辽宁省沈阳市第八十六中学2021年高三数学文测试题含解析

辽宁省沈阳市第八十六中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=3，S5=25，若{}的前n项和为，则n的值为（）A．504 B．1008 C．1009 D．2017参考答案：D【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出等差数列{an}的通项公式，再根据裂项求和即可求出n的值．【解答】解：设等差数列的公差为d，则由题意可得a2=a1+d=3，S5=5a1+d=25，联立解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∴（1﹣）=，∴1﹣=，∴2n+1=2017，∴n=1008，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．2.若则A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.c＜a＜b

D.b＜c＜a参考答案：B，因为，所以，选B.3.定义等于（

）

A．

B．0

C．

D．参考答案：C略4.若函数的图像经过适当的变换可以得到的图象，则这种变换可以是（

）

A．沿x轴向左平移个单位

B．沿x轴向右平移个单位

C．沿x轴向右平移个单位

D．沿x轴向左平移个单位参考答案：D略5.已知是虚数单位，，且=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知函数，若，则a=

（

）

A．4

B．2

C．1

D．－1参考答案：A7.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中Pn为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测年内增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数（

） A．呈上升趋势 B．呈下降趋势

C．摆动变化 D．不变参考答案：B略8.设若，则的值是(

)

A.1

B.2

C.1

D.-2参考答案：C9.已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：10.已知函数，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则(＋)·(＋)＝

．参考答案：112.已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.参考答案：略13.函数对于总有≥0成立，则=

．参考答案：414.若、满足，则的最小值为

.参考答案：15.已知为虚数单位，计算=

▲

．参考答案：略16.抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标

．参考答案：

2

略17.的展开式的常数项为

．参考答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，平面，，，．求证：平面平面；若点在棱上的射影为点，求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：因为平面，所以，

…………2分又因为，所以平面，

………4分所以平面平面.

…………5分（Ⅱ）解法1：先考查二面角和二面角，因为面，所以，又因为，所以面，所以，，所以即二面角的一个平面角，

……7分因为，

……9分，

……11分所以，所以

……12分

……13分，

……14分所以，所以二面角的余弦值为．

……15分解法2：因为面，所以，又因为，所以面，所以，，所以即为二面角的一个平面角.

…8分因为，所以，，

…………10分所以，，

…12分又因为直角梯形可得，

…………13分所以

，

…………………14分所以， 所以二面角的余弦值为．

……………15分解法3：如图所示，以为轴，以为轴，过作轴，建立空间直角坐标系，则可知，，，，，……8分则，.

设平面的一个法向量是，可得：即．……………10分同理可得的一个法向量是，……12分所以二面角的余弦值为．

………15分19.（本小题满分14分）已知数列是递增数列，且满足（Ⅰ）若是等差数列，求数列的通项公式；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中，令

，求数列的前项和．参考答案：（本小题满分14分）解：（1）根据题意：，又，所以是方程的两根，且，解得，所以，.

……………6分（2）

，则

①

②①一②，得，所以.…………14分20.已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．参考答案：考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）若a=1，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d，求得q的值．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，求得q的值；若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，求得q的值；若a，b之间和b，c之间各插入2个数，求得q的值，综合可得结论．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，因为q≠1，所以，分q＞1和0＜q＜1两种情况，分别得出结论．解答：解：（1）若a=1，因为a，b，c是互不相等的正数，所以q＞0且q≠1．由已知，a，b，c是首项为1，公比为q的等比数列，则b=q，c=q2，当插入的一个数位于b，c之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d得2q2﹣3q+2=0，因为q≠1，所以q=2．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，则，于是，2b﹣2a=c﹣b，q2﹣3q+2=0，解得q=2．若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，则，于是，2c﹣2b=b﹣a，解得（不合题意，舍去）．若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则，b﹣a=c﹣b，解得q=1（不合题意，舍去），综上，a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，所以，，即，因为q≠1，所以．所以，当q＞1，即a＜b＜c时，s＜t；当0＜q＜1，即a＞b＞c时，s＞t．点评：本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式，等比数列的定义、性质以及通项公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21.已知函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，解不等式|x﹣|+f（x）≥1；（2）若不等式|x﹣|+f（x）≤x的解集包含[，]，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；18：集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为x﹣+|x﹣a|≤x，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=|x﹣2|，问题转化为解不等式|x﹣|+|x﹣2|≥1，①x≥2时，x﹣+（x﹣2）≥1，x﹣+x﹣≥1，解得：x≥；②＜x＜2时，x﹣+（2﹣x）≥1，解得：x≥1，故1≤x＜2；③x≤时，﹣x+（2﹣x）≥1，解得：x≤0，综上，不等式的解集是：{x|x≤0或x≥1}；（2）|x﹣|+|