北京市丰台区高三上学期期末考试数学理试题(word版)

第页丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，{5，7}，则实数a的值为(A)2或－8(B)－2或－8(C)－2或8(D)2或82．“”是“”的(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)(B)(C)(D)4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A)(B)(C)1(D)25．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)(B)(C)开始结开始结束S=0,n=0输出Sn=n+1n>4?否是6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）(A)4 (B)5 (C)7 (D)97．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0,1），点C在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（）(A)，1(B)1，(C)-1，(D)-，18．已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则(A)都有f(m+3)>0(B)都有f(m+3)<0(C)使得f(m0+3)=0(D)使得f(m0+3)<0二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是______．10．已知直线y=x+b与平面区域C:的边界交于A，B两点，若|AB|≥2，则b的取值范围是________.11．是分别经过A(1,1)，B(0,1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是．12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是_______.，，，…13．已知中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则的面积为______．，，，…14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；∴=．…………………13分17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（Ⅰ）求证：DE//平面PBC;（Ⅱ）求证：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．解：（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，DE//BC．_E_D_B_C_A_E_D_B_C_A_PDE//平面PBC．…………4分（Ⅱ）连结PD，PA=PB，PDAB．…………….5分，BCAB，DEAB．6分又，AB平面PDE．8分PE平面PDE，ABPE．9分（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系_E_D_B_C_A__E_D_B_C_A_Pzyx=(1,0,)，=(0,,）．设平面PBE的法向量，令得．11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为．…12分设二面角的大小为，由图知，，所以即二面角的大小为．14分18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：（Ⅰ）．2分令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即，………4分当时,g(x)<0,即，…………6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有解得，…………11分所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），为函数的极大值,…………………12分在区间上的最大值取和中的最大者.…………….13分而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分C1,C2的离心率相同，所以,所以，……….…3分C2的方程为．当m=时，A,C．.………….5分又,所以，，解得a=2或a=(舍)，………….…………..6分C1,C2的方程分别为，．………………….7分（Ⅱ）A(-,m),B(-,m)．…………9分OB∥AN,,,．…….11分，，．………12分，，．13分20.（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求，的坐标；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，直线B0A1的方程为y=x．由得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，即．（*）…………..5分和均在曲线上，，，代入（*）式得，，………..7分数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为()．……………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，，……………………9分，．==．….……………..…………10分．……….11分（方法一）-=．当n=1时不符合题意，当n=2时，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)