式常微分方程组函数ode15i()求解完全隐式常微分方程组，其具体使用方法如下：[t,Y]=o