广西陆川县中学高二下学期数学同步作业第章立体几何立几典型例题（大纲版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精如图，正方体中，为异面直线和的公垂线，求证：。CCC1D1B1A1ABDEFAB如图，已知平面、相交于直线，异面直线、满足，异面直线的公垂线为直线,求证：。AB证明：过点A作直线的平行线,设直线确定的平面为.又.如图,长方体中,，求点到平面的距离。CCC1D1B1A1ABDE答案：中，是平面外一点，且到、、三点的距离都等于，求点到平面的距离。PPABC答案：已知正方体的棱长为，求到平面的距离。CC1CDBAA1B1D1E答案：在棱长为的正方体中,、分别为的中点。CC1D1B1CC1D1B1A1ABDFE（2）求点到平面的距离。答案:(1）略(2）APCB如图中，平面,且,求点到平面的距离。APCB答案：如果直线平面，斜线与平面所成的角为，，垂足为，，求证：。设异面直线与所成的角为，为空间一定点,试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有几条？答案：过点作，,则相交直线的夹角为或，设直线与均为角,作面于点，于点，于点，记（或），则有当时，由，得；当时，由，得故当时，直线不存在；当或时,直线有且仅有1条；当时，直线有且仅有2条；当时，直线有且仅有3条；当时，直线有且仅有4条。设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有1条，则的取值范围是.答案:设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论,过点与、所成的角都是的直线有且仅有2条，则的取值范围是.答案：设异面直线与所成的角为,为空间一定点,试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有3条，则的取值范围是。答案：设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论,过点与、所成的角都是的直线有且仅有4条，则的取值范围是。答案：设异面直线与所成的角为,为空间一定点，试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有1条，则的取值范围是。答案:或设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有2条，则的取值范围是。答案：设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论,过点与、所成的角都是的直线有且仅有3条，则的取值范围是。答案：设异面直线与所成的角为，为空间一定点，试讨论，过点与、所成的角都是的直线有且仅有4条,则的取值范围是.答案:如图，正方体中,为的中点，，求证：。CCC1D1B1A1ABDPO如图,为直角梯形，且为平面外一点，平面，求证：。SSDABC在空间四边形中，如果，那么与的关系如何？如图，已知于，于,求证：.AABCC1VB1V如图,在正方体中，点在上，点在上，且。求证：平面。CCC1D1B1A1ABDMN如图所示，在空间四边形中，已知平面,为的中点，在上，则当在的什么位置上时，有？PPABCMN答案：当在的位置使时有。一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为。答案：已知正四面体内接于半径为的球，求该正四面体的棱长。答案：设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是A．1B．2C答案：A只有④是正确的。有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有。答案：③④把半径为1的4个球垒成两层放在桌上，下层3个，上层1个，两两相切。求上层小球的球心到桌面的距离。答案:求棱长为的正四面体的外接球和内切球的表面积。答案：表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为。答案：在球面上有四个点、、、,如果、、两两垂直且，求这个球的体积。答案:构造正方体,求得半径，正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是。答案：已知过球面上三点、、的截面到球心的距离等于半径的一半,且，求球面面积.答案：在半径为的球内有两个面积分别为和的平行截面,求这两个平行截面间的距离。答案:2或14在半径为1的球面上有、、三点，和、和的球面距离都是，和的球面距离是，过、、作截面，求球心到截面的距离.答案：在四棱锥中，底面，.(1)求证:、、、、五点在同一个球面上；（2）若，求、两点的球面距离。答案：（1）略（2）PADO用一平面截正三棱锥及其外接球,所得截面如图所示（图中为球心)。若球的半径为2，那么，三棱锥的侧面积是PADO答案：O棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是OA．B．C．D．答案：下列结论中，正确的是A．过球面上两点可确定一个球大圆B．过球面上三点可确定一个球大圆C．过球面上两点只有一个球小圆D．过球面上两点（这两点之间的距离小于球直径）只有一个半径最小的球小圆答案：D有下列命题：①过球面上任意两点只能作一个球的厣;②球的任意两个大圆的交点的连结是球的直径;③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面是与定点的距离等于定长的所有点的集合。其中正确的是A．①②③B．②③④C．②③D．②④答案：B给出下列命题：①正四棱柱是下多面体；②直四棱柱是简单多面体；③简单多面体就是凸多面体;④以正四面体、各面中心为顶点的四面体仍为正四面体。其中真命题的个数为(）答案：C（只有①不正确）一个多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同,若各个面的内角总和为，求这个多面体的面数、顶点数及棱数.答案：每个面的边数为3，每一个顶点的棱数为5，。设正四面体的棱长为，将各棱长三等分，过分点将原正四面体各顶点附近截去一个小正四面体,试问留下的多面体是不是正多面体。答案：因为截去四个小正四面体后，各棱长虽相等,但是有4个面是正六边形，另4个面是正三角形，不满足正多面体的定义，所以不是正多面体。SABCED在正三棱锥中，如图所示，已知，过作截面与、交于、，求截面周长的最小值。SABCED答案：截面展开，截面周长的最小值为。给出下列六个命题①一个底面为多边形的棱锥内接于一个圆中，它的侧棱长都相等；②一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；③一个棱锥可以有两个侧面与底面垂直；④底面是正多边的棱锥，一定是正棱锥；⑤所有侧棱长都相等的棱锥，一定是正棱锥；⑥各侧面和底面所成二面角都相等的棱锥一定是正棱锥.其中正确命题的个数是(）A．0B．1C答案：B给出下列四个命题:①两相邻侧棱所成角相等的棱锥是正棱锥;②两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥;③侧棱与底面所成角相等的棱锥是正棱锥;④侧面与底面所成角相等的棱锥是正棱锥。其中真命题的个数是（）A．3B．2C答案：D设有三个命题:甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底央是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体；丁：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。以上命题中，真命题的个数是A．3B．2C答案：A有下列几个命题：①有两个侧面都与底面垂直的棱柱是直棱柱；②有两个对角面是矩形的棱柱是直棱柱；③有一条侧棱垂直于底面两条边的棱柱是直棱柱;④底面是正多边形的棱柱是正棱柱;⑤高与侧棱、底面边长都相等的三棱柱是正棱柱。其中正确命题的序号是。答案：⑤下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。其中真命题的编号是。答案：②④已知长方体共点的三条棱长之和为14，对角线长为8，那么（）A．其全面积是66B．其全面积为132C．其全面积不能确定D．这样的长方体不存在答案:D在正方体中，是的中点，求平面与平面所成角的大小。CCC1D1B1A1ABDE即平面与平面所成的角为。如下图，是正方形，是平面外一点,且，求二面角的大小。AABCVDE答案：二面角的大小为如果二面角的平面角是锐角，点到、和棱的距离分别为、4和，那么二面角的大小为（)A．或B．或C．或D．或答案：B在二面角的一个平面内有一条直线，它与棱所成的角为，与平面所成的角为，则这个二面角的大小是。答案：或把长、宽分别为4、3的长方形沿对角线折成直二面角，求顶点和的距离。答案：PABC已知中，平面，,与平面成角，求二面角的正弦值。PABC答案:二面角的正弦值为.如图一，在矩形中，,沿对角线把矩形折成二面角，并且点在平面内的射影落在上。(1）求证：平面;（2）求二面角的大小.DADABCDBCAEH答案：（1）略(2）二面角的大小为已知正方形外一点,满足条件的中点为，且。求证：平面平面。DDPABCEDPABC已知正方形外一点，满足条件，.求证：平面平面。DPABC过点引三条不共面的直线、、，如图，，若截取。SCBA（1)求证:平面平面SCBA（2）求到平面的距离。答案：（1)略（2）到平面的距离为.为平面外一点，，若，求证：平面平面。SSABC