二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：一般地，形如尸++陵+c（。，6,C是常数,"0）

的函

数，叫做二次函数。

这里需要强调：①aW0②最高次数为2③代数式一定

是整式

2.二次函数尸/+法+。的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次

数是2.

⑵。，儿C是常数，〃是二次项系数，b是一次项系数，。是常数项.

例题:

例1、已知函数（01—1）2"+5X—3是二次函数，求m的值。

练习、若函数（m2+2m—7）x?+45是关于x的二次函数，则m的取

值范围

为。

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：加的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

开口方顶点坐对称

a的符号性质

向标轴

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，

a>Q向上(0,0)y轴

y随x的增大而减小；x=0时，y有最小

值0.

x>0时，y随x的增大而减小；xvO时，

a<G向下（0,0）y轴

y随x的增大而增大；x=0时，y有最大

值0.

2.丫=加+。的性质:

上加下减。

开口方顶点坐对称

”的符号性质

向标轴

x>0时，y随x的增大而增大；xvO时，

a>0向上(0,c)y轴

y随汇的增大而减小；x=0时，y有最小

值C.

x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，

a<0向下(0,c)y轴

y随x的增大而增大；x=0时，y有最大

值c.

3.y=a(xf)2的性质:

左加右减。

开口方顶点坐对称

〃的符号性质

向标轴

时，y随X的增大而增大；XV〃时，

a>0向上(/7,0)

y随x的增大而减小；x=//时，y有最小

值0.

x>〃时，y随x的增大而减小；x</z时，

向下(60)

a<0y随x的增大而增大；x=/?时，y有最大

值0.

4.y=a(x-/i)2+」的性质:

开口方顶点坐对称

a的符号性质

向标轴

时，y随式的增大而增大；〃时，

向上(〃，k)

a>0y随x的增大而减小；x=/z时，y有最小

值2.

x>〃时，y随x的增大而减小；xv〃时，

(h,k)

a<0向下y随x的增大而增大；x=〃时，y有最大

值上.

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式（X—h）?,则最值为k；如果解析式

为一般式2则最值为）

1.抛物线2x2+42-m经过坐标原点，则m的值为。

2.抛物2线的顶点坐标为（1,3）,则b=,c=.

3.抛物线y=x?+3x的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.若抛物线y=2—6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点

的距离为()

A.V13B.VioC.VisD.V14

5.若直线y=+b不经过二、四象限，则抛物线y=2++c()

A.开口向上，对称轴是y轴B.开口向下，对称轴是y轴

C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于

y轴

6.已知二次函数?+(m—1)—1有最小值为0,则m=。

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式产确定

其顶点坐标(〃,左)；

⑵保持抛物线尸小的形状不变，将其顶点平移到(〃，%)处，

具体平移方法如下：

y=a(x-/j)-»产”(心/?)2+%

向上(Q0)【或下伏〈0)】平移固个单位

2.平移规律

在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；左值正上移，

负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

⑴y=+6x+c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y=ax2+bx+c

变成

y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+hx+c-m)

⑵y=ax?+bx+c沿轴平移：向左(右)平移加个单位，y=ax?+fec+c

变成y=a(x+m)2+h(x+m)+c(或y=a(x-m)2+h(x—/n)+c)

函数2的图象和性质例题：

1.抛物线2+49的对称轴是。

2.抛物线2x2—1225的开口方向是，顶点坐标是。

3.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

(1)x"—21；(2)—3X2+8X—2；(3)—xJ—4

4、把抛物线,的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位,

所得

图象的解析式是2—35,试求b、c的值。

5、把抛物线-2x?+41沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平

移3个单位，

问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有,

说明理由。

四、—次函数y=a（x-〃）2+攵与y=渥+fer+c的比较

从解析式上看，y=a（x-4+k与是两种不同的表达形

式，后者通过配方可以得到前者，即y=/x+?f+与2，其中

I2a）4a

.b,4ac-b2

h=--,k=-----•

2a4a

五、二次函数产加+公+c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数丫=加+法+,化为顶点式

2

y=a（x-h）+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在

对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:

顶点、与y轴的交点（O，c）、以及（O，c）关于对称轴对称的点

（26,c）、与x轴的交点（占，0）,（七，0）（若与x轴没有交点，则

取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴

的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yuar'/’x+c的性质

1.当心o时，抛物线开口向上，对称轴为钎-2,顶点坐标为

2a

（b_4ac-h2>

「五,一兀一）*

当x<_2时，y随x的增大而减小；当》>一2时，y随x的增

2a2a

大而增大；当时，y有最小值处世.

2a4a

2.当"0时，抛物线开口向下，对称轴为X=-2,顶点坐标为

2a

［与，当互］.当时，），随x的增大而增大；当时，y随

12674al2a2a

X的增大而减小；当尸-幺时，y有最大值处卫.

2a4a

例题：函数（x—hT的图象与性质

1.填表：

抛物线开口方对称轴顶点坐

向标

y=-3(x-2)2

y=1(x+3)2

2.试说明函数（x—3T的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点

坐标、增

减性、最值）。

3.二次函数（x—h）2的图象如图：已知a=,=,试求该抛物线的

解

析式。

二次函数的增减性

1.二次函数3x2—65,当x>l时,y随x的增大而;

当x<1时，y

随x的增大而；当1时，函数有最值是。

2.已知函数4xL-5,当x>-2时随x的增大而增大；当x<-2

时，y

随x的增大而减少；则x=l时的值为。

3.已知二次函数2—（1）1,当X》1时，y随X的增大而增大，则

m的取值范围是.

4.已知二次函数一X?+3的图象上有三点A（XU）（X22）（X33）且

3<X1<X2<X3,则丫您的大小关系为.

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a*0）；

2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,左为常数，a#O）；

3.两根式：y=a{x-xx\x-x2）（a#O,x,>x2是抛物线与》轴两交

点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并

非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴

有交点，即从-4%20时，抛物线的解析式才可以用交点式

表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数产江+法+c中，〃作为二次项系数，显然"0.

⑴当a>。时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，

反之a的值越小，开口越大；

⑵当”0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，

反之〃的值越大，开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，〃的正负决

定开口方向，同的大小决定开口的大小.

2.一次项系数6

在二次项系数“确定的前提下，〃决定了抛物线的对称轴.

⑴在a>0的前提下,

当6>0时，上<0,即抛物线的对称轴在），轴左侧；

2a

当6=（）时，_A=o,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b<o时,-->0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵在4<0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当6>0时，_±>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2a

当6=0时，-A=o,即抛物线的对称轴就是）,轴；

2a

当6<0时，-±<0,即抛物线对称轴在），轴的左侧.

2a

总结起来，在“确定的前提下，〃决定了抛物线对称轴的位

置.

"的符号的判定：对称轴x=-2在y轴左边则她>0,在y轴

2a

的右侧则仍<0，概括的说就是“左同右异”

总结：

3.常数项c

（1）当c〉0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线

与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之，只要a",c都确定，则这条抛物线就是唯一确定的.

例题：函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线2的图象如右图所示，则a、b、c的符号为()

>0>0>0>0>00

>0<00>0<0<0

2.已知抛物线2的图象2如图所示，则下列结论正确的是()

A.>OB.b>-2a

C.>OD.c<0

3.抛物线2中，b=4a,它的图象如图3,有以下结论：

①c>0；②》0③)0(4)b2-4<0(5)<0；其中正确的为()

A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤

4.当b<0是一次函数与二次函数2在同一坐标系内的图象可能是

()

5.已知二次函数y=?++c,如果a>b>c,且a+b+c=O,贝!!它

的图象可能是图所示的（）

6.二次函数y=2++c的图象如图5所示，贝Lb?—4,2a+b,

a+b+c四个代数式中，值为正数的有

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.在同一坐标系中，函数2与（a〈c）图象可能是图所示的（）

D

8.反比例函数的图象在一、三象限，则二次函数y=221c的图象

大致为图中的（）

ABC

D

9.反比例函数中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函

数y=2+2的图象大致为图中的（）

ABCD

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用

待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当

的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点

式;

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

例题：函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式2,然后

解三元方程组求解；

1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)

三点，求该二

次函数的解析式。

2.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点，交y轴于C点且

=5,求该二

次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛

物线上另一点时，通常设解析式为顶点式(X—h)2求解。

3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,

-8),求该二

次函数的解析式。

4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,—3),且经过点P(2,

0)点，求二

次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式(x

—X1)(X—X2)O

5.二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值

-8,求该二次

函数的解析式。

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点

式表达

1.关于X轴对称

广底+法+C关于X轴对称后，得到的解析式是y=—ax1—hx—c；

y=a(x-h)2+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-〃y-k;

2.关于y轴对称

),=加+云+。关于y轴对称后，得到的解析式是y=加-6x+c;

y=a(x-〃1+Z关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+/?『+A;

3.关于原点对称

》=底+法+。关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax1+hx-c;

y=a(x-/?y+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+%)2-Z；

4.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)

y=ax2+〃x+c关于顶点对称后，得到的解析式是〉=-加-bx+c-匕；

2a

y=a(x-〃)，X关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-/?1+%.

5.关于点(如〃)对称

y=a(x-h)2+k关于点(M,〃)对称后，得到的解析式是

y=-«(%+—+2〃-k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状

一定不会发生变化，因此同永远不变.求抛物线的对称抛物线的

表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式,

习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标

及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后

再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

1.二交函数与一元二次方程的关系(二次函数与X轴交点情况):

一兀―■次方程ax2+bx+c=O是一■次函数y=ax2+fcv+c当函数值y=0

时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

①当A=/-4ac>0时,图象与x轴交于两点4(为，0),8(%,0)(百1),

其中的不，多是一元二次方程以2+加+”0卜-0)的两根.这两点

间的距离钻=|x2Tb犯严.

②当△=()时，图象与x轴只有一个交点；

③当△<()时，图象与x轴没有交点.

1-当.>。时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都

有y>0;

2,当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都

有y<0.

2.抛物线产江+云+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c);

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方

程;

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由

一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数产五+"+c中a,b,c的符号,

或由二次函数中“，6,c的符号判断图象的位置，要数形

结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和

已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可

由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式

尔+法+以440）本身就是所含字母》的二次函数；下面以a>0时为

例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联

系：

A>0抛物线与X轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实

有两个交点正、可零、可负根

A=0抛物线与五轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实

只有一个交点非负数根

A<0抛物线与龙轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根.

无交点为正

例题：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程

的关系）

1.如果二次函数y=x?+4x+c图象与x轴没有交点，其中c为

整数，则c=（写一个即可）

2.二次函数y=x2-23图象与x轴交点之间的距离为

3.抛物线y=-3x?+2x—1的图象与x轴交点的个数是()

A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个

交占八、、

4.如图所示，二次函数y=x2—4x+3的图象交x

轴于A、B两点，交y轴于点C,则△的面

积为()

A.6B.4C.3D.1

5.已知抛物线y=5x2+(m—1)x+m与x轴的两个交点在y轴同

侧，它们的距离平方等于为，则m的值为()

A.-2B.12C.24D.48

6.已知抛物线y=x-28,

(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为

P,求△的面积。

、函数的应用

二次函数应用刹车距离

何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是

关键；开口、顶点和交点，它们确定图象现；开口、大小由a断

与Y轴来相见的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见，

Y轴作为参考