集合的概念和运算

集合的概念和运算第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五考纲要求考情分析1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．集合的概念以考查集合中元素的特性为重点，集合间的关系以子集、真子集、空集的定义为重点，集合的运算多以考查交、并、补为主，多结合Venn图、数轴等工具，如2011年辽宁卷．二是与其他知识相联系，以集合语言和集合思想为载体，考查函数的定义域、值域，函数、方程与不等式的关系，直线与曲线的位置关系等问题，如2011年湖北卷、陕西卷.第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(对应学生用书P1)

知识梳理1．集合的概念与表示(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．(5)常用数集及表示：自然数集N；正整数集N＋(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五问题探究1：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？提示：集合{Ø}不是空集，因为它含有元素Ø，同理，{0}也不是空集，因为它含有元素0，但{Ø}与{0}不同，因为它们的元素不同，Ø是不含任何元素的集合．第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五问题探究2：若A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个．提示：2n

2n－1

2n－2第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(2)集合的运算性质并集的性质A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五答案：D第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五2．(2011年重庆八中第四次月考)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是(

)答案：B第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五解析：当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件，故选D.答案：D第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五答案：B第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五5．(2011年北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：P＝[－1,1]，M＝{a}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，∴－1≤a≤1.答案：C第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五6．(2011年上海高考)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________.解析：∵U＝R，A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁UA＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(对应学生用书P2)

考点1

集合的基本概念1.掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例1(1)下列各组中各个集合的意义是否相同，为什么？①{1,5}，{(1,5)}，{5,1}，{(5,1)}；②{x|x2－ax－1＝0}与{a|方程x2－ax－1＝0有实根}．(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.【解】

(1)①{1,5}和{5,1}表示的意义相同，都表示由数1和5两个元素构成的集合；{(1,5)}和{(5,1)}表示的意义不同，它表示由一个有序实数对构成的单元素集合，所以与顺序有关系．②{x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有实数解时参数a的范围构成的集合．第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，别忘记A＝Ø的情况．第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五解析：(1)集合{x|x＝0}和{0}表示的意义相同，{x|x＝0}和{(x，y)|x＝0，y∈R}的意义不同．{x|x＝0}表示以x＝0为元素的单元素集合；{(x，y)|x＝0，y∈R}表示y轴上的点构成的集合．(2)由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而a＝－1，故a2011＋b2011＝(－1)2011＝－1.答案：(1)见解析(2)－1第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五考点2

集合的基本关系1.判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决．2．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集．若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例2(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可能取值组成的集合．第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五考点3

集合的基本运算在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁．第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例3(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为(

)A．1个B．2个C．3个D．4个(2)(2011年辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(∁IM)＝Ø，则M∪N＝(

)A．M

B．N

C．I

D．Ø第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【答案】

(1)B

(2)A第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(1)(2010年江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．(2)(2010年辽宁高考)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(

)A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：(1)∵A∩B＝{3}，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.故填1.(2)由题意知集合A中含有3,9两元素，集合B中不含9，由题设条件，集合B最多含有元素1,3,5,7，故集合A＝{3,9}，选D.答案：(1)1

(2)D第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五考点4

与集合有关的新概念问题与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题．在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例4已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB＝{x|1<x<2}；(2)按(1)的运算，求BΔA.【解】

A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)∵AΔB＝{x|1<x<2}，由上图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，∴定义AΔB＝{x|x∈A，且x∉B}．(2)由(1)可知BΔA＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(2011年杭州五校质检)设全集U＝{x∈N*|x<10}，对集合A，B，定义运算“⊗”，A⊗B＝∁U(A∪B)，若集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,2,3,5,7,9}，则M⊗N＝(

)A．{4,6,7,8,9} B．{1,2,3,5}C．{0,6,8} D．{6,8}解析：根据题意，M∪N＝{1,2,3,4,5,7,9}，而U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴M⊗N＝∁U(M∪N)＝{6,8}，故选D.答案：D第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意，如本节易错盘点例题．在集合的概念与运算中还要注意：(1)要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．(2)在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．如本节例1中的(2)