毕业设计（论文）：曲线曲面构造中的加密问题探讨

PAGE本科毕业设计（论文）课题名称：曲线曲面构造中的加密问题探讨专业：信息与计算科学姓名：学号：指导教师：数理学院年月本科毕业设计（论文）PAGE25摘要曲线和曲面的研究是当前计算机图形学的重要研究内容之一，它不仅被应用于形体的表示上，而且在其他领域也有着重要的应用，例如实验数据、统计数据的图形表示(可视化）等等。其中Bézier曲线曲面和B样条曲线曲面也是当前最常用的曲线曲面。目前，大多数的曲线和曲面是以参数多项式来构造的。因此，在几何造型领域中的曲线曲面加密主要是通过改变他们的基函数，从而实现对原曲线曲面的加密。本文给出了一种将两个基函数的系数矩阵加以混合的算法，文章首先介绍了多项式曲线曲面的矩阵表示，然后定义了基函数系数矩阵混合的加密算法。通过这个算法，将三次Bézier曲线基函数的系数矩阵与三次B样条曲线基函数的系数矩阵进行混合得到新的混合矩阵，再以混合后的新矩阵作为系数矩阵构造出新的样条函数，实现了对三次B样条曲线曲面和三次三角B样条曲线曲面的加密。实验图形可以看出，加密后的图像相似于原先的图像，同时我们也可以利用恢复公式得到恢复，从而保证了曲线曲面信息的安全传播。关键词：系数矩阵;曲线曲面;Bézier;B样条;加密

AbstractThestudyofthecurvesandsurfacesisoneoftheimportantstudiesincomputergraphics.Itisnotonlyappliedtotherepresentationofthebodyandalsohasimportantapplicationinotherfields,suchastheexperimentaldata,agraphicalrepresentationofthestatisticaldata(visualization)andsoon.TheBézierandtheB-splinecurveandsurfacearealsomostcommonlyused.Atpresent,mostofthecurvesandsurfacesareconstructedwithparametricpolynomials.Therefore,thefieldofthecurveandsurfaceencryptionisconstructedmainlybychangingtheirbasisfunctioningeometricmodeling,inordertoachievetheoriginalcurveandsurfaceencryption.Inthispaper,wegiveanalgorithmtoblendthecoefficientmatricesoftwobasisfunctions.Thispaperintroducesthematrixrepresentationofthepolynomialcurvesurface,andthendefinestheencryptionalgorithmoftheblendingmatrix.Bythisalgorithm,thecoefficientmatrixofthecubicBéziercurvebasisfunctionsismixedwiththematrixofthecoefficientsmatrixofthecubicB-splinebasisfunctions.Andthenanewsplinefunctionisconstructedbyusingthenewmatrixafterblendingasthecoefficientmatrix,TheencryptionofthecubicB-splinecurveandtrigonometricB-splinecurveisrealized.Theexperimentalresultsshowthatthenewcurveandsurfacegeneratedbytheencryptionalgorithm,hassomesimilaritywiththeoriginalthecurveandsurface,andcanberestoredatthesametime,thusensuringthesafepropagationofcurveandsurfaceinformation.Keywords:coefficientmatrix;curveandsurface;B-spline;Bézier;encryption

目录摘要 IAbstract II目录 III第一章绪论 11.1课题研究背景 11.1.1课题研究目的与意义 11.1.2课题研究现状 2第二章基函数的系数矩阵表示与混合 32.1参数多项式曲线的矩阵表示 32.2参数多项式曲面的矩阵表示 42.3系数矩阵的混合 52.4本章小结 5第三章三次B样条曲线曲面的加密 73.1三次Bézier曲线基函数 73.1.1基函数的定义 73.1.2基函数的性质 83.2三次B样条曲线基函数 83.2.1基函数的定义 93.2.2基函数的性质 93.3m混合矩阵S 103.4实验结果分析 113.4.1三次B样条曲线加密 113.4.2双三次B样条曲面的加密 133.5本章小结 15第四章三次三角B样条曲线曲面加密 164.1三次三角Bézier曲线基函数 164.1.1基函数的定义 164.1.2基函数的性质 174.2三次三角B样条曲线基函数 174.2.1基函数的定义 174.2.2基函数的性质 184.3m混合矩阵S 194.4实验结果分析 204.4.1三次三角B样条曲线加密 204.4.2三次三角B样条曲面的加密 214.5本章小结 23第五章总结与展望 245.1总结 245.2展望 24参考文献 25致谢 27

图表目录TOC\h\z\c"图3."图3.1基函数图像 8图3.2基函数图像 8图3.3基函数图像 9图3.4基函数图像 9图3.5新样条函数 11图3.6新样条函数 11图3.7原始B样条曲线 12图3.8加密后B样条曲线 13图3.9原B样条曲面 14图3.10加密后B样条曲面 14TOC\h\z\c"图4."图4.1三角贝兹基函数……… 16图4.2三角B样条基函数 18图4.3新样条函数图 20图4.4原始三角B样条曲线 21图4.5加密后B样条曲线 21图4.6原始三角B样条曲面 22图4.7加密后三角B样条曲面图 23第一章绪论1.1课题研究背景曲线与曲面在我们日常生活中随处可见，大多数的图形都由曲线曲面构成。所以，曲线曲面已经成为计算机图形学的重要研究内容之一。其中Bézier曲线与B样条曲线是曲线研究中最常用的工具，它们应用于各种方面，所以它们的传播也变得频繁。但伴随着信息技术的快速发展,安全问题也变得更加棘手，网络中的图像信息可以以多种多样的途径在网络上传传播。所以，信息传播过程中的保密问题就得不到保障，别人更加容易复制，夺取你的重要信息。因此，越来越多的人们开始关注信息的安全与保密问题。所以探讨曲线曲面构造中的加密问题在现实生活中也有很好的意义与应用。1.1.1课题研究目的与意义众所周知，由于信息技术的快速发展，21世纪被称为信息时代，网络的快速发展确实给我们带来了很多好处，它使我们的工作效率得到提高，因此我们有更多的自由安排时间，使我们的日常生活变得丰富多彩，同时能够更好地与朋友之间进行交流，生活方式也变得更加方便快捷。但随之也带来了一些问题，如今网络诈骗变得越来越频繁，电脑病毒也变得更加猖獗，网络安全问题已经成为人们迫切继续解决的问题。我们如何更加高效的利用网络，就需要我们学会保护自己。一方面，我们应该加强信息在传播过程中的安全性，另一方面，我们应该对重要信息进行加密。这样，即使传播中有所泄露，也能一定的保证信息的安全性。目前，对文字的加密方式有很多，文献[1]介绍了多种加密方式，比如：流密码；凯撒密码等等。他们都能有效的对信息进行加密。随着计算机在人们生活中越来越普及，计算机中的图形处理技术也因此到了迅速的普及与发展。目前，计算机图形学的研究内容丰富多彩也日益成熟。文献[2]计算机图形学研究了二维图形的处理、图形变换、曲线曲面、图形的颜色等，其中最重要的就是曲线曲面。图形中最基本的构造应该就是线与面。构成图形的基本要数主要有两个，其一就是就是反映物体表面属性或物体的颜色和灰度等要素，其二就是构成图形的点、线、面、体等几何要素。计算机中表示一个图有两种方法，一是点阵法:顾名思义，点阵法就是图像由所有的点描绘而成。二是参数法[10-14]:参数法就是用图形的属性参数和形状参数来描绘图形，属性有线型、颜色等等。其中,Bézier曲线曲面和B样条曲线曲面也是计算机图形学中的重要内容，所以曲线曲面构造中的的加密问题研究对于信息的安全与保密也变得尤为重要。1.1.2课题研究现状对于Bézier曲线和B样条曲线的研究国内外都有很多。自由曲线曲面构造的研究也是当前几何系统中的非常重要的内容之一。其中，三次Bézier曲线和三次B样条曲线尤其得到了很多学者的关注，它们的研究也变得越来越成熟。因为他的结构比较清晰简单，使用起来也比较方便，并且有很大的用处。文献[7-9]主要介绍了带形状参数的Bézier曲线曲面。对Hermite基函数的性质以及函数图象进行了研究，同时，刘等人研究了有理Bézier曲线曲面广核融合的构造。近年来，基于三角函数空间的曲线和曲面也得到了广泛学者的研究，并且取得了很有显著的成果。文献[4-6]主要介绍了带形状参数的三角Bézier曲线和B样条曲线的构造。文献[15-17]进行了基于平面参数曲线的扩展函数的自由变形技术，而且扩展了立方体均匀B样条和样条。文献[10]介绍了新立方理论基础与张力形状参数。目前，大都数的曲线曲面都是以参数多项式来构造的，所以对于曲线曲面的加密也是通过改变其基函数（参数多项式）来实现。文献[3]提出了一种B样条曲线曲面的加密算法。通过他的算法，可以很好的实现对三次B样条曲线曲面进行隐藏，并且通过恢复公式，可以将加密后的图形进行恢复。本文对基于矩阵混合的加密算法进一步进行了研究，同时推广到三角领域。

第二章基函数的系数矩阵表示与混合表示曲线可以用参数方程，也可以用非参数方程，前者称为曲线的参数表示，后者称为曲线的非参数表示。参数曲线曲面有多种多样，其中最简单的，理论和应用最完善的，就是参数多项式曲线曲面。本章主要介绍了，参数多项式曲线和曲面如何利用矩阵表达式表示，然后定义了系数矩阵的混合。2.1参数多项式曲线的矩阵表示定义1：对于，下面方程所表示的曲线称为n次参数多项式曲线： (2.1)对任一条多项式曲线来说，可能会出现的表达式中的最高次不一样的情况，此时，三者的最高次数取齐，这只要令某些系数为零即可。将公式(2.1)改写成矢量形式为： (2.2)其中，C称为阶系数矩阵，它是参数多项式曲线函数中t的系数。个幂次形式的基函数组成的矢量。为了让曲线的参数方程与其几何性质之间有关联，将C看作个四维矢量，即，其中,带入公式(2.2)得到： (2.3)即说明是的加权和，权分别为。但这个表达式中，矢量没有什么直观上的几何意义，所以与曲线的关系不清楚。解决的方法通常是将系数矩阵进一步分解：，使得几何矩阵各个矢量有较为理想的的几何意义，一般称为控制顶点。M是阶的基矩阵，它将矩阵G变换成为矩阵C。经过这样分解，得到的参数多项式曲线的矩阵可以表示为： (2.4)2.2参数多项式曲面的矩阵表示定义2：参数多项式曲面是最常用的一种参数曲面，次的参数多项式曲面定义为： (2.5)其中，，系数矩阵A为：其中为空间位置矢量。由于它没有什么很明显的几何意义，所以很少用公式(2.5)来直接表示曲面。所以我们可以通过参数多项式曲线的矩阵表示来推到出参数多项式曲面的矩阵表示。在n次参数多项式曲线中，为位置矢量，它是固定不变的，是基矩阵。现在让沿着另一条m次的参数多项式曲线做连续运动。设的轨迹线为，则它可以表示成的形式，其中是的控制顶点，阶的基矩阵。当所有的都运动时，它们构造的曲线也随着运动，这样就构成一张多项式曲面。它的方程为： (2.6)将带入上式，得： (2.7)其中几何矩阵为：仍称为控制顶点，所有的组成了一张空间上的控制网格，和为基矩阵，它们分别确定了关于参数的一组基函数。公式（2.7）即为参数多项式曲面的矩阵表示。将公式（2.7）写成坐标分量的表达式，得到： (2.8)2.3系数矩阵的混合定义3:若矩阵F和G分别是两个不同的曲线的参数多项式方程的系数矩阵，m为之间的的任何一个实数，则可以定义矩阵S (2.9)为基于系数矩阵F和系数矩阵G混合后的加密矩阵。根据上述混公式我们可以看出，m=1时，S=F。m=0时，S=G。此公式的目的在于将自由曲线的系数矩阵F与另一系数矩阵G混合成一个新的矩阵，从而构成出一个新的系数矩阵S。实现对其中一类自由曲线曲面的隐藏。同时，加密后的新矩阵我们也可以将其恢复，由公式（2.9）可得到恢复公式为: (2.10) (2.11)2.4本章小结曲线的参数表示有很多优点，比如，具有确定规范的参数区间，这样曲线的边界就很容易确定；参数方程并没有确定的坐标系，具有不变性；可以方便的对参数表示的曲线，曲面进行几何变化，等等。参数多项式的矩阵表示更直观的展示了曲线曲面表示，也更利于某些问题的研究。

第三章三次B样条曲线曲面的加密Bézier曲线曲面是几何造型中最重要又常用曲线曲面。它所具有的良好性质使得设计人员在计算机上对图形进行控制处理十分地方便快捷，因而在理论和应用上均获得较好的发展。尽管Bézier曲线有很多优点。但也有不足知足：比如不具有局部性，意思就是我们很难改变图形局部位置，当我们改变图形的一个控制顶点坐标，图像会发生全局性变化。控制多边形去它所构成的曲线之间逼近程度较差，当曲线的次数越高，表现的越明显。还有就是无论参用高次曲线表示，还是用多个低次曲线相连而成，都比较复杂，并且难以研究。以B样条基函数代替Bernstein基函数而获得的B样条曲线就可以克服以上缺点。所以，研究三次B样条曲线曲面的加密有很大的现实意义。3.1三次Bézier曲线基函数Bézier曲线是计算机图形图像处理中最常用也最基本的曲线，它是通过控制顶点来构造曲线。其中，称为Bernstein多项式，也叫做Bernstein基函数。它也是Bézier曲线的基函数。3.1.1基函数的定义定义1对于，称关于t的多项式: (3.1)为带参数的三次Bézier曲线基函数。图3.SEQ图3.\*ARABIC1基函数图像图3.SEQ图3.\*ARABIC2基函数图像图2.1为时基函数的图像，可以看出时只有两条基函数图像。图2.2为时的基函数图像。3.1.2基函数的性质对于上述Bézier基函数显然有下列性质：性质1，即权性；性质2，即对称性；性质3当时，对于有，即非负性；性质4是一组线性无关的基函数根据第二章内容可得，上述基函数多项式的系数矩阵为:3.2三次B样条曲线基函数B样条曲线是Bézier曲线的一种一般化，也样条曲线中的一种特殊形式。与Bézier曲线不同的是，Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定个顶点，则可定义段次的参数曲线。这样就克服了Bézier曲线的很多缺点。3.2.1基函数的定义定义2对于，称关于t的多项式: (3.2)为带参数的三次B样条曲线基函数。图3.SEQ图3.\*ARABIC3基函数图像图3.SEQ图3.\*ARABIC4基函数图像图（3.3）和（3.4）分别表示时三次B样条曲线的基函数的图像。3.2.2基函数的性质对于上述B样条曲线基函数，我们可以得到下列性质：性质1对于，有，即权性；性质2对于，有，即对称性；性质3当时，对于有，即非负性；性质4端点性质：同理，根据第二章内容可得出，改基函数的系数矩阵G为：3.3m混合矩阵S由公式（2.3）加密矩阵定义可知，经过m混合后的混合矩阵S为：将矩阵F和矩阵G分别带入上式计算，就可以得到系数矩阵F和系数矩阵G混合后的加密矩阵，化简得再以上述加密后的新的系数矩阵S构造的新的样条函数为： (3.3)图3.SEQ图3.\*ARABIC5新样条函数图3.SEQ图3.\*ARABIC6新样条函数其中，图（3.5）为时的新样条函数图像，图（3.6）为时的新样条函数图像。3.4实验结果分析3.4.1三次B样条曲线加密空间个顶点的位置矢量构造段三次均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段，三次B样条曲线段的定义表达式为(以系数矩阵G为基函数): (3.4)将上式中原始的B样条系数矩阵G换成m混合后的新矩阵S，就得到了加密后新的样条函数。所以它的矩阵表达式为(以系数矩阵S为基函数)： (3.5)实验中,取，给定的控制顶点为;;;根据上面曲线矩阵表达式可以画出的B样条曲线如下:图3.SEQ图3.\*ARABIC7原始B样条曲线图3.SEQ图3.\*ARABIC8加密后B样条曲线图（3.7）是原三次B样条曲线图像，图(3.8)是经过加密公式，其中混合参数所对应的加密曲线。3.4.2双三次B样条曲面的加密曲面的矩阵表达式在第二章已经给出，所以本文也直接对三次B样条曲面进行了加密。三次B样条曲面的性质与三次B样条曲线有很多相似之处，因为构成曲面所有边界曲线也是B样条曲线。最简单的三次B样条曲线由16个控制顶点构成，16个控制顶点称为控制网格。已知曲面的控制点，参数且.双三次B样条曲面的方程表示为: (3.6)式中:同样，我们以经过加密后的加密矩阵S作为基函数的新样条曲面的方程表示为： (3.7)上式中只是将原始的B样条系数矩阵G换成m混合后的新矩阵S。实验中,取，我们取了16个控制顶点分别是;;;;;;;;;;;;;;;。由这16个控制顶点所确定的B样条曲面为：图3.SEQ图3.\*ARABIC9原B样条曲面图3.SEQ图3.\*ARABIC10加密后B样条曲面图（3.9）给出了原始的三次B样条曲面图像;图（3.10）给出了经过加密公式，其中参数所对应的加密曲面。3.5本章小结本章首先定义了三次Bézier曲线基函数和三次B样条曲线基函数，并且简单的研究了它们的性质。然后根据第二章内容得到三次Bézier曲线基函数的系数矩阵F和三次B样条曲线基函数的系数矩阵G，然后将F与G带入加密公式，得到了新的系数矩阵S,再以混合后的新矩阵S造出新的样条函数。分别进行了对三次B曲线和曲面加密。从实验图像可以看到出，以加密后系数矩阵S作为基函数的曲线曲面与原始图像有一定的相似性。理论上，得到了加密效果。

第四章三次三角B样条曲线曲面加密虽然三次三角B样条曲线的基函数与普通三次多项式基函数有着很大的不同，但它们也有很多相似的性质。不同之处在于基空间替代了三次多项式基函数的基空间，本章首先定义了三次三角Bézier曲线基函数和B样条基函数，然后分别得到它们的系数矩阵，对系数矩阵进行混合加密后，研究对曲线曲线加密。4.1三次三角Bézier曲线基函数4.1.1基函数的定义定义1对于，称关于t的多项式: (4.1)为不带参数的三次三角Bézier曲线基函数。图4.SEQ图4.\*ARABIC1三角贝兹基函数4.1.2基函数的性质性质1时，，即权性；性质2时，，即对称性；性质3对于，有，即非负性；性质4端点性质：根据第二章内容可得，基函数的系数矩阵F为:4.2三次三角B样条曲线基函数4.2.1基函数的定义定义2对于，称关于t的多项式: (4.2)为不带参数的三次三角B样条曲线基函数。图4.SEQ图4.\*ARABIC2三角B样条基函数4.2.2基函数的性质对于上述B样条曲线基函数显然有下列性质：性质1时，，即权性；性质2时，，即对称性；性质3对于，有，即非负性；性质4端点性质：同样，根据第二章可得，基函数的系数矩阵G为:4.3m混合矩阵S由公式（2.9）加密矩阵的可以得到，经过m混合后的混合矩阵S为：同样，将矩阵F和矩阵G分别带入上式计算，就可以得到系数矩阵F和系数矩阵G混合后的加密矩阵，化简得：再以上述新的系数矩阵S构造出的新的样条函数为： （4.3）图4.SEQ图4.\*ARABIC3新样条函数图图（4.3）分别为时的新样条函数图像。4.4实验结果分析4.4.1三次三角B样条曲线加密三次三角B样条曲线的构造与上诉三次B样条曲线构造相同，所以根据第二章可得，它的矩阵表示为： （4.4）同样，将上式中原始的B样条系数矩阵G换成m混合后的新矩阵S，就得到了加密后新的样条函数。所以它的矩阵表达式为(以系数矩阵S为基函数)： （4.5）实验中,给出了同样的4个控制顶点为;;;该四个控制顶点画出的三次三角B样条曲线图像如下:图4.SEQ图4.\*ARABIC4原始三角B样条曲线图4.SEQ图4.\*ARABIC5加密后B样条曲线图(4.4)给出了原始的三次三角B样条曲线图像;图(4.5)给出了加密后的三次三角B样条曲线图形，其中混合参数分别为。4.4.2三次三角B样条曲面的加密本文同样讨论了三次三角B样条曲面的加密，已知曲面的控制点，参数且.双三次三角B样条曲面的参数多项式为：式中：将上式中原始的三次B样条曲面的系数矩阵G换成m混合后的新矩阵S，就得到了加密后新的曲面样条函数。它的矩阵表达式为(以系数矩阵S为基函数)：其中经过m混合后的新系数矩阵S为：试验中,同样我们选择了相同的16个控制顶点;;;;;;;;;;;;;;;。图4.SEQ图4.\*ARABIC6原始三角B样条曲面图4.SEQ图4.\*ARABIC7加密后三角B样条曲面图图(4.6)是未加密前，以矩阵G作为系数矩阵的双三次B样条曲面,图(4.7)给出了经过加密公式其中混合参数分别为加密后的三次三角B样条曲面。4.5本章小结本章主要对三次B样条曲线曲面进行了加密，可以发现该加密算法，对于三次三角B样条曲线曲面的加密有同样效果，以矩阵S作为基函数的图像后的改变了原始曲线曲面但大体上任然保存一定的相似度。但起到的加密效果任然可见。

第五章总结与展望5.1总结本文提出的m矩阵加密算法，将两个不同曲线基函数的系数矩阵进行线性混合得到的新的矩阵。再以新的系数矩阵构造样条函数。以新样条函数画出的图形改变了原始图像，一定意义上实现了加密。而且，我们可以改变加密算法中参数m的大小来改变加密后的图形形状，这样，就可以得到我们想要的加密结果，从而能够更好地实现对三次B样条曲线曲面和三次三角B样条曲线曲面的隐藏。根据实验结果可以得出，通过该加密算法生成的新曲线曲面相似与原始的曲线曲面，同时可以得到恢复，从而为曲线曲面信息的传播提供了保障。5.2展望本文只进行了两个简单的B样条曲线曲面的加密算法研究，一种是三次B样条曲线曲面加密，另一种是三次三角B样条曲线曲面加密，还有许多工作有待完成，例如，n阶B样条曲线曲面加密的推广。而且本文所研究的三次B曲线和曲面所采用的控制顶点都是最基本。三次B样条曲线由4个控制顶点确定，三次B样条曲面由16个控制顶点确定。我们可以多增加几个控制顶点，再进行曲线曲面加密的研究。其中混合参数m是加密算法核心点，我们可以通过改变m的大小来研究加密后图形的变化。此外本文的加密公式只是线性的，比较简单，还可以研究更复杂的加密方法，得到更好的加密效果等等。

参考文献沈昌祥.现代密码学[M].北京：清华大学出版社,2009.倪田明.吴良芝.计算机图形学[M].北京：科学出版社,1999.王刘强,刘旭敏.基于矩阵融合的三次B样条曲线曲面加密算法[J].计算机工程与应用,2006,42(32):105-235.刘华勇,李璐,张大明,谢新平,王焕宝.带形状参数的代数三角样条曲线曲面的构造（英文）[J].高等学校计算数学学,2016,38(03):234-246.樊文,洪玲