2024年上海师范大学附属外国语中学数学高三上期末监测模拟试题含解析

2024年上海师范大学附属外国语中学数学高三上期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A． B． C． D．2．设是虚数单位，，，则（）A． B． C．1 D．23．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A． B． C． D．4．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是()A． B． C． D．5．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增C．函数的对称中心是D．函数的对称轴是6．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．若直线与圆相交所得弦长为，则（）A．1 B．2 C． D．38．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．39．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]10．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．912．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.14．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．15．记为数列的前项和.若，则______.16．已知正项等比数列中，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，且满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.18．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.19．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．20．（12分）已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；（2）求l的最小值及此时的值；（3）问当θ为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.21．（12分）如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.22．（10分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.【题目详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为，由解得，，即，由，所以有，化简得，所以离心率．故选：B.【题目点拨】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．2、C【解题分析】

由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【题目详解】解：，，解得：.故选:C.【题目点拨】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把当成进行运算.3、A【解题分析】

利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【题目详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.4、C【解题分析】

先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.故选：C【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.5、B【解题分析】

根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【题目详解】由图象可得，函数的周期，所以.将点代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故A正确；令，得，故函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，故B错误；令，得，故函数的对称中心是，故C正确；令，得，故函数的对称轴是，故D正确.故选：B.【题目点拨】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6、C【解题分析】

由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.【题目详解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因为为三角形的最大角，所以，又由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，即，又由，所以的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7、A【解题分析】

将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【题目详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【题目点拨】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.8、A【解题分析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【题目详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【题目点拨】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.9、A【解题分析】

根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.【题目详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g（x）]＝1，当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g（x）]＝0，当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g（x）]＝﹣1，综合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故选：A．【题目点拨】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.10、C【解题分析】

先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【题目详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.【题目点拨】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.11、B【解题分析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【题目详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【题目点拨】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.12、B【解题分析】

根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.【题目详解】为定义在上的偶函数，所以所以;当时，，则，令则，当时，，则在时单调递增，因为，所以，即，则在时单调递增，而，所以，综上可知，即，故选：B.【题目点拨】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【题目详解】原问题等价于，当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.14、【解题分析】

画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.【题目详解】作出函数的图如下所示，观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，故，故实数的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数是偶函数，那么．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．15、1【解题分析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．【题目详解】由，得，．且，则，即．数列是以16为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16、【解题分析】

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.【题目详解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解题分析】

（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简，即可求出角的大小；（Ⅱ）通过面积公式和，可以求出，这样用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根据同角的三角函数关系，可以求出，这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【题目详解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.18、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）采用零点分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.【题目详解】（1）当时，不等式为，解得当时，不等式为，解得当时，不等式为，解得∴原不等式的解集为（2）当且仅当即时取等号，∴，∴∵，∴，∴（当且仅当时取“”）同理可得，∴∴（当且仅当时取“”）【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）常见的绝对值不等式解法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.19、（1）证明见详解；（2）.【解题分析】

（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【题目详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：在中，因为为的中点，，且，又为的中点，，，且，，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，即证.（2）取中点，连结，，则，平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，令．则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【题目点拨】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.20、（1）（2），的最小值为.（3）时，面积取最小值为【解题分析】

（1）,利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式；,,则,即可得到的范围；（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解；（3）由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.【题目详解】解:（1）,故.因为,所以，,所以,又,,则,所以,所以（2）记,则,设,,则,记,则,令,则,当时,；当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当时取最小值,此时,的最小值为.（3）的面积,所以,设,则,设,则,令,,所以当时,；当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当,即时,面积取最小值为【题目点拨】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由椭圆的定义可得，周长取最大值时，线段过点，可求出，从而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线，直线，，，，.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出和，根据求出的值.最后直线与直线的方程联立，求两直线的交点即得结论.【题目详解】（Ⅰ）设的周长为，则，当且仅当线段过点时“”成立.，，又，，椭圆的标准方程为.（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的