高考数学复习-数列的通项与求和

第七章数列

7.2数列的通项与求和

.命题探究

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有•解答题的难度中等或稍难，将稳定

在中等难度往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最

值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与

不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要.

哪真题归纳5^?

题型一•%与S”关系的应用

1.（2018•新课标I）记5”为数列｛〃〃｝的前〃项和.若5"=2“,,+1,则56=-63.

【解答】解：S”为数列｛所｝的前"项和,Sn=2an+i,①

当”=1时，a^—2a]+l,解得m=-l,

当时,Sn-l=2an-I+1>②,

由①-②可得an^lan-2an-1,

Un~-19

・・・｛。〃｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

，S6=*R-63,

故答案为：-63

2.（2016•浙江）设数列｛如｝的前〃项和为S,若S2=4,然+I=2S+1则G=1,S5=⑵

【解答】解：由〃=1时，m=Si,可得。2=2Si+l=2ai+l,

又52=4,即“1+42=4,

即有3m+l=4,解得〃1=1；

由Cln+1=Sn+1~Siu可得S〃+1=3S〃+1,

由52=4,可得§3=3x4+1=13,

54=3x13+1=40,

55=3x40+1=121.

故答案为：1,121.

3.(2017•新课标HI)设数列｛““｝满足“1+3。2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求｛〃”｝的通项公式；

(2)求数歹IJ的前〃项和.

2n+l

【解答】解：(1)数列｛a〃｝满足。1+3。2+…+(2n-1)an=2n.

论2时，〃1+3。2+…+(2〃-3)an-1=2(〃-1).

2

••(2〃-1)Cln2.••dn~-2九

当雇=1时，41=2,上式也成立.

._2

,,吁

⑵工=______?______

2n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

二数列｛奈?的前”项和=(1_3+育_3+・"+(+—磊)=|一高=磊?

4.(2016•新课标III)已知数列｛加｝的前〃项和的=1+解,”其中¥0.

(1)证明｛念｝是等比数列，并求其通项公式；

(2)若55=装，求1.

【解答】解：(1)V5w=l+Xzzn,V0.

・・a1=5i=1i.

故»1,a]=〃#0,

i-A

由S〃=1+AZM,S〃+1=1+A/M+1,得Cln+1=Sn+1-Sn=1+Az/zz+1-1-Xcin=Xcin+1-AzZ/z,

即(入-1)Cln+1，

A

由。1彳0,QUO得〃#0,n+1-

anA-l

12

｛"〃｝是首项为一，公比q=Q■的等比数歹U,

1-ZA—1

・・q〃=n~1

(2)若S5=

则若S5=l+M占(')4]_21

2-1『32,

则7^7=一：，得九=-1.

1—A2

题型二.证明等差与等比数列

1.(2019•新课标H)已知数列｛〃〃｝和｛氏｝满足〃1=1,1=0,4雨+1=3。〃-加+4,4加+1=3加-如-4.

(1)证明：｛。〃+加｝是等比数列，｛〃“-加｝是等差数列;

(2)求(如｝和｛加｝的通项公式.

【解答】解：⑴证明：V4aw+i=3an-bn+494bn+\=3bn--4；

.'.4(〃“+i+加+i)=2(a〃+b〃),4(an+i-hn+i)=4(an-hn)+8；

即an+\+bn+\=\(。〃+为)，。〃+1-bn+i=an-a+2；

又ai+bi=l,a\-b\=lf

1

・・・｛〃〃+加｝是首项为1,公比为5的等比数列，

｛。〃-尻｝是首项为1,公差为2的等差数列；

(2)由(1)可得：an+h=(-)

n2

an~bn=1+2(〃-1)=2n-1；

11

**•Cln~(一)"+〃一Q,

22

11

bn~(一)n-〃+小

22

2.(2018•新课标I)已知数列｛〃〃｝满足m=l,nan+\=2(〃+1)an,设加=空

(1)求加，bi,历;

(2)判断数列｛加｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛〃〃｝的通项公式.

an+i

=1

【解答】解：(1)数列｛斯｝满足m=Lnan+\2(n+1)an,则:$=2(常数),

n

由于bn=M故：9=2,

n

数列｛仇｝是以h\为首项，2为公比的等比数列.

整理得：bn=b「2"T=2n-i,

所以：b\=\,历=2,to=4.

（2）数列｛为｝是为等比数列，

由于字1=2（常数）；

bn

所以：数列｛为｝是以"为首项，2为公比的等比数列.

（3）由（1）得：bn=2时】,

根据砥="

n

所以：an=n-2一二

21

3.（2021•乙卷）记S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和，历为数列｛乙｝的前几项积,已知丁+丁=2.

Snbn

（1）证明：数列｛加｝是等差数列;

（2）求｛〃〃｝的通项公式.

【解答】解：（1）证明：当〃=1时，加=51,

212

由二+==2,解得加=亍

如匕2

当n>2时，~~~=S〃，代入了"+~~=2,

Snbn

2匕力11

消去Sn,可得----+—=2,所以b-bn-｝=亍

2

bnbn

31

所以｛仇｝是以5为首项，5为公差的等差数列.

（2）由题意，得m=Si=b[=2，

由（1）,可得hn—怖+（H_1）x=九;2,

由二+=-=2,可得

Snbnn+1

当它2时，Cln=Sn~Sn-1=~=~~n^n+l）,显然"I不满足该式，

佞,n=l

所以4"=｛].

1-n（n+l）'n-2

4.（2021•甲卷）已知数列｛〃”｝的各项均为正数，记S”为｛如｝的前"项和，从下面①②③中选取两个作为条

件，证明另外一个成立.

①数列｛的｝是等差数列；②数歹I」｛医｝是等差数列；③42=30.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解答】解：选择①③为条件，②结论.

证明过程如下：

由题意可得：a2=a\+d=3a\9'.d=2a\,

数列的前n项和：Sn=九a1+1)d=\x2ar=九2al,

故-｛Sn_\=九—(九一1)7^7=(论2),

据此可得数列｛店｝是等差数列.

选择①②为条件，③结论：

设数列｛〃〃｝的公差为",则:

y[s[==J%+Q+d)=J2al+d,yfs^=Ja,+(%+d)+(%+2d)=+d),

数列｛图｝为等差数列，则：店+店=23，

即：+J3(di+d))2=(2J2%+d)2,整理可得：d=2a\,.\a2=a\+d=3a].

选择③②为条件，①结论：

由题意可得：S2=m+q2=4m,，/或=2/就，

则数歹U｛图｝的公差为d=店-医=后

通项公式为：=yfs[4-(n-l)d=

2

据此可得，当n>2时，an=Sn-Sn_i=n2al—(n—l)ax=(2n—l)a1,

当〃=1时上式也成立，故数列的通项公式为：an=(2/?-1)m,

由所+L所=[2(〃+1)-l]ai-(2n-1)ai=2ai,可知数列｛如｝是等差数列.

5.(2017•新课标I)记S为等比数列｛斯｝的前几项和.已知S2=2,53=-6.

(1)求｛板｝的通项公式;

(2)求金，并判断S〃+i,S〃,S〃+2是否成等差数列.

【解答】解：(1)设等比数列｛〃〃｝首项为m,公比为q,

贝ljQ3=S3-S2=-6-2=-8,贝lja\=冬=寻，a2=—=—,

q乙q乙qq

_8-g

由m+42=2,—+—=2,整理得：“2+4q+4=0,解得：q=-2,

q，q

则小=-2,an=(-2)(-2)1=(-2)〃，

・・・｛〃〃｝的通项公式(-2)〃；

(2)由⑴可知：s=a叶-砂)=-怨力斗=-1[2+(-2)叫，

1—q1—(—L)D

则5"+|=-1[2+(-2)叫，s”+2=-i[2+(-2)w+3],

由S"+i+S"+2=-1[2+(-2),,+2]-jf2+(-2)"+3]=-1[4+(-2)X(-2)n+1+(-2)2x(-2)n+1],

=-1l4+2(-2)«+1]=2x[-l(2+(-2)n+1)J=2S”

即S〃+I+S〃+2=2S〃，

・・・S〃+1,Sn,S+2成等差数列.

题型三.数列求通项、求和

1

1.(2015•新课标II)设数列｛。〃｝的甲J〃项和为S〃，且〃i=-l,q〃+i=S〃+iS〃，则S〃=—兀.

【解答】解：,・•〃/?+i=S〃+5],

••Sn+1-Sn=Sn+]Snf

11

———------=1,

SnSn+i

1

又-1,即一=—1,

Si

1

・••数歹叫丁｝是以首项是-1、公差为-1的等差数列，

Sn

.1

—=-n,

Sn

.•.S〃=q

故答案为：—

120

2.(2015•江苏)设数列｛板｝满足m=l,且z+i-斯=〃+1(〃WN*),则数列(一1的前10项的和为yy

qn-

【解答】解：・・•数列｛斯｝满足m=L且斯+1-即=/1(底N*),

・••当〃之2时,Cln=Can-an-])+...++。1=〃+…+2+1=九(个1).

当〃=1时，上式也成立，

.〃_n(n±l)

••tin-2♦

.1_21__1_

n

*ann(n+l)"+1'

,数列｛丁｝的前n项的和Sn=2[(1-1)+(1-1)+…+-^4)]=2(1—《I)=磊

120

J数歹U｛一｝的前10项的和为一.

an11

_20

故答案为：—.

3.(2011•北京)在等比数列｛“”｝中，a\=\,“4=-4,则公比-2；|ai|+|«2|+...+|a„|=_2n-1-

【解答】解：q=

1(l-2n)

|。1|+|及|+…+|。〃|==2n-1

1-2

故答案为：-2,2n-x-1

n

4.(2020•新课标I)数列｛〃〃｝满足的+2+(-1)an=3n-1,前16项和为540,则〃1=7

【解答】解：由劭+2+(-1)〃斯=3〃-1,

当n为奇数时，有an+2-an=3n-1,

可得如--2=3(〃-2)-1,

a3-ai=3・l-1,

力—1[l+(n—2)]7l-l(71—1)(371—5)

累力「可得-m=3[l+3+...+(〃-2)]----2-=3,-

24

当n为偶数时，an+2+an=3n-I，

可得〃4+〃2=5,48+46=17,〃12+。1()=29,016+414=41.

可得Q2+〃4+...+416=92.

・・・。1+。3+...+。15=448.

8%+/（0+8+40+96+176+280+408+560）=448,

，8ai=56,即ai=7.

故答案为：7.

5.（2021•新高考II）记S是公差不为0的等差数列｛加｝的前“项和，若”3=S5,“244=S4.

（I）求数列他"｝的通项公式如；

（II）求使成立的n的最小值.

【解答】解：（I）数列S,是公差d不为。的等差数列｛〃“｝的前〃项和，若“3=S5,a2a4=S4.

根据等差数列的性质，。3=$5=5"3,故43=0,

根据a244=S4可得（。3-〃）（43+d）=（43-2d）+（43-d）+。3+（43+d）,

整理得-屋=-2/可得d=2（d=0不合题意），

故an=a3+Cn-3）d=2n-6.

(II)an=2n-6,m=-4,

Sn=-47?+n2x2=n1-5小

Sn>a〃,即-5n>2n-6,

整理可得〃2-7/6>0,

当n>6或n<1时，Sn>an成立，

由于〃为正整数，

故〃的最小正值为7.

6.(2016•新课标0)已知各项都为正数的数列｛〃〃｝满足m=l,a/-(2劭+i-1)斯-2即+1=0.

(1)求。2,〃3；

(2)求｛。〃｝的通项公式.

【解答】解：(1)根据题意，a?-(2a〃+i-1)-2。〃+]=0,

当n=1时，有-(2及-1)a\-2Q2=0,

而防=1,则有1-(2.2-1)-2。2=0,解可得。2=

当n=2时，有。22-(2田-1)“2-2。3=0,

11

又由42=],解可得。3=不

11

故2=--

24

2

(2)根据题意，an-(2^+i-1)如-2。〃+1=0,

变形可得Can-2an+\)(如+1)=0,

即有an=2an+\或a〃=-1,

又由数列｛板｝各项都为正数，

则有。〃=2而+1,

故数列｛“")是首项为“1=1,公比为2的等比数列，

11

则所=1X(-)"1=(-)

22

故。〃=(-)FL

2

7.(2020•山东)已知公比大于1的等比数列｛斯｝满足。2+44=20,673=8.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)记尿为｛期｝在区间(0,m](mEN*)中的项的个数，求数列｛加｝的前100项和Sioo.

【解答】解：(1)设等比数列｛板｝的公比为“(夕>1),

,/。2+。4=20,43=8,

8

***—+8q=20,

q

解得4=2或（舍去）,

・・=2,

"尸23-1=2",

(2)记即为｛a”｝在区间(0,m](mGN*)中的项的个数,

:.2n<m,

故81=0,历=1,加=1,从=2,加=2,阮=2,b7=2,

〃8=3,b9=3,4o=3,b\\=3,62=3,613=3,囱4=3,加5=3,Z?i6=4,

可知0在数列｛5〃｝中有1项，1在数列｛尻7｝中有2项，2在数列｛而｝中有4项，…,

1X（1-26）1x（1-2，）

由=63<100,127>100

1-21-2

可知匕63=5,加4=加5=〜=6100=6.

工数列｛加?｝的前100项和Sioo=0+1X2+2X4+3X8+4X16+5x32+6x37=480.

8.（2019•全国）数列｛〃“｝中，a\=2an+\an+an+]-an=0.

（1）求｛〃〃｝的通项公式;

1

（2）求满足V7的n的最大值.

【解答】解：（1）**2an+1an+dn+1~4/z7—0.

11-1

------———=2,又一=3,

an+ianai

1

・•・数歹U｛一｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

an

11

.•.工=2n+l,.•.即=时；

1111

（2）由m知‘an-ian=（2n-l）（2n+l）=2^2^1~2n+l^n-

1111111111

：.a\a2+a2a3+...+an.\a）,=引（百一5）+（5-#+…+=5（3-2^^

1.1111

•.•。1。2+。2〃3+...+。〃-V干・••一（——-----）V-,

72、32n+r7

・・・4〃+2V42,.，.n<10,V^eN*,

的最大值为9.

9.(2021•乙卷)设｛“”｝是首项为1的等比数列，数列｛加｝满足加=警,已知m,3a2,9a3成等差数列.

(1)求｛雨｝和｛为｝的通项公式;

(2)记S”和及分别为｛〃”｝和｛为｝的前〃项和.证明：TY等

【解答】解：(1)Vai,3〃2,9〃3成等差数列，.•・6。2=。1+9。3,

•・・｛。〃｝是首项为1的等比数列，设其公比为乡，

贝I」6g=1+9/，:・q=/，

(2)证明：由(1)知&尸T,b,尸〃Gn,

_ix[i-(^]_311

-X

••Sn――-i--22，

13

12

7'n=lx(1)+2x(1)+-+n-(1r，①

23n+1

'•-Tn=1x(-)+2x(-)+-+n-(-),②

①-②得,，=与1-(#1-制严，

..%=＞示(犷-】一式犷，

=A卜(聂I-品(扔-。Vx(扔一】]«,

..1"、0.

10.(2020•新课标川)设数列｛““｝满足m=3,an+i=3an~4/?.

(1)计算“2,。3,猜想｛a〃｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛2茨"｝的前“项和S”.

【解答】解：(1)法一：数列｛"”｝满足m=3,an+i=3an~4«,

则。2=3ai-4=5,43=3a2-4x2=7,

猜想｛“"｝的通项公式为a”=2〃+l.

证明如下：(储当〃=1,2,3时，显然成立，

(;7)假设〃=k时，分=2k+l()t6N+)成立,

当〃=攵+1时，或+1=3或-4女=3(Z+1)-4攵=2攵+3=2(K1)+1,故〃=4+1时成立,

由(i)(万)知，劭=2〃+1,猜想成立，

所以｛〃〃｝的通项公式。〃=2几十1.

法二：数列｛〃〃｝满足ai=3,an+i=3an-4n,

贝ij。2=3。1-4=5,。3=3。2-4x2=7,...»

猜想优〃｝的通项公式为斯=2〃+1.

证明：设。i+i+a(〃+1)+p=3(an+aw+p),

可得Q/?+I=3〃〃+2cm+20-a,

,够二at(r解得｛》［—j

*'•<in+i-2(n+1)-1=3-2"-1),(不能说明｛an~2n-1｝是等比数列)

Vai=3,m-2xl-l=0,并且及-2x2-1=0,所以如=2〃+1恒成立.

所以an=2n+\.

(2)令b"=2"a"=(2n+l)3,则数列｛2%”｝的前〃项和

5»-3X21+5X22+...+⑵+1)2",…①

两边同乘2得，2S〃=3X22+5X23+...+(2n+l)2田，...②

①-②得，-S=3x2+2x22+...+2x2"-⑵+1)2,,+|

=6+8(早^)-(2/7+1)2叫

所以S"=(2n-1)2w+l+2.

11.(2021•新高考I)已知数列｛“〃｝满足m=l,即+1=1斯+1'"为奇数'

以+2,n为偶数.

(1)记加=〃2〃，写出加,bi,并求数列｛加｝的通项公式；

(2)求｛〃〃｝的前20项和.

【解答】解：⑴因为ai=l,如+i=fn+l'

Un+2,n为唐教

所以42=41+1=2,。3=〃2+2=4,44=43+1=5,

所以"=42=2,历=4=5,

bn~bn-\=一Cl2n-2=C12n-Clin-1+。2〃-1-Cl2n-2=1+2=3,几之2»

所以数列｛加｝是以加=2为首项，以3为公差的等差数列,

所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

另解：由题意可得。2〃+1=ain-1+3,。2〃+2=。2〃+3,

其中41=1,42=01+1=2,

于是加=〃2〃=3(〃-1)+2=3〃-L〃£N*.

(2)由(1)可得Q2“=3〃-L〃WN*,

则。2〃-1=。2〃-2+2=3(/?-1)-1+2=3〃-2,n>2,

当〃=1时，m=l也适合上式，

所以〃2〃-1=3〃-2,〃£N*,

所以数列｛板｝的奇数项和偶数项分别为等差数列，

10xQ10xQ

则｛。〃｝的前20项和为41+。2+...+。20=(。1+。3+..・+。19)+(42+。4+…+。20)=10H--工—X3+10x2d---，—X3

=300.

12.（2014•新课标II）已知数列｛〃"｝满足。1=已an+\=3an+l.

（I）证明｛斯+/是等比数列，并求｛〃”｝的通项公式;

-1113

（II）证明：一+一++—<-

%an2

an+l+73an+l+13(an+1)

【解答】证明（Iy=3,

:2=2。①

13

J数列｛〃〃+勺是以首项为5,公比为3的等比数列;

1QQn3n-l

.■・。〃+2=2x3nt=2，即

-2-

12

（0）由3）知第=市？

1221

当佗2时，V3Z,-l>3n-3,rl—=----V---------=-----

n

an3-l3九-3九t3"T'

当〃=i时，31V就立，

111VI+/++…+1

当n>2时,—+—+…+—产=

。233

,1113

・••对n£N+时，一+一+—V二

。2an2

模拟预测

1.在①S+i=4S”+2,②3%=22"+1+入SGR),③3s"=而+1-2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,

并求解.

问题：已知数列｛“”｝中，。1=2,其前〃项和为且满足,记b"=k>g2ai+log2a2+…+k>g2a”，求数

列｛为｝的通项公式.

【解答】解：方案一：选条件①.

由Sa+i=4S"+2,(*)

当尼2时，S”=4S"j+2,(**)

所以(*)-(**)可得如+1=4”"，

又当〃=1时，S2=4SI+2,可得。2=8,满足。2=4“|,

所以数列｛如｝时首项为2,公比为4的等比数列，

所以C1n=22“T；

2

故b"=log2al+log2a2+…+/o52an=1+3+…+(2n-1)=n.

方案二：选条件②

由3S"=22"+i+3(*)

当论2时,35„-i=22,rl+X,(**)

所以(*)-(**)可得3c1n=22n+i-22n-i=3-22n-i,即即=22-1,

当”=1时，(11—2,满足=22"T,

所以，0=22-1.

2

故时=log2ax+log2az+••,+log2an=1+3+…+(2n-1)=n.

方案三：选条件③.

由3Sn=Cln+l~2,(*)

当近2时,35*1=珈-2,(**)

所以，(*)-(**)可得a"+i=4a,”

当"=1时，3s1=42-2,可得42=8,¥两足672=4aI,

所以数列｛〃”｝是首项为2,公比为4的等比数列，

所以即=22"-】.

故心=log2al+log2a2+…+^°92an=1+3H-----l-(2n-1)=n2.

2.数列｛“"｝的前〃项和为S”已知“1=4，S,,=^an-n2(n-1).

(1)设加=与工S",证明：当论2时，bn-bn.\=m

(2)求｛〃”｝的通项公式.

【解答】(1)证明：由%=出即一„25一1),

22

可知n>2时，Sn=n(Sn-S九一力-n(n-1).

可得Sn=£；SnT+Jp

所以%一小-1=噜5"一工S"T=噜(若Sn_i+器)一35"-1

nc.nc_

=五二［Sn_i+n-五二［Sn_i=n.

(2)因为&=%=当所以从=2的=1,

当佗2时，hn=(bn-hn-\)+Cbn-1-bn-2)+…+(&2-b\)+bl

.।...n(n+l)

=n+r(n—1)H----1-Q2+1=—

当”=1,吟由=瓦，于是b=吗由.

所以『s一等2,从而治小.

2

由二=九2。九一/(九一1),可得Q=2与1.

2n/

3.已知数列｛a”｝的前“项和为S”，且满足小=2,如为g与S等差中项.

(1)求数列｛.｝的通项公式；

(2)记麻=粤，九WN*,证明：bi+b2T—।■加V税，〃WN”.

【解答】解：(1)由m=2,〃〃为与S”等差中项，可得24〃=2+S〃，

当时，2a〃-1=2+S〃-1,又2a〃=2+S〃，

两式相减可得2,dn~2an-1=2+S〃_2_Sn-\=diif

化为Cln—2cin-I,

所以｛如｝是首项和公比均为2的等比数列，

可得4〃=2";

1Q

(2)证明：当〃=1时，历=)<4成立；

nnn

Q2222〃一1

<n=1

当e2时’bn==(2n+1_2)2=4(2-l)(2"-2)4(2^-1)(2"--1)

111

=±(-------------)

42n-I—12n-l，

二匚〜；,1.11..11、=1+.1Z(11-1、)=3-n1

所以加+历+…+加＜2+](1一2+@一^+・・,+^171一二)24FM44(2-l)4,

综上可得，历+历+・•・+/?〃〈,，〃£N”.

4.设数列｛斯｝满足m=3,诙+1=3。"-4〃.

(1)计算“2,43,猜想｛所)的通项公式并用数学归纳法加以证明；

(2)求数列｛2"“｝的前〃项和S1.

【解答】ft?：(1)数列｛的｝满足m=3,an+i—3an-4n,

则a2—3ai-4=5,a3—3a2-4x2=7,猜想an=2n+l,

证明：①当”=1时，显然成立，

②假设当“=A:时，%=2k+l(keN*)成立，

则当"=k+l时，ak+l=3ak-4k=3(2左+1)-4k=2k+3=2(4+1)+1,

故〃=k+l时也成立，

综合①②可得，a〃=2"+l,猜想成立.

n

(2)令%=2an=(2〃+1)・2",

12rl

数列｛2"小｝的前n项和Sn=3x2+5X2+•••+(2n+1)-2③，

23n+1