2023学年完整公开课版反证法

4.6反证法武义县金穗民族中学聂建平问题情境引出新知

《路边苦李》的故事

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?假设李子是甜的事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾。造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。发现新知识：

这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。像这样的证明方法叫做反证法。新知尝试初显身手例1：在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴,则李子会很少，这与事实相矛盾。假设不正确，则李子是苦的。假设∠B=∠C

则AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾所以，假设不正确，则∠B≠∠C方法迁移例2.求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.已知：四边形ABCD（如图）求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角.证明：假设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿于是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾.所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，∠D＜90°,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°,“四边形内角和为360°”四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角.合作学习再显身手求证：在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（1）你会选择哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？目前初中证明方法有两种：综合法（直接法）反证法（间接法）已知：如图，a∥b,b∥c.求证：a∥c.证法一：（综合法）作直线d交直线a，b，c分别于点A，B，C（如图），∵a∥b,b∥c∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∴a∥c123ABCd已知：如图，a∥b,b∥c.求证：a∥c.证法二（反证法）：假设＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则a与b相交，设交点为P∵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则过点P有两条直线a，c都与b＿＿＿，这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾，∴＿＿＿＿＿＿＿不成立，所求证的结论成立.a不平行ba∥b,b∥c平行“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”假设1.“a＜b”的反面应是（）A.a≠bB.a＞bC.a＝bD.a＞b或a＝b

2.请写出下列结论的反面：（1）m是正数（2）m≥0（3）m＜5D（1）m不是正数，即m是负数和0，（2）m＜0，（3）m≥5.同步尝试巩固新知练习3.用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等.已知：如图直线被所截，A，B为交点，∥.求证：∠1＝∠2.证明：假设所求证的结论不成立，即＿＿≠＿＿＿.过点A作直线，使与所成的∠3与∠2相等，则∠3＿＿∠1，所以直线与直线不重合.但∥（），又已知，这与基本事实＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿产生矛盾，所以＿＿＿＿＿不成立.所求证的结论成立.∠1∠2≠同位角，两直线平行∥“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”假设练习4.证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°已知：△ABC（如图）求证：△ABC中至少有一个内角大于或等于60°证明：假设△ABC中没有一个内角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾.所以△ABC中至少有一个内角大于或等于60°归纳尝试回味无穷本节课你有那些收获？假设结论的反面正确

得出矛盾（已知基本事实、定理等）

假设不成立，原命题成立.推理论证得出结