2023年高考数学一轮复习文档学生用书选修4

第一节坐标系

,最新考纲，

1.了解坐标系的作用.

2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和

直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

・考向预测•

考情分析：极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应

用.将是高考考查的热点，题型仍将是解答题.

学科素养：通过极坐标方程的求解及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记2个知识点

1.极坐标的概念

(1)极坐标系：

如图所示，在平面内取一个定点0,叫做,从。点引一条射线Ox,叫做

，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面

极坐标系，简称为.

^>12

(2)极坐标：

对于平面内任意一点M,用p表示线段的长，。表示以Ox为始边、。例为终边的

角度，p叫做点M的,6叫做点M的,有序实数对S，叫做点M的极

坐标，记作MS，0).

当点M在极点时，它的极径,极角。可以取.

(3)点与极坐标的关系：

平面内一点的极坐标可以有无数对，当kWZ时，肘，。)，S，9+2E),(―p,6+Qk

+1)2表示,而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的.

如果规定p>0,0W0V2兀，或者一兀VOWTT,那么，除极点外，平面内的点和极坐标就

——对应了.

2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标

系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示.

(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(p，60S

>0,0£|0,2兀))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点、M直角坐标(X,>')极坐标S，。)

互化p2=________

公式C：___tan0=________

在一般情况下，由tan6确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

二、必明2个常用结论

1.极坐标的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四

者缺一不可.

2.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，

半径为广的圆—

圆心为(r,0),

—

半径为r的圆

e

圆心为，—

OX

半径为r的圆

(l)0=a(pGR)或

过极点，倾斜角O—Tt-\~a(pWR)

O区——v

为a的直线/­(2)0=加20)和

0=兀+如，°)

过点3,0),与

极轴垂直的直线0(a.O)x

过点，与

0X

极轴平行的直线

过点3，0),MJ

倾斜角为a—

的直线

0(a.O)X

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一直角坐标系中的伸缩变换［基础性］

卜'=3x>

1.求双曲线C：X2-石=1经过3：I万=y变换后所得曲线c的焦点坐标.

=2x,

2.若函数y=ya)的图象在伸缩变换(P：、y'=3y的作用下得到曲线的方程为y

卜,瑁求函数『X)的最小正周期.

=3sin

反思感悟伸缩变换公式应用时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时

一定要区分变换前的AP的坐标风力与交战后的点F的坐标(M,力，再利用伸

公式H=MQL>0),速立篡系

缩变换b=M»o)‘

(2)巳如交接后的商级方程0.y)=0,—盘寿美改怎为方樨收.力=0*再利

用换元法确定伸缩变换公式.

考点二极坐标与直角坐标的互化［综合性］

［例1］在极坐标系下，已知圆。：p=cos6+sin6和直线/：psin((?-')=

%20，0W6<2兀).

(1)求圆0和直线/的直角坐标方程；

(2)当。6(0,兀)时，求直线/与圆0的公共点的极坐标.

听课笔记：

反思感悟极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x=0cos。及y=psin，直接代入直角坐标方

程并化简即可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如"cos仇psinB,p2的形式，

再应用公式进行代换，其中方程的两边同乘以(或同除以加及方程两边平方是常用的变形技

巧.

【对点训练】

以直角坐标系中的原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，己知曲线C的极

坐标方程为p=

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点。作直线/交曲线C于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线/的极坐标方程.

考点三曲线的极坐标方程及应用［综合性］

角度1曲线的极坐标方程

［例2］［2021•全国乙卷］在直角坐标系X。)'中，OC的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出。C的一个参数方程；

(2)过点F(4,1)作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求这两条切线的极坐标方程.

听课笔记:

反思感悟求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设P(p,6)是曲线上任意一点；

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径0和极角6之间的关系式；

(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.

角度2极坐标方程的应用

[例3][2022•陕西省部分学校检测]在直角坐标系xOy中，曲线C\的参数方程为

&=3+sinq>—2cos<p

Iy=3甲+2sin中(0为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos0+2=0.

(1)求曲线G的极坐标方程并判断G，C2的位置关系；

(-；<«<*pen)

(2)设直线6=a'32,分别与曲线Ci交于A,B两点，与曲线C2交

于P点.若|AB|=3|OA|,求|0尸|的值.

听课笔记：

反思感悟极坐标方程及其应用的解题策略

(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下

点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.

(2)求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的

点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度.

【对点训练】

1.在极坐标系中，0为极点，点MS。，％)So>O)在曲线C：p=4sin。上，直线/过点

4(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

.

(1)当仇=七寸，求"0及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段上时，求P点轨迹的极坐标方程.

2.[2022•昆明市质量检测]在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为

fx=2+t

卜=1+t«为参数).以坐标原点。为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲

线Ci的极坐标方程为p=4cos0.

(1)求G的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

⑵若C1，C2交于4,B两点,求10AHO8|.

选修4—4坐标系与参数方程

第一节坐标系

积累必备知识

、

1.(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角〃=0任意值(3)同一个点

J

2.(l)pcos0psin0^+y2、(xWO)

二、

2.p=r(0^0<2n)P=2rcos0(—2)p=2rsin^(0^^<n)pcos0

—a'27psin0=a(O<0<7t)psin(a^0)=asina

提升关键能力

考点一

1.解析：设曲线。上任意一点P，3,/),

代入“=1,得，“=1,

化简得9”=1,

即w正=i为曲线c，的方程，可见仍是双曲线,

则焦点F1(—5,0),尸2(5,0)为所求.

2.解析：由题意，把变换公式代入曲线

y'=3sin(7

得3y=3sin作+3

整理得y=sinS3

故y（x）=sin

所以y=7U）的最小正周期为=兀

考点二

例1解析：⑴圆。：p=cos0+sin6,

即p2=pcos夕+psinf）.

故圆0的直角坐标方程为x2+y2—x—y=0,

-

直线/：psin=2,即psin0—pcos6=1.

则直线/的直角坐标方程为x—y+l=0.

（2）由（1）知圆。与直线/的直角坐标方程，

x24-y2—x-y=0»卜=0.

x—y+1=0»ly=1.

将两方程联立得t解得

即圆。与直线/在直角坐标系下的公共点为（0,1）,转化为极坐标为（焉

直线，与圆。的公共点的极坐标为（1.9

对点训练

2

解析：⑴因为P=分+y,psin0=y9p—0可化为"一psin0=2,所以曲

线的直角坐标方程为d=4y+4.

IE,解得

（2）设直线/的极坐标方程为。=，（）SeR）,根据题意=3-

d=6或%=",所以直线/的极坐标方程为。=或6=R）.

考点三

例2解析：（1）由题意知。C的标准方程为（X—2）2+。-1）2=1,

&=2+CDSQ

则oc的参数方程为卜=i+./a为参数）.

（2）由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y—1=Wx—4）,

即kx-y+\-4k=0,

所以可至=],解得左=±了，

理些通也

则这两条切线方程分别为y=TA-石+1,y=一3+V+l,

故这两条切线的极坐标方程分别为psin0=apcos0—3+1,psin0=

Va述

3pcos夕+3+1.

卜一3=sintp-2ms（p①

例3解析：（1）曲线G：t7=ciK<p+2sm<p②（0为参数）

①2+②2得（x—3）2+y2=5,

即x2+y2—6x+4=0,

将r+y2=p2,x=pcos。代入上式，得曲线G的极坐标方程为p2—6"cos6+4=0.

—6pcD£6+4=0

P0050+2=0得〃+16=0,此方程无解，

所以G,rC2相离.

（p1—6pcusB+4=0

解析：（2）由t0=0

得p2—6〃cosa+4=0,

因为直线。=a与曲线G有两个交点A,B,

2

所以/=36cos2a_16>0,得cosa>3.

设方程p2—6pcosa+4=0的两根分别为m，pz,

pj+pj=6CDSa>0③

PiPa=4®

因为|AtB|=3|OA|,所以|OB|=4|O4|,即奴=4〃⑤，

由③④⑤解得0=1,〃=4,cosa=满足/>0,

fpCDsO+2=01212

由tB=tt得夕=有=一可，所以|。尸尸|p|=T.

对点训练

・■

1.解析：⑴因为Mpo，仇)在C上，当％=,时，po=4sin*=2隹

.

由已知得|OP|=|OA|cos3=2.

设QS，。)为/上除尸的任意一点.连接OQ,

在RtZXOPQ中，ocos\”=|0尸1=2.

(2.3；

经检验，点P\"在曲线pcos々-3)=2上.

所以，/的极坐标方程为0cos\"=2.

(2)设P(p,。)，在RtZXOAP中，|0冏=|OA|cos(9=4cos仇即/>=4cos0.

因为P在线段0M上，且4P_LOM,

故，的取值范围是1F4*.2-[1

所以，P点轨迹的极坐标方程为o=4cos仇0G卜口'.-1

2.解析：⑴消去参数,,得C的普通方程为x—y=l,又x=pcos仇y=psin0,

所以G的极坐标方程为pcos0-psin0=1.

因为p=4cos仇所以p2=42COS。，又/+产="2,x=pcosa所以。2的直角坐标方程

为(1—2)2+尸=4.

(2)Ci的极坐标方程为pcos9—psin6=1,

C2的极坐标方程为p=4cos仇

fpcDsfi—psinQ=1.

\Ppi

IP=4CDS6>43一:

联立得解得cos8=,sin0=

由si/e+cos?-1得p，-12/?+8=0,所以片解=8,p\pi=2的，

所以I。4HOB|=P102=2显.

第二节参数方程

・最新考纲•

1.了解参数方程，了解参数的意义.

2.能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

・考向预测•

考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合

应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题.

学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模、数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记4个知识点

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上________的坐标x,y都是某个变数r的函

数："一名（0'并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在_______,

那么方程叫做这条曲线的参数方程，，叫做参变数，筒称,相对于参数方程而言，

直接给出点的坐标间关系的方程叫做.

2,直线的参数方程

过定点尸o（xo,加）且倾斜角为a的直线的参数方程为。为参数），则

参数t的几何意义是.

3.圆的参数方程

圆心为（mb）,半径为r,以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆

上一点所在半径成的角a为参数的圆的参数方程为ae[0,2TI）.

4.椭圆的参数方程

以椭圆的离心角9为参数，椭圆?『=1（〃＞。＞0）的参数方程为

____________6＞£[0,2兀）.

二、必明1个常用结论

直线参数方程中参数的几何意义

x=Xo+tcosa

{,ynyo+t—a。为参数）.若

A,B为直线/上两点，其对应的参数分别为h,f2,线段AB的中点为M,点例所对应的参

数为的则以下结论在解题中经常用到：

(l»o=

(2)|PM|=|”|=号I.

(3)1ABi=防一卬;

(4)|M|-|PB|=|n./2|.

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一参数方程与普通方程的互化［基础性］

1.把下列参数方程化为普通方程.

7=1+

(1)。为参数).

卜=sinO,

ly=a»2e(。为参数，6G[0,27r)).

⑵

2.如图，以过原点的直线的倾斜角，为参数.求圆/+>2—x=0的参数方程.

反思感悟消去参数的三种方法：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代人消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数：

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据

参数的取值范围，确定函数次。和g⑺的值域，即x和y的取值范围.

考点二参数方程的应用［综合性］

角度1直线参数方程的应用

[例1][2022•深圳市统一测试]在平面直角坐标系xOy中，直线G的参数方程为

*=—2钙+tcosa,

{y=tskia。为参数，a为倾斜角），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=4sin。

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）直线Ci与曲线C2相交于E,F两个不同的点，点P的极坐标为（2遮,it）,若2\EF]

=\PE\+\PF],求直线C,的普通方程.

听课笔记：

反思感悟（1）直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，

即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.

（2）根据直线的参数方程的标准形式中r的几何意义，有如下常用结论：

①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为“，t2,则弦长/=力一目；

②若定点Mo（标准形式中的定点）是线段帆加2（点M,加2对应的参数分别为〃，3下

同）的中点，则”+「=0;

③设线段MiM2的中点为M,则点M对应的参数为加=2.

角度2圆与椭圆参数方程的应用

[例2][2022•福建省质量检测]在直角坐标系xOy中，曲线C\的参数方程为

Jx=cosa^

Iy="a（a为参数），以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C2的极坐标方程为p2=340

（1）求曲线G的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线Cl相切于第二象限的点P,与曲线C2交于A,B两点，且|孙卜|「引

7

=3,求直线/的倾斜角.

反思感悟椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值

以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.

【对点训练】

1.[2022・四省八校双教研联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为

fx=-2+t,

ly=—2+t。为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

C1的极坐标方程为p=4cose.

(1)求Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

⑵若C2交于A,B两点，点P的极坐标为(20，-'),求冈E的

值.

&=CDSQ

2.[2022・石家庄市重点高中高三摸底考试]已知曲线C的参数方程为

为参数)，4(2,0),P为曲线C上的一个动点.

(1)求动点尸对应的参数从3变动到彳时，线段AP所扫过的图形的面积；

(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点P,使得尸为线段AQ的中点？

若存在，求出点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.

考点三极坐标与参数方程的综合问题［综合性］

(r=cos上£

［例3］［2020•全国卷I］在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为卜=Wt

“为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方

程为4pcos0—16psin9+3=0.

(1)当％=1时，G是什么曲线？

(2)当攵=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

听课笔记:

反思感悟极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解.

(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.

(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直

角坐标方程来研究问题.

【对点训练】

tx=t

［2022•惠州市高三调研考试］在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为3~\t

为参数).在以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2的极坐标方程

为p=4cos0.

(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若。与C2相交于A,B两点，求△OAB的面积.

第二节参数方程

积累必备知识

、

1.任意一点这条曲线上参数普通方程

Jx=q+tcosa,

2.Iy=，•+tsina有向线段尸。尸的数量

lx=a+rcosa,

3.Iy=h+rsina

lx=acosff,

4.I尸bsinO

提升关键能力

考点一

百

1.解析：(1)由已知得f=2x—2,代入y=5+2，中得y=5+3(2X-2).

即它的普通方程为A—y+5-6=0.

(2)因为sin20+cos20=1,所以/+y=1,

即y=l—x2.又因为|sin4W1,

所以其普通方程为y=l-R|x|Wl).

2.解析：圆的半径为

记圆心为C(3,0),连接CP,

则/PCx=2仇

故不尸='+cos20=COS20,yp—asin20=sin0cos0,

(r=CDS30

所以圆的参数方程为b=的为参数).

考点二

例1解析：(1)由题意得，曲线Q的极坐标方程为p=4si〃。，所以p2=4psi”0,又x?

+y2=p2,y=psin0,

代入上式化简可得，x2+y2-4y=0,

所以曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.

(2)易得点P的直角坐标为(一2同0),

x=­2^+tcosa»

y=tsina(t为参数)，代入曲线c的直角坐标方程，可得t2-

{2

(4事cosa+4sina)t+12=0,

峥蕾—48>。,

A=(4a+4sina)2—48=解得sin

(a+,-

'"V一2,不难知道a必为锐角，故si〃

33

'L所以<a+<3,即0<a<3,设这个方程的两个实数

根分别为L,t2,贝hi+t2=4第Lwa+4si〃a,trt2=12,所以ti与t2同号，由参数t的

几何意义可得，|PE|+|PF|=|ti|+|t|=|t+t|=8

2t2,|EF|=|t1-t2|=

历ggS（a+：）-3,

所以2X4

化+

=8两边平方化简可解得'n"=1,所以a=6-+2网,

x=-2^+枭

''=i

kGZ,因为0<a<5所以&=6,所以直线©的参数方程为J~2*«

为参数）消去参数r,可得直线G的普通方程为x—A+2&0.

X=CDS%

{y=（a为参数），所以曲线G的

普通方程为x2+y2=l.

12

因为曲线C2的极坐标方程"2=34"，"2=1+速，psinO=y,

所以曲线C2的直角坐标方程为*+

（2）如图，设直线/的倾斜角为£,依题意£e

则P在曲线C,中的参数a=£+,故P（一sin夕，cos份，所以可设直线/的参数方

Jx=—sinp+tcosp.

I7=asP+tsiiip（/为参数）.

程为

H+W

把直线/的参数方程代入43=].

得(sin2s+3)产+2(sin£cos/?)r+cos2^-9=0,

cns^p—5

设A,8对应的参数分别为fi,及，则用2=

7

则|出卜|尸8|=|力力=品附3,又附.|PB|=r所以引的=

3,所以sin.=-故0=3,即直线/的倾斜角为3

对点训练

1.解析：（DG的普通方程为x—y=0,C2的直角坐标方程为。-2）2+产=4.

x=—2+

,y=_2+1t（/为参数），p的直角坐标为

（2）Ci的参数方程化为标准参数方程为

（-2,-2）,将Ci的标准参数方程代入C2的直角坐标方程得产-6^+i6=o,设A,

8对应的参数分别为t'i*G则t'l+t'a=创历.t'l#2=16,

MIEtvHi3y5

画+询=

所以AHE

2.解析：（1）设。='时对应的点为M,6=斗时对应的点为N,。为坐标原点,

线段AP扫过的图形的面积=SAAMN+S弓形=S.OMN+S弓形=S串形OMN="X1?X

(2)设P(cosasin0),

TP为线段AQ的中点，・・・Q(2cose—2,2sin。)，

・・・。在曲线C上，曲线C的普通方程为f+y2=l,

:.(2cos0-2)2+(2sin0)2=1,

7

/.8cos6=7,cos0=a.

此时点P的直角坐标为(8,±8).

考点三

jx=cost.

ly=sint,

例3解析：⑴当上=1时，G：«为参数）消去参数，得9+产=1,故

曲线Cl是圆心为坐标原点，半径为1的圆.

（r=CDS't

（2）当k=4时，G：&=®14t。为参数）消去参数t得Ci的普通方程为

夜+5=1.

C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.

（赤+/=1.j=i

由l4s_]6y+3=0解得｛J~J'

a.〃

故G与C2的公共点的直角坐标为S'

对点训练

解析：（1）消去参数可得G的普通方程为x+y-3=0.

由〃=4cos9,得/=4pcos0,

又p2=f+y2,pcos8=x,

所以C2的直角坐标方程为f+y2—4x=0.

（2）C2的标准方程为。-2）2+9=4,表示圆心为。2（2,0）,半径r=2的圆.

皂

圆心C2到直线x+y—3=0的距离4=Y,

故|AB|=~V14.

£我

原点O到直线x+y—3=0的距离d=6=3,

?二xEx映M

所以SAQAB=31HBM=21=2.

所以△OAB的面积为2.

选修4一5不等式选讲

第一节绝对值不等式

・最新考纲•

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：U+

例W间+步|:|a-W|a—c|+|c-b|.

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|公+例Wc;\ax+b\^c;|x-a|+

\x-b\^c.

・考向预测•

考情分析：绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题，将

是高考考查的热点，题型仍将是解答题.

学科素养：通过绝对值不等式的求解及绝对值不等式性质的应用考查数学运算、逻辑推

理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记2个知识点

1.含有绝对值的不等式定理

(1)定理：对任意实数。和6,有

其中等号成立的条件为时20.

(2)定理中的b以-6代替，则有一瓦《同+跳其中等号成立的条件为

(3)对任意实数a和b,有|同一阿山划W|a|+|b|.

2.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|V。与国>。的解集：

不等式a>0a=0a<0

\x\<a

_____________________

(2)|〃x+b|Wc(c>0)和|ar+b]2c(c>0)型不等式的解法：

①|ax+例WcQ—+〃Wc；

②|ar+b|2c=ar+%2c或c.

(3)|x—〃|+仅一b|Nc(c>0)和|x-a|+k—切Wc(c>0)型不等式的解法.

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

二、必明3个常用结论

1.绝对值不等式的性质

||a|一|b||W|a—切W|a|+|b|,等号成立的条件：

当HN0时，左侧不等式成立；

当就<0时，右侧不等式成立.

2.两个等价关系

(1)|川<。(4>0)=—a<x<a.

(2)|x|>«(fl>0)<=»x<—a或x>”.

推广：①|x|勺(x)=—Ax)<x勺(x)；

②|x|"X)QX<—/(x)或x>f(x).

3.实用口诀

解含绝对值的不等式：”找零点，分区间，逐个解，并起来.”

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一含绝对值不等式的解法［基础性、应用性］

[例1][2021•全国甲卷]已知函数式x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)画出)，=/仇)和y=g(x)的图象；

(2)若y(x+4)2g(x),求a的取值范围.

听课笔记：

反思感悟解绝对值不等式的基本方法

:刷而居春履帝写丙云字布晟彳寝而兼「客

,------------------X:数轴分为(-8,〃］,(〃力］,@,+8),(此处设

零点讨论法U>"v8)三个部分，在每个部分上去掉绝对

k----------;值符号分别列出对应的不等式求解，然后

取各个不等式解集的并集

--------:利用|工-。1+卜>c(c>0)的几何意义：数：

几何法］匚>；轴上氢点X［=a和x2=b留距离之和大于c：

-------):的全体，\x-a\+\x-b\>\x-a-(x-h)\=\a-b\：

圉为注一J作出函数y1=lx-4zl+Lv-/j|和v=c的图象,

囹家法结合图象求解2

【对点训练】

［2020•全国卷I］已知函数y(x)=|3x+l|-2|x一1］.

(1)画出y=/(x)的图象；

1

~o~

⑵求不等式贝x)次r+1)的解集.

考点二绝对值不等式性质的应用［基础性、应用性］

［例2］已知函数外)=&一1|,xWR.

(1)解不等式外)<区+1；

11

(2)若x,yGR,有|x—y—1|Wa1|2y+l|W求证：火x)<l.

听课笔记：

反思感悟对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点

(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时.

(2)该定理可推广为|a+b+c|W间+|例+|c|,也可强化为|同一例W|a土b|W|a|+|b|,它们经

常用于含绝对值的不等式的推论.

(3)当而》0时,\a+b\=\a\+\b\-,当"WO时,\a-b\=\a\+\b\;当>(a+b)WO时，同一

\b\=\a+b\;当6(a—力20时,\a\~\b\=\a-b\.

【对点训练】

已知x,yER,且|x+y|<6,卜一y|W

求证：|x+5y|Wl.

考点三绝对值不等式的综合应用［应用性、创新性］

［例3］［2022•惠州市高三调研考试］已知贝x)=|x+l|+|av-a+l|.

(1)当”=1时，求不等式式x)23的解集；

(2)若时，不等式y(x)2x+2恒成立，求〃的取值范围.

听课笔记：

反思感悟两招解不等式问题中的含参问题

(1)第一招是转化.①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等

式的恒成立问题；③不等式的解集为。的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转

化为最值问题，即火X)<4恒成立Oa'KxDuH,凡»>〃恒成立勺(x)min.

(2)第二招是求最值.含绝对值的函数求最值时，常用的方法有三种：

①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即■+依冽山山|2|同一步II;③利

用零点分区间法.

【对点训练】

1.［2021•全国乙卷］已知函数丸x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=l时，求不等式式x)N6的解集；

(2)若/(x)>—”，求。的取值范围.

2.设函数£x)=|2x+3|+|x—l|.

⑴解不等式yw>4；

|-三，i]

(2)若存在xe12’」使不等式”+1次X)成立，求实数〃的取值范围.

选修4—5不等式选讲

第一节绝对值不等式

积累必备知识

、

1.(l)kz+"W|a|+步|(2)abW0

2.(l){x|-aVxVa}00{x|x>a或xV—4}{x|x£R且x#0}

R

提升关键能力

考点一

—4.x<--

'4x+2.—

例1解析：(1)由已知得g(x)=