初中数学九年级培优教程

初中数学九年级培优目录

第1讲二次根式的性质和运算(P2--7)

第2讲二次根式的化简与求值(P7--12)

第3讲一元二次方程的解法(P13—16)

第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16—-22)

第5讲一元二次方程的应用(P23--26)

第6讲一元二次方程的整数根(P27--30)

第7讲旋转和旋转变换(一)(P30--38)

第8讲旋转和旋转变换(二)(P38--46)

第9讲圆的基本性质(P47—51)

第10讲圆心角和圆周角(P52—61)

第11讲直线与圆的位置关系(P62--69)

第12讲圆内等积证明及变换((P70-—76)

第13讲弧长和扇形面积(P76--78)

第14讲概率初步(P78--85)

第15讲二次函数的图像和性质(P85--91)

第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92--98)

第17讲二次函数的应用(P99—-108)

第18讲相似三角形的性质(P109—-117)

第19讲相似三角形的判定(P118--124)

第20讲相似三角形的综合应用(P124——130)

第1讲二次根式的性质和运算

考点•方法•破译

1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析;

1

2.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；

3.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.

经典・考题・赏析

【例1】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）

A.J/+1D.V27

【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中

不能有可开尽方的数或式子.B中含分母，C、D含开方数4、9,故选A.

【变式题组】

1.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）

A.MB.V8C.V6D.V2

（2）①正+/；②后;③旧—xy；④5abe,最简二次根式是（）

A.①，②B.③，④C.①，③D.①，④

【例2】（黔东南）方程|4x—8|+Jx—丁―加=0,当y>0时，加的取值范围是（）

A.0</M<1B.C.z;7<2D.mW2

【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x—8=0,

x—y一加=0.化为y=2—〃7,则2—加>0,故选C.

【变式题组】

2.（宁波）若实数x、y满足JT至+3—S）2=o,则孙的值是.

3.（荆门）若J^T—Ji^7=（x+y）2,则x—y的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

4.（鄂州）使代数式五三3有意义的X的取值范围是（）

x-4

A.x>3B.x23C.x>4D.x23且xW4

5.（怀化）-2|+Jb-3+（c-4）2=0,则a—6—c=..

【例3】下列二次根式中，与后是同类二次根式的是（）

A.V18B.屈C.V48D.V54

【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数

是否一样.A.718=372；B.屈不能化简；C.弧=4邪;D.A=3#,而J%=2#.故

2

本题应选D.

【变式题组】

6.如果最简二次根式j3a-8与J17-2a是同类二次根式,则。=.

7.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.和J[8B.和C.】a"b和Jab~D.Ja+1和Ja-1

8.已知最简二次根式花和J2b-a+2是同类二次根式,则。=,b=.

【例4】下列计算正确的是（）

A.75-73=72B.次+收=4

C.V27=3A/3D.（1+72）（1-72）=1

心>0）

【解法指导】正确运用二次根式的性质①（«?=。（。20）：②"=同=<05=0）；③

猴』.国a20,b20）；④平=染3>0,。>0）进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、

yjayJa

B中的项不能合并.D.（1+、历）（1—应）=1—（后>=—1.故本题应选C.

【变式题组】

9.（聊城）下列计算正确的是（）

A.2百+4后=66B.&=4亚

C.厉十行=3D.7（-3）2=-3

10.计算：（而+4）2°°7.（4—炳2。。7=

11.（2行+3回2_（26—3五）2=

12.（济宁）已知a为实数，那么口?=（）

A.aB.—aC,—1D.0

13.已知a>b>0,a+b=6y/ab,则由一'的值为（）

yja^y/h

A.---B.2C.D.一

22

3

【例5】已知孙＞0,化简二次根式的正确结果为（）

A.B.y]—yc.-y[yD.—yf-y

【解法指导】先要判断出y＜0,再根据中＞0知x〈0.故原式X后=-Q1选D.

【变式题组】

14.已知a、b、c为△Z8C三边的长，则化筒|a-b-c|+J（a-b+c）2的结果是

15.观察下列分母有理化的计算：—尸）一5=也一Jfl1l=^3-V2,-7=^--7==V4-V3,

V2+V1>/3+<2V4+<3

算果中找出规律，并利用这一规律计算:

—f=---7=+-j=---7=---HI-----=----/------,(■006+1)=

V2+V1V3+V2J2006+42005

16.已知，则OVxVl,则」（工一二）2+4—

【例6】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：」一+'+--—,其中。=迈上1,6=1二1.

a+bba（〃+b）22

内、=痴[+6_VJ-V2顼,小将TJ^+（X+«V）2/古力

（2）已知x=—：=-f=，y=—f=----7=,那么彳弋数式I—---------值为_________.

,\/3—y/2y/3+yjxy-（x+y）~

【解法指导】对于（1）,先化简代数式再代入求值；对于（2）,根据已知数的特征求xy、x+y的值，再代

入求值.

【解】⑴原式=小也也叱=曲金="2,当。=在上1,/,=正二1时，ab=l,a+

ab（a+b）ab（a+h）ah22

b=y/5，原式=y/5.

⑵由题意得：xy=\,x+y=10,原式=j+10°

JTTOO99

【变式题组】

17.(威海)先化简，再求值：(〃+b)2+(a—b)(2a+b)—3Q2,其中〃=—2—=JJ—2.

18.（黄石）已知la是4一道的小数部分，那么代数式（二十“-2+1的值为

。~+4〃+4。+2。a

4

【例7】已知实数x、y满足2008）（y-犷二2008）=2008,则3炉一2产+3x—3y—2007

的值为（）

A.-2008B.2008C.一1D.1

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出好6的关系，再代入求值.

解：：（x-&-2008）3-族2—2008）=2008,

A（x-正―2008）=——2008二夕+五2—2008,

y-dy~—2008

2

(y-7/-2008)=——(颐=x+Vx-2008,由以上两式可得x=y.

x->Jx2-2008

...(x-yjx2-2008)=2008,解得N=2008,所以3/-2y+3x-3y-2007=3/-2^2+3》一31~2007

=N—2007=1,故选D.

【变式题组】

2a+3b+Jab_

19.若a>0,b>0,且后(4'+JF)=3j^■(正+5加')，求---------的值.

a-h+yjab

演练巩固-反馈提高

01.若加="3-4,则估计加的值所在的范围是（）

A.l<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

02.（绵阳）已知J12-〃是正整数,则实数〃的最大值为（）

A.12B.11C.8D.3

03.（黄石）下列根式中，不呈最简二次根式的是（）

A.不B.A/3C.^|D.V2

04.（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A.V2B.V6C.瓜D.V10

05.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.>/12B.1X。+3C.D.da~b

06.（常德）设a=2。，/>=（-3）2,c=口,J则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确

5

的是（）

A.c<a<d<bB.b<d<a<cC.a<c<d<bD.b<c<a<d

07.（十堰）下列运算正确的是（）

A.-\/34-V2=y/5B.VJxy/2=y/6

2

C.（V3-I）=3-1D.A/52-32=5-3

08.如果把式子-一根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）

V1-（7

A.yjl—ciB.yja—\C.-Ja-1D.—>/l—ci

09.（徐州）如果式子J（x+1>+|x-2|化简的结果为2x—3,则x的取值范围是（）

A.B.xe2C.D.x>0

x

10.（怀化）函数y=J中自变量的取值范围是

Jx—2

11.（湘西）对于任意不相等的两个数a,3,定义一种运算〃※Z>=叵2=J?.那么12X4=.

3-2

12.（荆州）先化简，再求值：尸一十小幻其中。=百.

a~—2Q+1u—ci~

13.（广州）先化简，再求值：（a—G）（a+J5）-a（a—6）,其中。=石+’.

培优升级

01.（凉山州）已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是.

2匹舟

02.已知a、6是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a,b）共有,对.

.„y/5—1.+1;4——a~—+2

03.（全国）设4=-----,则------------------------

2a3-a

04.（全国）设x=——，。是x的小数部分,b是x的小数部，则凉+〃+3时=

V2-1

05.（重庆）已知y=—则f+，=.

06.（全国）己知”=、历一1,a=2y[2-y/6,a=46-2,那么a、b、c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

6

07.（武汉）已知｝=+（x,y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）

A.V6-3B.3C.V5-3D.痛-百

08.（全国）已知非零实数a、6满足|2a—4|+卜+2|+J（a-3）b2+4=2a,则a+6等于（）

A.-1B.0C.1D.2

09.（全国）2d3-2逝+近-12应等于（）

A.5-4>/2B.472-1C.5D.1

10.已知x-2jE+y=0（x>0,y>0）,则一^~'^•十丫的值为（）

5x+3y]xy-4y

1123

A.-B.—C.-D.一

3234

11.已知a+1-2Ja-1—4>Jb-2=3Jc—3--c—5,求a+6+c的值.

2

12.已知9+JlI与9一后的小数部分分别是a和b,求M—3a+46+8的值.

第2讲二次根式的化简与求值

考点•方法•破译

i.会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.

2.会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.

3.会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.

经典・考题・赏析

7

【例1】（河北）已知&+J==2,那么」x二—J—二的值等于__________

《xVx2+3x+1Vx2+9x+1

【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+工表示或化简变形.

X

解：两边平方得，x+-+2=4,x+-=2,两边同乘以x得，X2+\=2X,Vx2+3x+l=5x,

XX

2n111.店T_「l~T_布VTT

x+9x+1=1lx,..原式=/—/—=---------

\5\11511

【变式题组】

1.若。+1=4（0<a<l）,则-i==

aJa

2.设=一JZ,则J4x+f的值为（）

yja

11

A.a——B.---aC.UH--D.不能确定

aaa

【例2】（全国）满足等式坊+y6-J2003X-42003,+,2003盯

=2003的正整数对（x,y）的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.

解：可化为向电+77）-,2003（4+6）+12003（弧-&003）=0,

（yfxy-也003）（4+6+V2003）=0

VVx+77+72003>0,.,.历-12003=0,则中=2003,且2003是质数，

...正整数对（x,y）的个数有2对，应选A

【变式题组】

3.若a>0,b>0,且五（五+4昭）=3扬（而+2回，求.2"3'+摩的值.

a-b+yjab

1

【例3］（四川）己知:4^c=4a+（0<。<1）,求代数式

y[a

x~+x-6x+3x-2+Vx2-4x

---------十—--------------’的值.

xx-2xx-2-yJx2-4x

1

【解法指导】视x-2,N-4x为整体，把«=&+平方，移项用含a的代数式表示x-2,

8

注意OVaVl的制约.

解：平方得，x-u---1-2,***x—2=。-1—，—4x+4=Q~H——+2，

aa

7.o1-

x—4x=ciH—；—2，

a

.化简原式=(X+3)(X-2).X(X-2)_--2+

xx+3x-2-\/x2-4x

iQ+—+(——a)

=(〃+与2——C^CL=/+2

a1,1x

QH---(—u)

aa

【变式题组】

x+3_1x—3

4.（武汉）已知,求代数式-(———x-2)的值.

x+2-V3+V2+12x-4x-2

5.（五羊杯）已知加=1+后，”=1一行，且（7〃?2一14机+。）（3〃2—6〃-7）=8，则0的值等于（）

A.-5B.5C.-9D.9

【例4】（全国）如图，点AC都在函数y=1^（x〉O）的图像上，点8、。都在x轴上，且使得△

x

OAB.△88都是等边三角形，则点。的坐标为.

【解法指导】解：如图，分别过点/、C作x轴的垂线，垂足分别为E、E设

OE=a,BF=b,则a,CF=yf3b,所以，点4、C的坐标为（a,J^a）、

-3>/3

(2a+b,JJb),所以

、出bQa+b)=3也

因此，点。的坐标为（2瓜0）

【变式题组】

6.（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.

5/22

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子,其实我们还可以将其进一步

化简:

55x73573[2_IMV6

（二）

73-73x73-3,V3-V3^3T

2_.2X(V3-1)r-

(三)

京r(0

9

以上这种化简的步骤叫做分母有理化，-^―2还可以用以下方法化筒:

V3+1

2___3_-_1___(⑸-1=(6+1)(百-1)=’>

（四）

V3+1V3+1V3+1V3+1

(1)请你用不同的方法化简•-尸':

V5+V3

2

①参照（三）试得:；（要有简化过程）

V5+V3

2

②参照（四）试得:；（要有简化过程）

V5+V3

1111

（2）化简:--------------1--------------------1---------------------1-...-I-----------------------------------

V3+1V5+V3b+672/74-1+^2/2-1

【例5】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为Ja?+c）,

y/b2+d2,yl（b-ay+（d-c）2,求此三角形的面积.

【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积（为什么?），山…的几何意义是以a、c为直角边

的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.

解：如图，作长方形N8CZ）,使/8=6—a,AD=c,延长。/至E,使DE=d,延长。C至尸，使。尸

=b,连结EF、FB、EB,则8F=jY+c?,EF^yJh2+d2,

BE=1(b-a)2+(d-c)2,从而知△8EF就是题设的三角形，而

粕ABCD+SNCF+SMBE-S2DEF=S~~4)。+—("-C)——bd

22

ad)

【变式题组】

7.（北京）已知a、6均为正数，且。+6=2,求U=&+4+招+T

10

演练巩固・反馈提高

己知人小卑_V3->/2那么代数式但十二十二值为.

01.yV3+72'

V3-V2yjxy-x-y

02.设。=c一1,贝|」3/+12。2—64—12=（）

A.24B.25C.477+10D.477+12

03.（天津）计算（6+1）2°3-2（6+1）2°°°-2（6+1）|硼+2001=

04.（北京）若有理数X、＞、z满足4+Jy-1+Jz-2=；（x+y+z）,贝！］（x-yz）2=

y[tn+2y/n-8

05.（北京）正数〃？、n满足m+4j^7-2j^-4*7+4〃­3=0,则

y[rn+2y/n+2002

06.（河南）若x=JJ+l,则/一（2+6）]2+（1+26）]一6+5的值是（）

A.2B.4C.6D.8

07.已知实数a满足|2000-3+14-2001=u,那么。一20002的值是（）

A.1999B.2000C.2001D.2002

08.设。=丽+J^,b=JI而+闻5,c=2V1000,则a、b、c之间的大小关系是（）

A.4VbVcB.c<h<aC.c<a<bD.a<c<b

培优升级

01.（信利）已知x=l+JJ,那么——+—..........=

x+2x—4x—2

02.已知+4+yja—1=5,则\[6—2>Ja—

03.（江苏）已知（x+4+2002）（.+2+2002）=2002,则

x2-3xy-4y2-6x-6y+58=

04.（全国）y/lx2+9x+13+-5x+13=7x,则x=

11

.>/3—V2y/3+V2.yx

05.已知x=-j=T=>y=_j=尸,那么——H——=

V3+V2-V3-V2x2V

3333

06.(武汉)如果q+b=而］?,a-6=7V2002-2,|/)+<；|=6-c,那么03的

值为()

A.2002J2002B.2001C.1D.0

°7-（绍兴）当、=匕受时,

代数式（41—2005x—ZOOlp（^的值是（）

A.0B.-1C.1D.-22003

08.（全国）设a、b、c为有理数,且等式a++=《5+2#成立,则2。+9996+1001c的

值是()

A.1999B.2000C.2001D.不能确定

09.计算：

⑴庭+4d+36

(V6+73)(73+72)

后-岳-而

Vio+Vi4+Vi5+^T

(.八3)---1----1------1------1------1-----F…-I----------1-------

3+V35y/3+3y/57下+5649匹+47河

(4)73-272+,5-2«+(7-2厄+加-2病+血-2瓦+^3-2^2

+715-2756+717-2A/72

12

10.已知实数“、b满足条件4=2<1,化简代数式('—1)•J(a—6—1)2,将结果表示成不含6

aab

的形式.

已知》=匕£.八、八小Jx+2-vx-2

11.(a>0),化间：i--------——---------

ay/X+2+yjX—2

12.已知自然数x、夕、z满足等式Jx-2jW—J}+J7=0,求x+y+z的值.

第3讲一元二次方程的解法

考点•方法•破译

i.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；

2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；

3.会应用一元二次方程解实际应用题。

13

经典・考题-赏析

【例1】下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的是（）

4（〃?-2）丁-2xT=0B./工+5代3=0

।2

C.-x—2—0D.3x~H------4-0

3x

【解法指导】/、8选项中的二次系数可以为0,不是；。的分母中含字母，不符合.故选C

【变式题组】

1.（威海）若关于x的一元二次方程f+（&+3）x+A=0的一个根是-2,则另一个根是.

【例2】如果“、〃是两个不相等的实数，且满足--2机=1,/-2〃=1,那么代数式

2?n2+4n2-4n+1998=.

【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.

解：由题意,2m2=4m+2,4n=8n+2,则原式=（4m+2）+（84+2）-4"+1998=（4m+4"）+4+1998,又由根与系

数关系得加+〃=2,...原式=2010.

【变式题组】

2.（南昌）若3/-a-2=0,则5+2a-6/=.

3.（烟台）设.、6是方程f+x-2009=0的两个实数根，则/+2研6的值为（）

A.2006B.2007C.2008D.2009

【例3】关于x的一元二次方程（加⑹苫^+必+加冷二。有一个根为0,机的值为.

【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0,则常数项为0.

解：依题意苏-9=0,，m=±3,根据方程是一元二次方程得加会3,综合知加=-3.

【变式题组】

4.（庆阳）若关于x的方程/+2》+&-1=0的一个根是0,则AF.

5.（东营）若关于x的一元二次方程（w-l）J+5x+疗-3"计2=0的常数项为0,则〃7的值等于（）

A.1B.2C.1或2D.0

【例4】（连云港）解方程：xMx-l=0.

【解法指导】解：

-4+.\/4-4x1x（-1）l

解法一：,/折1,b=4,c=T,二x=—3----------.即x=-2±J5.原方程的根为

2x1

X]———2-,%2——-2+.

解法二：配方，得（x+2）z=5,直接开平方，得x—2=±JJ,.•.原方程的根为百=一2—6=-2+75.

【变式题组】

6.（清远）方程丁=16的解是（）

A.x=±4B.x=4C.x=-4D.x=16

7.（南充）方程（r3）（4+1）二厂3的解是（）

A.x=0B.x=3C.x=3或x=-lD.x=3或x-0

8.（咸宁）方程3x（x+l）=3x+3的解为（）

A.x~lB.1C.X1~0,工2二11D.f工2二11

9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从

以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.

①d-3x+l=0：②（戈-1）2=3；（3）X2-3X-0；④-2X=4.

14

【例5】（山西）解方程：6x-x-l2=0

【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1,解：方程两边都除以6,移项得d-Lx=2,配方得

6

X2_L+(__L)2=2+(-JL)2,

即x-

6121212144122-3

【变式题组】

10.（仙桃）解方程：x+4x+2=0.

11.（武汉）解方程：x2_3x_l=0.

12.（山西）解方程：X2-2X-3=0.

演练巩固•反馈提演）

0L（宁德）方程X2-4X=0的解是.

02.（十堰）方程（x+2）（x-l）=0的解为.

03.（大兴安岭）方程（『5）（x-6）=x-5的解是（）

A.x=5B,x=或r=6C.x-1D.户5或x=7

04.（太原）用配方法解方程丁-2厂5二0时，原方程应变形为（）

A.（X+1）2=6B,（X-1）2=6C.（X+2）2=9D.（x-2）2=9

05.（云南）一元二次方程5d-2产0的解是（）

25

A.X]=0,x2=—B.x]=0,x2=——

52

C.x}=0,x2=—D.X）=0,x2=—

06.（黄石）已知a、6是关于x的一元二次方程丁+姓-1=0的两实数根，则式子2+q的值是（）

ab

A.n'+2B.~n'+2C.n'~2D.~n'~2

07.（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染

的人数为（）

48人8.9人C.10人D.11人

08.（台州）用配方法解一元二次方程d-4x=5的过程中，配方正确的是（）

A.（x+2）2=lB.（x-2）z=lC.（x+2）z=9D.（X-2）2=9

09.（义乌）解方程4力2=0.

10.（兰州）用配方法解一元二次方程：2d+l=3x.

15

11.(新疆)解方程:(X-3)*2+4X(X-3)=0.

12.(梧州)解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.

13.(长春)解方程：x-6x+9=(5-2x)2.

[y-x=1①

14.(上海)解方程：\■,一

[2x2-xy-2^0®

培优升级

01.（鄂州）已知。、£为方程d+4x+2=0的两个实根，则。、14£+50=.

02.已知x是一元二次方程f+3x-l=0的实数根，那么代数式一x^-3—十（x+2--5二）的值为

3x~—6xx—2

x~-x+25/3

03.（苏州）若丫2-犷2=0,则+的值等于（）.

A.—B.-C.也D.G或在

333

04.（全国）已知三个关于x的一元二次方程or'+bx+c=0,bx'+cx+a=0,cf+or+b=0,恰有一个公共实数

2122

根，则---1----1---的值为（）.

becaab

A.0B.1C.2D.3

424

05.（全国）已知实数x、y满足:4-4=3,则。+v的值为().

XXX

I+VB7+岳

A.7B.---C.D.5

22

06.（全国）已知用二1+,n=l-yf2,且（7裙-14用+〃）（3--6〃-7）=8,则々的值等于（）・

A.-5B,5C,_9D.9

07.（毕节）三角形的每条边的长都是方程丁-6/8=0的根，则三角形的周长是.

08.（滨州）观察下列方程及其解的特征：

（Dx+」=2的解为汨二工2二1;（2）x+[=*的解为工1=2,x2=-；（3）x+』=3•的解为工尸3,x2=—；...

xx22x33

解答下列问题：

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⑴请猜想：方程X+'=型的解为；⑵请猜想：关于X的方程x+,=的解为%=0,

x5x

-(aWO)；⑶下面以解方程％+