勾股定理及两点间距离公式C

学科教师辅导讲义年级： 科目：数学 课时数：课题勾股定理及两点距离公式授课日期及时段教学目的理解用面积割补法证明勾股定理的思路和勾股定理的推导方法；初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解决基本的有关证明的问题；掌握两点间距离公式.教学内容【知识梳理】直角三角形中，斜边大于直角边，勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方两点的距离公式：如果直角坐标平面内有两点A(x,y)，B(x,y)，那么、两点的距离为:1 1 2 2AB=«气-x2)2+(约-y2)2【典型例题讲解】题型一：【例1】已知在Rt△ABC中，匕C=90°.若a=3,b=4，贝c=.a=40,b=9，贝gc=.a=6,c=10，则b=.c=25,b=15，则a=.【答案】(105；(2)41；(3)8；(4)20.【方法总结】解决此类问题，需弄清三条边哪条是斜边，哪条是直角边【例2】直角三角形的两边长为3、4,则第三边长为，面积为.【答案】5或方；6或3<7【方法总结】分两种情况讨论：3、4均为直角边的长度；3是直角边的长度，4是斜边的长度.讲解时可以帮学生证明直角三角形中斜边最长.【例3】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高.【答案】13或119；汀或宥寸I】9JL。 JL」【方法总结】先根据勾股定理求出第三边，然后利用等积法求出斜边上的高【说明】目前已知直角三角形的两边，必然能求出第三边和斜边上的高。实际上等学完相似的内容后，以上四个量只要知道两个量，就能求出另外两个量【注意】提醒学生看清题已知条件，不要看到5和12就想13。【例4】在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13【答案】D【方法总结】根据直角三角形斜边最长，只要算出各组最大数字的平方，看是否和其他两个量的平方的和是否相等即可.【借题发挥】三角形三边长a、b、c满足条件（a+b）2-c2=2ab，则此三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形【答案】BTOC\o"1-5"\h\z三角形三边长分别为a2-b2、2ab、a2+b2（a>b>G），则这个三角形为（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形 D.不是直角三角形【答案】C某直角三角形两直角边长的比为2:1，斜边长1Gcm，则该直角三角形的面积为 cm2【答案】4G直角三角形中，一条直角边比斜边上的中线长1厘米,如果斜边长是1G厘米，则两直角边长是 .【答案】8厘米题型二【例5】已知：△ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm.（1） 求高ad的长；（2） 求三角形的面积S△ABC。【分析】作底边上的高，从而将等腰三角形分割成两个直角三角形.此法也是等腰三角形中常用的添加辅助线的方法.【答案】4cm,12cm2【例6】有一个角为3G。的等腰三角形,若腰长为4,则腰上的高是 ,面积是 .【答案】2或2克；4或4百【提示】a【例7】在直角三角形中，已知一条直角边的长为6,斜边上的中线长为5,则另一条直角边的长为 【答案】8【说明】在此处主要是帮助学生复习上节课学习的直角三角形的性质【例8】三角形三个角的度数之比为1：2：3,它的最大边长等于16cm，则最小边长是cm.【答案】8【方法总结】在含有30°的直角三角形中，最短边是30°所对的直角边，最长边是直角三角形的斜边.因此本题不需要求出两条直角边，直接利用30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可.【借题发挥】1.已知在Rt△ABC中，匕C=90，AB=10°.若匕A=30°，则BC=,AC=.若匕A=45°，则BC=,AC=.【答案】(1)5,5挡；(2)9寸3cm22.已知等边△ABC的边长是6厘米.求高AD的长；求^ABC的面积S△ABC-【答案】3\;3cm;9\:3cm2已知直角三角形的两边长分别是8cm和6cm，求它的面积.【答案】24cm2；6侦7cm2题型三：【例9】如下图，字母B所代表的正方形的面积是 ；25

【答案】144【例10】如图，在一块用边长为20cm的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在人点处，，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？【答案】360厘米【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子?【答案】13米【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁

棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长?【例13】有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取3）【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形.最短路线为展开图中的线段AB.【答案】15cmB2.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，B2.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，【例14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等）【答案】在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：c2=（仃一上尸+4x:配【借题发挥】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，5000米，飞机每小时飞行多少千米？【答案】540千米求图中格点四边形ABCD的面积和周长。求ZADC的度数。如图：设甲到岛上去探宝，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又向西走3千米，再折向北走6千米处往东一拐，仅1千米找到宝藏，问登陆点到探宝点的距离是多少？AABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，^81+82=83成立，则是直角三角形吗?你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试!在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？

7.求四个水平放置的正方形的面积的和.(即求S+7.求四个水平放置的正方形的面积的和.(即求S+S+S+S)12 3 4题型四：两点间距离公式【例14】求下列两点间的距离:(1)(2)(3)(4)A(—2,8)和B(3,—4)CC2,1)和D(克,3)P(3,—2)和Q(2<3,1)MG,—2)和N")E(1,2)和F(3,-2)G(5,-4)和H(5,—9)【答案】略【方法总结】利用公式【例15】已知三角形三个顶点的坐标，判断三角形的形状.A(—1,—1)、B(3,-1)、C(3,2)A(-2,1)、B(-2,-3)、C(4,-1)A(—3,1)、B(—3,—3)、CGt3—3,—1)A(2,5)、B(-5,1)、C(-2,-1)A(-1,3)、B(1,-2)、C(4,5)A(—1,-2)、B(2,-1)、C(-2,1)【答案】略【例16】3.在角坐标平面内，已知A、B两点的坐标分别为(-1,3)、(6,4),线段AB的垂直平分线交x轴于点P,求点P的坐标【答案】(3,0)【借题发挥】在直角坐标平面内，已知△OAB是等边三角形，且O、B两点的坐标分别为(0,0)、(4,0).求点A的坐标.如果△OAB内一点P到三角形三边的距离都相等，求点P的坐标.【答案】(1)G,2>/3)(2,-^/3)；(2)[2,2招1，[2,-杼\3 7V3 7【随堂练习】填空题：在直角三角形中，两条直角边分别为5,12，则斜边上的高为.若长方形的一条对角线与一边的差为1cm，另一条边长3cm，则这个长方形的面积等于平方厘米.若3是关于x的方程x2-(2+a)x+12=0的解，那么以3,a为边的等腰三角形的面积为.4.如图所示，在^ABC中，AD是BC边上的中线，且AD±AB于A，AC=10,AB=8，如果将^ABD绕点旋转180°，将交点A转到点A'的位置，那么AA'=.5.如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，D为BC中点，DE±AB，垂足为E，EF〃BC交AC于F，则^AEF的周长是 .A60 3*可5.■-TOC\o"1-5"\h\z【答案】1^—；2.12；3.—-—或二＜11；4.6；5.12.13 4 4选择题：在△ABC中，匕C=90°,ZA=30°,BC=6cm，则此三角形的周长为( )A.6如3；B.12+6兵；C.1^3；D.18+63已知Rt△ABC的三边都是整数，两条直角边长度的比是3:4，则斜边的长可能是( )A.9; B.10; C.12; D.14.已知P(—2,4)，Q(4,一2)下列各点中在线段PQ垂直平分线上的点有( )①A(1,1)②B(2,—2论C(—1,—1)④D(0,0)A.1个;B.2个;C.3个;D.4个.三角形三个内角的度数比为3:2:1，那么它的三条边的长度之比为( )A.3:2:1;B.百：气•''2:1; C.2:由：1;D.9：4:1.已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为( )A.120厘米； B.132厘米；C.144厘米；D.156厘米.【答案】DBBCB解答题：1.如图，在△ABC中，，匕A=90°，AB=AC，BD平分匕ABC交AC于点D，若AB=2cm.求：AD的长,在Rt△ABC中，匕C=90°，中线AD的长为7，中线BE的长为4.求：AB的长已知A(—2,3)和B(1,4)在j轴上找一点C，使△ABC为直角三角形.四边形中，匕A=60°，ZB=ZD=90°，AB=2,CD=1.（1） 求BC、AD的长；（2） 求四边形ABCD的面积.AB C【答案】1.（2/2-2）cm；2.2\1；3.（0,一3）,（0,7）,（0,2）,（0,5）；4.3<32【课堂总结】【课后作业】如图所示，在平行四边形ABCD中，BE±CD于E,BF±AD于F,ZABC=120°,BE=2cm,BF=243cm,则平行四边形ABCD的面积为平方厘米.TOC\o"1-5"\h\zD £__打\o"CurrentDocument"A B在△ABC中，AB=5cm,AC=8cm，匕BAC=60°，则BC的长为cm.如图所示，在扇形AOB中，OA=4，匕AOB=120°，那么阴影部分的面积等于 .已知弓形的高为4cm，弦长为12cm，则弓形所在圆的半径为.在直角坐标平面内有A（0,6）,B（0,—2）,C（4,2）三个点，则以这三个点为顶点的△ABC是 三角形.【答案】1.8；2.7；3.g兀-4^3；4.13；5.等腰直角;选择题：以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（）A.寸3+1^3—T,2v2；b.3.5,4.5,5；C.4,7.5,8.5；D.n2—1,2n,1+n2（n>1）.在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ）A.偶数；B.奇数；C.自然数；D.以上结论都不对.在下列命题中，真命题有（ ）有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形；三条边长分别为侦页、••瓦侦50的三角形是直角三角形；三个外角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形.A.4个； B.3个； C.2个； D.1个.TOC\o"1-5"\h\z在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=17，直角边AC=16，则直角边BC的长等于（ ）A.30； B.32； C.33； D.34.若直角三角形三边。、b、c满足整式a3+a2b+ab2一ac2一bc2+b3=0则的形状为（ ）A.等腰三角形； B.等边三角形； C.等腰直角三角形； D.直角三角形.【答案】BDAAD解答题：1.如图，已知Rt△ABC中，匕C=90°，点D为AC的中点，DE±AB于E.求证：BE2=BC2+AE2.C如图，在△ABC中，匕C=90°,AC=6cm,BC=8cm，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，交斜边AB于D.求AD的长.C B如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，此时又测得岛C在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险，请说明理由.CB给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262.…（1） 你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；（2） 请你证明你所发现的规律.在直角坐标平面内，已知△ABC是直角三角形，且匕C=90°，点C在x轴上，A、B两点的坐标分别是（2,6）、（10,2），求点C的坐标.在直角坐标系内，已知^QAB是等腰三角形，O、A两点的坐标分别为（0,0）、（3,4），点B在x轴上，求点B的坐标.【答案】1.略；2.7.2cm；3.有危险；4.略；5