湖北省荆州市区川店中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省荆州市区川店中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．

参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，求出|PF2|=3a进而根据勾股定理求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则|PF2|=3a，∴|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2，又根据曲线的定义得：10a2=4c2，e=，∴双曲线的离心率．故选：A．2.M是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.其中真命题是（

）A．②③④

B．①③④

C．①②④

D．①②③参考答案：C略3.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为(

) A．5π B． C．20π D．4π参考答案：A考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥P﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积解答： 解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平面PAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB因此Rt△BPC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．4.若的内角满足,,则A的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：C5.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1⊥l2，且l2与圆O相离参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】用点斜式求得直线m的方程，与直线l的方程对比可得m∥l，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离大于半径r，从而得到圆和直线l相离．【解答】解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵KOP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选A．7.点M为直线5x+12y=0上任一点，F1（﹣13，0），F2（13，0），则下列结论正确的是（）A．||MF1|﹣|MF2||＞24 B．||MF1|﹣|MF2||=24 C．||MF1|﹣|MF2||＜24 D．以上都有可能参考答案：C【考点】轨迹方程．【分析】运用双曲线的定义，可得双曲线方程和渐近线方程，即可得到结论．【解答】解：若||MF1|﹣|MF2||=24，则点M的轨迹是以F1（﹣13，0），F2（13，0）为焦点的双曲线，其方程为=1．因为直线5x+12y=0是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有||MF1|﹣|MF2||＜24．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，属于中档题．8.已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知集合，在区间上任取一实数，则的概率为A. B. C. D.参考答案：C10.cos45°cos15°＋sin225°sin165°的值为 （

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.四面体共有_____条棱.参考答案：6略12.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意，都有成立，则称和在上是“亲密函数”，区间称为“亲密区间”．若与在上是“亲密函数”，则b的最大值是

．参考答案：413.如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

．参考答案：4【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1连接OC，BE，如下图所示：

则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°

又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4【思路点拨】连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．14.已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为

．参考答案：1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是____________．参考答案：略16.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，则A到平面的距离为

，若P为线段上一个动点,则

参考答案：,17.二项式的展开式中，含项系数为__________.参考答案：24略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，，，且．（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列的前项和．参考答案：（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，则有．

①……1分由，，且，得，．所以，，，………………2分所以，解得或．…………………3分当时，，，且，有．………………4分当时，，，且，有．…………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……6分方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，设，……………………1分即，……………Ks5u………2分即．………………………3分与已知比较，令………4分解得或．…………………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……6分（2）解法1：由（1）知，……7分当为偶数时，…………8分

…………9分

．…………………10分当为奇数时，………………11分

…………12分

．……………13分故数列的前项和………14分注：若将上述和式合并，即得．解法2：由（1）知，…………………7分所以，……………………8分当时，

．因为也适合上式，……………10分所以．所以．…………11分则，………………12分……………13分

．……Ks5u………14分解法3：由（1）可知，…………………7分所以．…………8分则，……9分当为偶数时，………10分

．……………11分当为奇数时，………………12分

．………13分故数列的前项和………14分注：若将上述和式合并，即得．19.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i???1，2，3，4）．

（1）求证：数列不是等差数列；

（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列能否为等比数列？并说明理由．参考答案：（1）假设数列是等差数列，

则，即．

因为是等差数列，所以．从而．

……2分

又因为是等比数列，所以．

所以，这与矛盾，从而假设不成立．

所以数列不是等差数列．

……4分

（2）因为，，所以．

因为，所以，即，……6分

由，得，所以且．

又，所以，定义域为．……8分

（3）方法一：

设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

则

……10分

将①+③－2×②得，

将②+④－2×③得，

……12分

因为，，由⑤得，．

由⑤⑥得，从而．

……14分

代入①得．

再代入②，得，与矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．

……16分

方法二：

假设数列是等比数列，则．

……10分

所以，即．

两边同时减1得，．

……12分

因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以．

又，所以，即．

……14分

这与且矛盾，所以假设不成立．

所以数列不能为等比数列．

……16分20.已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对，试比较与的大小．参考答案：解：设等差数列的公差为，由题意可知 即，从而 因为

故通项公式

（Ⅱ）解：记 所以 从而，当时，；当

略21.(本小题满分12分)现有7名数理化成绩优秀者，其中数学成绩优秀，物理成绩优秀，化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．（Ⅰ）求被选中的概率；（Ⅱ）求和不全被选中的概率．参考答案：解：（Ⅰ）从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切