2024届河北省邯郸市六校数学高三第一学期期末经典试题含解析

2024届河北省邯郸市六校数学高三第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣852．的二项展开式中，的系数是（）A．70 B．-70 C．28 D．-283．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A． B．复数的共轭复数是C． D．4．已知角的终边经过点，则的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或5．已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)6．已知集合，，则的真子集个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．函数在上的最大值和最小值分别为（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-28．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种9．展开式中x2的系数为()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．128010．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（）A．16 B．14 C．12 D．811．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元12．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．14．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．15．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.16．若函数，则__________；__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．18．（12分）已知函数.（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.19．（12分）已知函数．（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．20．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和.21．（12分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：22．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数的最小值为，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则，则，故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.2、A【解题分析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．考点：二项式定理的应用．3、D【解题分析】

首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【题目详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【题目点拨】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.4、B【解题分析】

根据三角函数的定义求得后可得结论．【题目详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【题目点拨】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．5、C【解题分析】

由奇函数的性质可得，进而可知在R上为增函数，转化条件得，解一元二次不等式即可得解.【题目详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即，解得，即，易知在R上为增函数.又，所以，解得.故选：C.【题目点拨】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.6、C【解题分析】

求出的元素，再确定其真子集个数．【题目详解】由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.【题目点拨】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．7、B【解题分析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【题目详解】依题意，，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【题目点拨】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.8、C【解题分析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【题目详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【题目点拨】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.9、A【解题分析】

根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.【题目详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280x2故得到答案为：A.【题目点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10、B【解题分析】

取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.【题目详解】取中点，连接，，，即.，，，则.故选：.【题目点拨】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.11、D【解题分析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【题目详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【题目点拨】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.12、D【解题分析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【题目详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选D．【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.【题目详解】取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【题目点拨】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.14、【解题分析】

由，解得，进而求出，即可得出结果.【题目详解】解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．都答案为：.【题目点拨】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．15、【解题分析】

画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．【题目详解】函数的图象如图所示：因为方程有且只有两个不相等的实数根，所以图象与直线有且只有两个交点即可，当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，由图象可知，直线向下平移后有两个交点，可得，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．16、01【解题分析】

根据分段函数解析式，代入即可求解.【题目详解】函数，所以，.故答案为：0；1.【题目点拨】本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）1【解题分析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【题目详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.【题目点拨】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f(x)的一个极值点，得f'(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.【题目详解】（Ⅰ）因为，则，因为是的一个极值点，所以，即，所以，因为，，则直线方程为，即；（Ⅱ）因为，所以，所以，设，则，所以在上是增函数，在上是减函数，故，所以，所以，设，则，所以在上是减函数，上是增函数，所以，所以当时，，函数在是减函数，当时，，函数在是增函数，因为时，，，，所以当时，方程无实数根，当时，方程有两个不相等实数根，当或时，方程有1个实根.【题目点拨】本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.19、（1）（2）见解析【解题分析】

(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.【题目详解】解：（1）设，∴在上单调递减，在上单调递增．故．∵有解，∴．即的取值范围为．（2），当且仅当时等号成立．∴，即．∵．当且仅当，，时等号成立．∴，即成立．【题目点拨】此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目.20、（1）；（2）【解题分析】

(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.(2)由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【