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文档简介
1.3.1利用导数判断函数的单调性
岫岩三高中杨帅
1.导数的几何意义:由导数定义可知,曲线y=f(x)在点处的切线的斜率等于一、新课导入------复旧知新2.判断函数的单调性有哪些方法?1.定义法2.图象法例如:画出函数y=x2-4x+3的图象,并写出它的单调区间。2yx0增区间:(2,+∞).减区间:(-∞,2).用图象法判断函数的单调性思考:如何求出函数f(x)=x2-2lnx的单调性呢?
观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.二、讲授新课-----问题探究yxy=xoyxo(2)(1)y=1xyo(3)y=x3(4)xyo1
观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.二、讲授新课-----问题探究yxy=xoyxo(2)(1)y=11
观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.二、讲授新课-----问题探究xyo(3)y=x3(4)xyo2yx0.......再观察函数y=x2-4x+3的图象:二、讲授新课-----问题探究
从以上的实例能够看出,可以通过函数的导数来判断函数的单调性,我们进而得出利用函数的导数判断单调性的法则:1.如果在(a,b)内,f'(x)
>0
,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的增区间;思考:函数的单调性与导数的符号之间到底有什么关系呢?3.特别地,如果
在某个区间内恒有f'(x)=0
,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.2.如果在(a,b)内,f'(x)
<0
,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的减区间;问题1:若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么一定大于0吗?二、讲授新课-----问题探究问题2:如果在区间(a,b)上恒成立,能否推出f(x)在这个区间上是单调递增?答:不一定,所以是在某区间上是增函数的条件充分不必要例1、已知导函数的下列信息:当1<x<4时,>0;当x>4,或x<1时,<0;当x=4,或x=1时,=0.则函数f(x)图象的大致形状是()。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的与原函数f(x)的增减性有关正负二、讲授新课-----牛刀小试y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)二、讲授新课-----牛刀小试xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2练习.
设导函数y=f'(x)的图象如图,则其原函数可能为()(A)(B)(C)(D)Cy=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:二、讲授新课-----典例精讲(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx解:(1)f(x)的定义域为R。因为f'(x)=3x2+3>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为二、讲授新课-----典例精讲例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(2)函数f(x)=x2-2lnx定义域为由f'(x)<0,得0<x<1,则函数f(x)在(0,1)上单调递减;所以函数f(x)=x2-2lnx的单调增区间为,单调减区间为(0,1)(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx由f'(x)>0,得x>1,则函数f(x)在
上单调递增;三、问题总结
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;(4)确认f(x)的单调区间。练习:求函数的单调区间。四、巩固练习五、课堂小结1.如果在(a,b)内,f'(x)
>0
,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的增区间;2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;(4)确认f(x)的单调区间。利用导数判断函数单调性的法则:2.如果在(a,b)内,f'(x)
<0
,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的减区间;3.特别地,如果
在某个区间内恒有f'(x)=0
,那么函数y=f(
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