图形变换的矩阵方法

关于图形变换的矩阵方法1第1页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三2图形变换几何变换投影变换又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状几何变换基本变换组合变换：上述变换的连续实施投影变换正投影变换斜投影变换中心变换：三面正投影图、轴测图：斜轴测图变位变换变形变换：旋转、镜像、：比例、错切周分布、阵列、线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。：透视图

由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形，要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数。第2页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三31.二维平面上点的表示法改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。2.图形变换的矩阵表示

一对坐标(x,y)一个向量[xy]设:点P(x,y)点P’(x’,y’)其数学表达方法矩阵表达方法变换后的位置矢量矩阵变换矩阵位置矢量矩阵4.1二维图形变换第3页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三4就是将图形放大或缩小的变换方法。变换式为：x’=Sx*xy’=Sy*y讨论：1.Sx＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换2.Sx＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。3.Sx＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。图形变化：原有图形放大或缩小的变换参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。xOy(x,y)(x',y')Sx＝1,Sy>14.SxSy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。4.1.1比例变换第4页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三5xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x',y')(x,y)xOy=-x(x,y)(x',y')y4.1.2对称变换第5页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三62.关于y轴的对称变换3.关于45度平分线的对称变换4.关于-45度平分线的对称变换5.关于坐标原点的对称变换1.关于x轴的对称变换第6页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三7沿x轴方向的错切变换沿y轴方向的错切变换1.沿X轴方向的错切变换4.1.3错切变换(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。（2）沿Y轴方向错切（1）沿X轴方向错切(x,y)(x',y')(x,y)(x',y')第7页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三8(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。2.沿Y轴方向的错切变换第8页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三9其矩阵表示法：4.1.4绕坐标原点的旋转变换第9页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三10变换过程为：x’=x＋ly’=y+m变换矩阵为如变换矩阵改为：则点的坐标（x,y)（x,y,1)P’=P*T==xO(x,y)(x',y')y4.1.5平移变换第10页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三11它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法如：二维点[xy]用[XYH]表示如：空间点[xyz]用[XYZH]表示正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取,齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。如二维平面上的一点[3,4],用齐次坐标表示为[3,4,1][6,8,2][1.5,2,0.5]通常将H=1的齐次坐标称为x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齐次坐标表示点，可以防止溢出能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述4.1.6齐次坐标与变换通式第11页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三12比例、反射、旋转、错切投影变换平移总体比例变换4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式T:第12页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三13(1)复合平移(2)复合比例组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.4.1.8二维组合变换第13页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三14(3)复合旋转第14页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三15

先平移,再旋转

先旋转,再平移级联的顺序不同,最终的图形不同由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响第15页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三163.将图形从原点平移到p(m,n)1.将图形从点p(m,n)平移到原点O2.绕原点旋转P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换第16页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三17T1*T2*T3T＝==绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵第17页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三18设直线方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0-C/B-C/AEFF‘E’G’G则：x轴上的截距为-C/Ay轴上的截距为-C/B斜率为-A/B2.让直线绕原点顺时针旋转角，使之与X轴重合1.将直线沿X轴平移C/A，使之过原点对任意直线的对称变换可分解为以下五步:(6)对任意直线的对称变换第18页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三193.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置5.将直线平移回原来的位置组合变换矩阵第19页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三20三维图形变换矩阵通式为4x4方阵比例、反射、旋转、错切平移投影变换总体比例变换空间点[xyz]的四维齐次坐标[XYZH]表示三维空间点的变换为[xyz1]T=[x’y’z’1]变换前点的坐标变换后点的坐标三维图形的变换矩阵[lmn]1x3

[pqr]T[s]1x14.2三维图形变换第20页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三21三维图的基本变换4.2.2轴向比例变换变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。0<S<1，为图形整体放大S>1，为图形整体缩小S<0，为对称变换＋比例变换S＝1，为恒等变换[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1][xyz1]T=[axeyjz1]=[x’y’z’1]若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同若aej,，则图形将产生类似变形zxy4.2.1全比例变换第21页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三221.对OXY平面的反射特点：xy值不变，z坐标符号改变[xyz1]T=[xy－z1]2.对YOZ平面的反射特点：zy值不变，x坐标符号改变[xyz1]T=[-xyz1]3.对XOZ平面的反射特点：xz值不变，y坐标符号改变[xyz1]T=[x-yz1]4.2.3对称变换第22页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三23指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换。[xyz1]T=[x＋ly+mz+n1]x’xz’zy’yxzy4.2.4平移变换第23页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三24例：一单位立方体，现将它沿x方向移动3单位，y方向移动2单位，z方向移动3.5单位00010011010101111001101111011111[S]*T==323.51324.51333.51334.51423.51424.51433.51434.51第24页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三25三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转角，且角的正负按右手定则决定。1.绕X轴旋转角X坐标不变Y、Z坐标发生变化2.绕Y轴旋转角Y坐标不变X、Z坐标发生变化3.绕Z轴旋转角Z坐标不变X、Y坐标发生变化XYZXYZXYZ4.2.5旋转变换第25页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三26设ON为过原点的任一直线，它对三根坐标轴的方向余弦分别为：如立体绕ON轴旋转角，变换可分为以下几步：1.假设在Z轴上取单位矢量K，使K绕Y轴旋转1角，再绕Z轴旋转2角，使其与ON轴重合。=[0011][n1n2n31]=[sin1cos2sin1sin2cos11]2.将立体随轴ON一起，作上面所述相反的旋转(1)先绕Z轴旋转－2角；(2)再绕Y轴旋转－1角，使ON轴与OZ轴重合；n1＝cos=sin1cos2

n2＝cos=sin1sin2

n3＝cos=cos1

(3)变换后的元素绕OZ轴旋转角；(4)绕Y轴旋转1角；(5)绕Z轴旋转2；XYZPP´4.2.6绕过坐标原点的任意倾斜直线旋转第26页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三27其变换矩阵为：T＝绕Z轴旋转角2

绕Y轴旋转角1０绕Z轴旋转角绕Y轴旋转角1绕Z轴旋转角2第27页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三28XYZOVWHZXXZOOnl4.2.7正投影变换第28页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三291.正面投影变换矩阵TV2.水平投影变换矩阵THX、Z坐标值不变Y＝01)X、Y坐标值不变、Z＝02)再将得到的投影绕X轴旋转－90，3)然后沿Z轴方向平移一段的距离。第29页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三303.侧面投影变换矩阵TW将空间几何元素向YOZ平面(即W面)作垂直投影，x=0再将得到的投影绕Z轴旋转90，然后沿X轴方向平移一段的距离第30页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三31它的产生过程是：1)将空