测量发生的误差估计和实验的数据

测量发生的误差估计和实验的数据有效数字的处理

:任何测量都带有误差，只能用近似值表示被测量的真值。若近似值的误差限是某一位的半个单位。该位到第一位非零数字共有n位，就说该值有n位有效数字。有效数字决定了数字的误差限，有效数字越多，误差限越小。等精度数据处理测量发生的误差估计和实验的数据例:测得重力常数g，若以为单位它们都有三位有效数字。按照定义，第一种写法的误差限：第二种写法为：而相对误差限都是：

有效数字的处理测量发生的误差估计和实验的数据数字舍入规则

测量数字要将多余数字舍弃，通常四舍五入。普通四舍五入缺点:入的可能性>舍的可能性，导致所得数据误差不能自行抵消。补充原则:被舍弃的数字为5时：末位是奇数时进一； 末位是偶数时则不变。例：—；

050—（舍弃,首位5后为0，且有效末位是偶）；

750—（进一,有效末位是奇）

等精度数据处理测量发生的误差估计和实验的数据有效数字的计算

1）记录测量数据只保留一位可疑数字；可疑数字表示该位上有个单位或下一位有个单位的误差；2）确定了有效数字位数后，其余按舍入规则取舍；3）第一位有效数字大于等于8，有效数字位数多一位，如可认为四位有效数字；4）加减运算结果按照小数点后位数最少的取；5）乘除运算结果按有效位数最少的位数；6）计算平均值，位数多取一位，以保证残差至少能得到二位数字，不至使平均值和误差的值受到歪曲；7）用来表示误差限的有效数字最多取两位，通常只取一位，同时将测量结果的小数点后位置与误差对齐。等精度数据处理测量发生的误差估计和实验的数据例：——62.69,这里按照原数字直接计算后按照来取舍。例：按照，取三位有效数字为。例：有效数字的计算测量发生的误差估计和实验的数据例：某一试验最后测量结果，若结果的误差限（置信度）分别为：

(1)ΔY=0.004536;(2)ΔY=0.005834.结果的有效数字取几位？并写出最后结果。解：(1)ΔY取两位；因为ΔY<0.0050，Y可取6位有效数字，。最后结果多取两位安全位数与标准误差对齐，表为：

Y=38+(2)ΔY取两位，ΔY=0.0058因为，这样Y应该少取一位，取5位有效数字，，这样ΔY<0.050，最后结果多取三位安全数与标准误差对齐，表为：

Y=138+

有效数字测量发生的误差估计和实验的数据微小误差准则

凡可忽略的误差称为微小误差。任何误差最多取两位有效数字，若某一误差忽略后，不改变它们舍入后的数值，就可认为是微小误差。已定系统误差微小准则：代数和法合成的误差，当小误差与总误差之比不大于1／20

时，则该小误差即为微小误差。标准差微小准则：方和根法合成的误差，当小误差不大于总误差的1／3

时，则该小误差为微小误差。WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据精度测量数据处理步骤根据随机误差的统计处理方法及判断系统误差，粗大误差存在准则，我们可将等精度直接测量的结果用算术平均值来表示。现把处理步骤归纳如下：将测量结果按先后顺序列出表格；求出算术平均值:WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据算出相应的残差:算出值，并用下式计算标准误差剔除坏值，采用拉依达准则，格拉布斯准则或t检验准则，如有坏值，剔除后再从第(2)步计算。采用马利科夫准则可阿贝-赫梅特准则判断。如存在不可忽略的变值系差，则测量结果不能使用，待查明原因后，消除变值系统误差后重新测量。处理步骤测量发生的误差估计和实验的数据求出的标准误差:由测量次数n和确定的置信概率查t分布表，得置信系数，并写出置信限不加注时表明。写出测量结果最后表达式处理步骤测量发生的误差估计和实验的数据举例测量发生的误差估计和实验的数据例：设对某电炉进行12次等精度测量，要求对该数据进行处理（手工处理）。将测量结果列成表格；求平均值，结果多取一位数字:列出各残差Vi之值;

在表中Xi旁列出Vi的值，并求。实际上X的最末一位有效数是小数点后第二位，即，此时N=9，故，故可认为计算无误。

举例测量发生的误差估计和实验的数据(4)求样本方差S2

在各Vi

旁列出Vi2

，并得，于是：(5)检查测量结果中有无粗差:

拉依达准则：，与各Vi相比，显然无差错存在。格拉布斯准则：，取，查表得:，与各Vi比较，没有超限。

T检验准则：查T表2，大于各Vi，没有超限。

举例测量发生的误差估计和实验的数据(6)检查系统误差:

阿贝-赫梅特准则:在表中列出ViVi+1数据，并求出而：，可见无周期性系差存在。马利科夫准则：举例测量发生的误差估计和实验的数据含有累进性系差的测量结果举例测量发生的误差估计和实验的数据(7)求算术均值的标准误差:(8)求置信系数，置信限;对于平均值一般置信概率取，查表：n-1=11，，置信限:(9)写出温度表达式：举例测量发生的误差估计和实验的数据第五节误差的合成分配

-间接测量问题系统误差的合成

随机误差的合成不同性质误差的合成误差的分配误差合成计算举例误差的合成分配对问题自身的准确表达远比问题的解决更重要。问题的解决可能仅仅是数学，或者是实验技术的问题测量发生的误差估计和实验的数据任何测量总是有误差的。直接测量值所带的误差将影响间接测量物理量的准确度。误差的合成：又称误差的综合或误差的累积。它是研究已知各个分项误差大小的情况下，如何求出测量结果的总误差。误差的分配：根据测量结果的总误差来配置各个分项的问题。这包括测量方法和测量仪器的选择问题。

提出新问题，发现新的可能性，从新的角度去考虑老问题，这一切都需要有创造性的想象力误差的合成分配测量发生的误差估计和实验的数据系统误差的合成

在间接测量中，y是直接测量量的函数，

是测量的误差，是由直接测量的分项误差引起的系统误差，则：

y+=绝对误差传递公式：误差的合成分配Y=f(x1,x2,x3….xm)测量发生的误差估计和实验的数据

相对误差形式：上2式一般称为系统误差合成定律(或传播定律)，偏微分为各个误差的传递系数。系统误差的合成

测量发生的误差估计和实验的数据随机误差的合成

随机误差合成主要研究的是函数y和标准差与各测量值的标准差之间的关系,我们对各进行n次独立等精度测量,则可获得n组y值:WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据每次测量的随机误差为：随机误差的方差合成律：随机误差的合成测量发生的误差估计和实验的数据样本方差的合成律：当分项误差服从正态分布时则合成误差也应服从正态分布，置信系数相等。因此，合成误差的不确定度为：随机误差的合成测量发生的误差估计和实验的数据不同性质误差的合成

综合极限误差是所有系统误差和随机误差的全部测量极限误差的合成，它表示测量结果的不精确度，用u表示，误差合成公式：是合成系统误差，合成方法是代数和法；是合成随机误差，合成方法是方和根法，要求各随机误差分量是独立的。WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据误差的分配

误差的分配是根据总误差的大小或总误差和某项子误差的限制提出来的要求，确定各分项误差的值，这对于计量工作、测试系统设计及制定方案都有十分重要的意义。误差主要包含两部分：一是系统误差，二是随机误差。对于系统误差，一般可用修正方法消除。等精度原则分配误差等作用原则分配误差误差的分配

测量发生的误差估计和实验的数据等精度原则分配误差等精度原则假设各项误差彼此相等，即，于是各项误差为：误差的分配

测量发生的误差估计和实验的数据

例测量图的变压器1、4两点的电压。现只有最大量程为500V电压表，分别测得图中u1=480v,u2=464v,u3=448v。要求测量误差u=+，问电压表等级应选多高？解：由于三个电压接近，当选用同一个500V的电压表测量时，每次产生误差也相近，故可做等精度假设。等精度原则分配误差测量发生的误差估计和实验的数据由上述测量结果得总误差限：等精度误差：电压表的引用相对误差为：故可采用级电压表。（这里是什么性质的误差？）等精度原则分配误差测量发生的误差估计和实验的数据等作用原则分配误差

等作用原则假设各分项误差对测量结果的影响程度相等，而各分项误差则不一定相等。即：误差的分配

测量发生的误差估计和实验的数据于是可得分项误差:等作用原则分配误差测量发生的误差估计和实验的数据

误差合成分配计算举例

直接测量得来的数据中，一般带有测量仪器的准确度等级所决定的误差限，不需再作误差计算。在间接测量中，测量值带有一定的误差限或不确定度，而要求最后结果中的误差,需要根据它们进行计算。和差关系乘、除、幂关系WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据和差关系

设为测量值，彼此独立，即不相关，y为最后结果，即：最大误差为：最大误差为各直接测量值误差限之和。误差合成例1

测量发生的误差估计和实验的数据例。需要一个11111Ω的电阻，其相对误差不应大于0.01%，现仅有10n（n=0,1,2,3,）的各种电阻可选，应如何分配误差。 解：根据要求用10000Ω，1000Ω，100Ω，10Ω，1Ω组成，利用串联公式，按相对误差的形式

误差分配例1

测量发生的误差估计和实验的数据可见R1的影响最大，逐个影响减小。因此选用等作用分配误差。考虑实际高精度电阻制作困难，可以逐步调整达到要求。等作用：取rR1=0.002%,0.02%,0.2%,2%,20%,代入可得：rR=0.0018%+0.0018%+0.0018%+0.0018%+0.0018%=0.009%考虑降低电阻要求：取rR1=0.005%,0.03%,0.1%,1%,10%,代入得：rR=0.045%+0.0027%+0.0009%+0.0009%+0.0009%=0.0099%误差分配例1

测量发生的误差估计和实验的数据乘、除、幂关系

m,n,p,q,r均大于零，a，b，c，d，e为直接测量值。求y的相对误差表达式和最大误差。

根据公式计算，两边再除y：各相对误差方向未定，最大误差取绝对值：误差合成例2

测量发生的误差估计和实验的数据例：已知球形电容器电容量按下式计算：式中：R，r分别为外球面电极半径和内球面半径，为介电常数。经测量得求相对误差：解：由公式两边除以C2后可写为：举例4测量发生的误差估计和实验的数据

从此例看出，尽管R和r的相对误差很小，仅为，但电容的相对误差很大。这说明通过测直径来间接测球电容量的方法是不够经济的。举例5测量发生的误差估计和实验的数据某量(y)受许多独立的影响量作用而分别产生若干相互独立的局部误差。当它们同时作用于这个量时而引起误差时，不问其函数关系如何。可以采用误差合成的方法，将各局部误差综合为总误差。如果这些局部误差的大小和方向不能确切得到时,可估计为不确定度。综和后，可得总不确定度。误差合成可按具体情况采用以下方法局部误差测量发生的误差估计和实验的数据代数和法─局部误差的大小、方向确知时，应使用代数和求合成总误差D。

D=

算术求和(绝对值和法)─如局部误差个数少，且只知其不确定度则它们有可能按同方向积累,故应按最不利情况综合总的不确定度D。几何和法(方和根法)─如局部误差较多，又都只知其误差限，若仍按算术和法合成不确定度，显得过于保守,因这时总存在正负误差抵消的可能性,实际的合成误差必然小于算术和法得来的总误差。在这种情况下采用几何和法比较接近实际总不确定度：

局部误差测量发生的误差估计和实验的数据

例:磁电系电压表，当环境温度由额定值升高10时会产生以下局部误差：(1)内阻增大而引起读数减小D1=-0.5am;(2)磁钢磁感应减小读数减小D2=-0.3am;(3)游丝伸长反作用力短减小读数增大

D3=+0.2am（am的电压表精度等级数值）。故这时电压表测量试差增加D；

D=D1+D2+D3

即误差增加不超过一个等级值。

局部误差例测量发生的误差估计和实验的数据例:

用一个0.2级，150V，150分度的交流电压表。配用一个定值附加电阻（级），将量程扩大到450V，在室温在+25℃时，测量一个频率为55Hz的交流电压，示值为100分度时计算其相对误差。解：分析局部误差：级150V电表在标志（20℃）时最大基本误差（误差限）=

在100分度处的相对误差限；

%级电表在0~40℃范围内，每偏离额定温度（20℃）10℃时，引起温度附加误差为，今偏离5℃，可估计举例6测量发生的误差估计和实验的数据

级电表配用0.1级电阻扩大量程，它在时的误差为：

(4）级附加电阻在偏离额定温度（20℃）每10℃，产生的附加温度为%，今偏离5℃，可估计%。

(5）被测量频率偏离额定值（50Hz）%时，产生频率附加误差%。被测量稳定，波形畸变系数<5%，周围无显著的电磁场，估计在测量过程中，没有其他误差源。被测电压值：将五个局部误差按算术合成总误差限：举例6测量发生的误差估计和实验的数据

按方和根法合成总误差限：

从此例看到算术和法与几何法结果相差较多，实际误差因素不太多时选用时要慎重。更精确的方法是采用均匀分布法，限于篇幅就不介绍了。

举例6测量发生的误差估计和实验的数据例:用一个随机不确定度为8mg的20kg一等砝码，在随机不确定度为12mg的天平上鉴定n=25个20kg的二等砝码。问这些二等砝码组成的φ=500kg大质量砝码的随机不确定度？解；设20kg一等砝码值为T，其随机不确定度为△T=8mg，它与被检20kg的二等砝码Xi(i=1,2,--，25)在天平上独立测得的差值Wi(Wi=Xi-T)，则Wi的随机不确定度△W=12mg，500kg大砝码可表示为:

天平的随机不确定度和标准砝码的随机不确定度是不同性质的误差。举例7误差限误差限误差限测量发生的误差估计和实验的数据作为随差：所以：即： 这是不合理的。举例7测量发生的误差估计和实验的数据天平的不确定度是每次测量时读数具有的随机误差。而标准砝码的随机不确定度是制造和检定的有限精度形成的，我们将上式中一等砝码的随机不确定度按算术和法合成：将天平随机误差仍按方和根法合成：因为△T

是随机不确定度，所以这两部分误差按方和根法合成得到总不确定度；

举例7测量发生的误差估计和实验的数据重新考虑误差传递求：，测n次。平方项：交叉项：所以:举例7测量发生的误差估计和实验的数据重新考虑误差传递，设：

ψ=x1+x2=T+W1+T+W2

可推到n个结论：误差的随机性（抵偿性）和系统性与相关系数有关。举例7测量发生的误差估计和实验的数据从上式看，无论x与y取和差，他们的方差取和，仅协方差的符号不一样。当x与y独立时，则有问题:

有：有：这样有两个结果了，怎样正确？要注意物理意义，公式左边为合成误差，右边为误差来源。举例7测量发生的误差估计和实验的数据例：z=x+y,而y=3x,求：解

有相关关系的量存在，尽量化简，不能当随机误差，可以避免随误。举例8函数关系就是一种紧密相关关系测量发生的误差估计和实验的数据第七节组合测量数据处理

前面讨论的主要是单值测量数据处理，即对一个不变的量进行多次测量的处理。在工程实验和科学研究中常需要确定几个被测量之间的关系，如要确定窑的温度T与燃料量，风量之间的关系，这要在不同的条件下测出多组数据：然后根据这些数据组确定变量之间的关系（即确定参变量），分析变量误差。这就是组合测量数据处理。一元线性回归多元线性回归组合测量误差测量发生的误差估计和实验的数据数值变量之间的关系可分为两类： 一类是确定性的关系，即函数关系，它一一对应。 一类是变量之间有相互依赖但不能确定的函数关系描述，称为相关关系。判断变量之间是否存在相关关系的方法称相关分析。相关分析可用来对经验公式（即回归方程）检验，评价误差以便用经验公式去预报和控制变量数值等。用统计方法在大量的观察和试验中，寻找隐藏在上述不确定性（即随机性）后面的统计规律性的方法称为回归分析。

组合测量误差Q=f(x,y,z)测量发生的误差估计和实验的数据在回归分析中，主要目的是找到简单合适的回归方程。回归方程的确定可分为三步骤：1）确定回归方程函数类型；2)确定函数中各参数之值；3)对经验公式精度做出评价。本节以讨论一元线性方程为主。组合测量误差回归分析P57测量发生的误差估计和实验的数据一元线性回归

经验公式与最小二乘法相关性检验预报和控制一元拟线性回归组合测量误差对问题自身的准确表达远比问题的解决更重要。问题的解决可能仅仅是数学，或者是实验技术的问题。测量发生的误差估计和实验的数据设随机变量y和X间存在着某种相关关系。X是可以控制或可以较精确观察的变量。由于y的随机性，对于X的每一个确定值，y有它的分布。若y的某些数字特征存在的话，则它们的值随X取确定值而确定。可以通过一组样本值来估计数字特征（如数字期望）。解决如下问题：在一定置信度下，估计出当X取某一值X0

时，随机变量y取值的情况（即预测问题）；在一定置信度下，控制自变量X取值范围，使y在给定范围内取值（即控制问题）。在随机变量y的各数字特征中，最重要的是它的数学期望m=m（X），称为y对X的回归。回归分析的基本内容是估计m（X），然后利用估计结果作预测或控制。一元线性回归

任务y=f(x)测量发生的误差估计和实验的数据为了便于估计出变量之间的函数形式，将每对观测值(xiyi)在坐标系中绘出，称散点图。例:某台螺旋给料机的下料量与控制器指针刻度有关。 表是该机的标定实测数据。指针刻度X是自变量，下料量y是随机变量。我们要求y对X的回归。从散点图可以看到，这些点是散乱的，但大体上散布在某条直线的周围。即下料量与刻度大致成线性关系：经验公式与最小二乘法组合测量误差测量发生的误差估计和实验的数据原始表经验图经验公式与最小二乘法y=f(x)=a+bx测量发生的误差估计和实验的数据回归方程：y上加“^”是为了区别实际值y，通常叫做回归系数。手工经验公式太粗糙，对于非线性和多变量问题无法解决，可采取最小二乘原则来改进。经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据设给定n个点，对于平面上任一条直线l与：

y=a+bx可用数量到直线t的距离。于是:

就定量的描述了直线l与这n个点的接近程度。这个量随不同直线而变，或说随不同的a与b而变，既是a，b的函数。于是，找最接近这n个点的问题就成为如下问题:经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据要找，两个参数，使二元函数Q（a，b）在a=，b=处达到最小。由于Q（a，b）是n个平方之和，所以使Q（a，b）最小的原则称为平方和最小原则，又称为最小二乘原则。取Q关于a，b的偏导数，并令它们等于零：经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据得到正规方程组：正规方程组的系数行列式：经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据解得b，a的估计分别为：式中：经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据例：对于上例中的数据，计算得：因此得下料量y与控制器刻度的经验公式：经验公式与最小二乘法测量发生的误差估计和实验的数据相关性检验

经验公式：用它进行预报和控制之前还需进行相关性检验，以判明X与Y是否线性相关。设WELCOME测量发生的误差估计和实验的数据这表明自变量是X时，因变量Y是随机变量，a，b是常数，

是随机项（除去X对Y的线性影响之外的其他各种因素对Y的影响）。判别Y与X是否线性相关，检验假设，这就是相关性检验。 如果b=0，则X的值不能控制Y，用经验公式来预报或控制毫无意义。为了检验假设，假设a，b都不依赖于X，属于均值为零的正态分布。。相关性检验测量发生的误差估计和实验的数据为了选择合适的统计量，先讨论偏差平方和。前面用最小二乘求出的是y（=a+bX）的无偏估计值，就可看成是某点y附近观测值的平均值，这就相当前面单值（一维分布）测量时与均值m的关系就是残差平方和，即Q（a，b）的最小值，因此记作Q。相关性检验测量发生的误差估计和实验的数据

把叫做的偏差平方和，记作lyy,

的偏差平方和。它们描述了这n组数据的分散程度。注意到：相关性检验测量发生的误差估计和实验的数据可知回归值

的平均值就是测量值

的平均值

。于是

就是回归偏差平方和，通常称为回归平方和，记作U， 回归值

的分散程度U，或可说是来源于

的分散性，通过X对于y的线性影响而引起的y分散性，即很容易证明：

lyy=Q+U测量值

的分散程度由两部分组成。

相关性检验因b≠0，则X分散导致y分散，测量发生的误差估计和实验的数据一部分是U另一部分Q。则是由随机项

引起的Q是除了X对y的线性影响之外的一切因素对

分散性的作用。综上所述：可把lyy

总的偏差平方和，

lyy＝U＋Q。U反映线性关系，Q反映X的非线性及其他一切不由X控制的因素。

U值占lyy的比例越大，X与y的线性关系越好；反之Q值占lyy比例越小回归效果越好。选择U与Q的比值或U与lyy

的比值评价线性相关的统计量。相关性检验测量发生的误差估计和实验的数据数学上常选取统计量:若F取值相当大，表明X与y线性关系明显。数学上表明，若随机变量遵从自由度n-2的t分布，则F遵从自由度1，n-2的F分布。因F大于零，选取统计量t代替F,t服从自由度为