湖南省长沙市浏阳北盛中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析

湖南省长沙市浏阳北盛中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．2.函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为M，下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=对称B．图象M关于点（）对称C．f（x）在区间（﹣，）上递增D．由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得M参考答案：C【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】A：利用三角函数在对称轴处取得函数的最值，验证选项AB：正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，可验证选项BC：令u=2x﹣，当﹣＜x＜时，﹣＜u＜，由于y=3sinu在（﹣，）上是增函数，利用复合函数的单调性可验证选项CD：由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2（x﹣）即y=3sin（2x﹣）的图象，验证选项D【解答】解：选项A错误，由于f（）=0≠±3，故A错．选项B错误，由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，因为f（﹣）=3sin（﹣2×﹣）=﹣，所以（﹣，0）不在函数图象上．此函数图象不关于这点对称，故B错误．选项C正确，令u=2x﹣，当﹣＜x＜时，﹣＜u＜，由于y=3sinu在（﹣，）上是增函数，所以选项C正确．选项D错误，由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2（x﹣）即y=3sin（2x﹣）的图象而不是图象M．故选：C．3.已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C略4.设是R上的奇函数，且，对任意，不等式恒成立，则t的取值范围（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A略5.已知：集合A={a，b，c}，B={0，1，2}，在映射f：A→B中，满足f（a）＞f（b）的映射有（）个． A．27 B．9 C．3 D．1参考答案：B【考点】映射． 【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据映射的定义，结合函数值的大小关系进行求解即可． 【解答】解：∵f（a）＞f（b）， ∴若f（a）=2，则f（b）=1或f（b）=0，此时f（c）=0或1或2，有2×3=6种， 若f（a）=1，则f（b）=0，此时f（c）=0或1或2，有3种， 共有3+6=9种， 故选：B． 【点评】本题主要考查映射个数的计算，根据函数值的大小关系进行分类讨论是解决本题的关键． 6.P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法则，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．【解答】解：∵，则由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心故选D7.若，对，是真命题，则的最大取值范围是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：C8.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（

）． A． B． C． D．参考答案：B作出函数的图像：∵易知与相交于，∴由图可知解集为，选择．9.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（

）A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.8参考答案：C【分析】利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.10.已知，，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}前n项和为Sn，且有（），，则数列的前项和_______.参考答案：【分析】原式可以转化为化简得到是等比数列公比为2，进而得到之后裂项求和即可.【详解】因为，故得到化简得到，根据等比数列的性质得到是等比数列，，故得到公比为2，，，故由裂项求和的方法得到前项和故答案为：.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。12.设函数，且对任意，则=_____________________。参考答案：解析：=即。13.关于函数f(x)＝4sin(2x＋),(x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；②y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为

。参考答案：14.已知数列{an}满足，()，则an=

．参考答案：由()，可得，于是，又，∴数列{﹣1}是以2为首项，为公比的等比数列，故﹣1=∴an=（n∈N*）．故答案为．

15.设向量，则的夹角等于_____.参考答案：【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为

所以，的夹角等于。

故答案为：16.（3分）若函数f（x+1）的定义域为[-2,3]，则函数f（2x﹣1）的定义域为

．参考答案：[0,]考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域．解答： ∵f（x+1）的定义域为，∴﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，f（x）的定义域为，由﹣1≤2x﹣1≤4得0≤x≤，∴函数f（2x﹣1）的定义域为[0,]．故答案为：[0,]．点评： 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系．17.给出下列命题：①已知集合M满足??M?{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有6个；②已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（﹣12，0）；③函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，2）；④已知函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），则f（1）＞f（4）＞f（3）．其中正确的命题序号是

（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】①，依题意，可例举出样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，可判断①；②，通过对a=0与a≠0的讨论，可求得实数a的取值范围是（﹣12，0]，可判断②；③，利用对数型函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1）可判断③；④，利用二次函数的对称性与单调性可判断④．【解答】解：对于①，∵集合M满足??M?{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，故①正确；对于②，∵函数f（x）=的定义域是R，∴当a=0时，f（x）=，其定义域是R，符合题意；当a≠0时，或，解得a∈（﹣12，0）；综上所述，实数a的取值范围是（﹣12，0]，故②错误；对于③，函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1），故③错误；对于④，∵函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），∴函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=3，f（x）在[3，+∞）上单调递增，∴f（1）=f（5）＞f（4）＞f（3），故④正确．故答案为；①④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数与二次函数的对称性、单调性、恒过定点等性质，考查恒成立问题与集合间的关系，考查转化思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．解答： （1）证明：依题AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．（2）证明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．∴．∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，∴AD∥平面CEF．（3）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1，∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．∴S△FAD==．∵CE⊥平面ABD，∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19.已知0≤x≤，求函数的最值。参考答案：20.已知函数．,（Ⅰ）证明：f(x)为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f(x)是(1，+∞)上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f(x)的值域．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【分析】(I)用偶函数定义证明；(II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在上的单调性，可得最大值和最小值，得值域．【详解】(I)函数定义域是,,∴是偶函数；(II)当时，，设，则，∵，∴，∴，即，∴在上是减函数；(III)由(I)(II)知函数在上是增函数，∴，，∴所求值域为．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.计算：（1）log225?log32?log59；（2）（2）0+2﹣2×（2）﹣0.250.5．参考答案：【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用对数换底公式、对数的运算性质即可得出．（2）利用对数换底公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式==6．（2）原式=1+×﹣=1+﹣=．22.（本小题共10分）已知等差数列{a}中，公差d>0，其前n项和为S，且满足a·a＝45，a＋a＝14。（Ⅰ）求数列{a}的通项公式及其前n项和S；（Ⅱ）令b＝（n∈N＊），若数列{c}满足c＝－，＝bn（n∈N＊）。求数列{c}的通项公式c；（Ⅲ）求f（n）＝－（n∈N＊）的最小值。参考答案：（Ⅰ）设数列{a}的公差为d>0，且数列{a}满足a·a＝45，a＋a＝14.因为数列{a}是等差数列，所以a＋a＝a＋a＝14.因为d>0，所以解方程组得a＝5，a＝9.

2分所以a＝3，d＝2.所以a＝2n＋1.因为S＝na＋n（n－1）d，所以S＝n2＋2n.数列{a}的通项公式a＝2n＋1，前n项和公式S＝n2＋2n.