高中数学2023新高考二轮复习11导数解答题之极最值问题（原卷版）

微专题11导数解答题之极最值问题

【秒杀总结】

1、利用导数求函数的极最值问题.解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从

而求得极最值.只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其

中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数

有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作.

【典型例题】

例1.(2023秋•江苏泰州•高三统考期末)已知函数/(x)=e，-5ax3(。为非零常数)，记

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，+i(x)=，'(x)("wN),J(x)=/(x).

(1)当x>0时，〃x)Z0恒成立，求实数。的最大值;

(2)当。=1时，设g“(x)=f/；(x),对任意的"23,当x=时，尸g“(x)取得最小值，证

/=2

明：g„(/„)>0且所有点g,g.(/„))在一条定直线上；

(3)若函数为(X),工卜)，力(x)都存在极小值，求实数。的取值范围.

例2.(2023秋•辽宁葫芦岛•高三葫芦岛第一高级中学校考期末)已知函数

k+xx

〃x)=e(kGR)

k-x

⑴若无=1,求曲线y=f(x)在点(oj(o))处的切线方程;

(2)讨论函数〃x)的单调区间；

(3)设上40,若函数/(x)在区间(百,20)上存在极值点，求无的取值范围.

例3.(2023秋•山东潍坊•高三统考期末)已知函数/(x)=e=ax2-cosx-ln(x+l).

(1)若。=1,求证；函数/(X)的图象与x轴相切于原点；

⑵若函数/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个极值点，求实数。的取值范围.

例4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x2-2x+alnx(“>0).若函数/(x)有两个

极值点再,々(再<当)，且不等式/(占)2加匕恒成立，试求实数机的取值范围.

例5.(2023春・江苏南京•高三南京市第一中学校考开学考试)已知函数[(x)=ae"+hu

-1(aGR).

⑴当aVe时，讨论函数/(x)的单调性：

(2)若函数/(x)恰有两个极值点X/,X?(x/<X2),且X/+X2021n3,求二■的最大值.

X]

例6.(2023•重庆•统考一模)已知函数/(x)=(2x-3)e*-ax+q(aeR),设〃(x)为/(x)的导

函数/(%).

(1)讨论力(x)的零点个数；

(2)当a20时,记/(X)的最小值为g(a),求g(a)的最大值.

例7.(2023•江西景德镇•统考模拟预测)已知函数y(x)=(x+l)(；+Mx).

(1)若函数/(x)在定义域上单调递增，求。的最大值；

(2)若函数/(外在定义域上有两个极值点々和巧，若x2>4%,求g的最大值.

例8.(2023秋•山西运城・高三统考期末)已知〃x)=-ln(l-x)-x.

⑴求证：/(力40恒成立；

21,1)上的极值点个数.

⑵令g（x）=x+—cos7tx,讨论尸（》）=〃"+8（》）在xe

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【过关测试】

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃》)=(工-2贮+6若口)=°(52-工］，其中a为大

于0的常数，若尸(x)=/(x)-g(x).

⑴讨论尸(x)的单调区间；

⑵若尸(x)在x=/(/wl)取得极小值，求g(。的最小值.

2.(2023•全国♦高三专题练习)已知函数/(x)=(x+2)1nx+ax2-4x+7a.

(1)若a=g,求函数/(x)的所有零点；

(2)若。2；,证明函数“X)不存在极值.

3.(2023•四川内江•统考一模)已知函数/(x)=ax+cosx(0«xW肛awR)

(1)当a=*时，求/(x)的单调递增区间：

3

(2)若函数/(x)恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为〃、加，求证：

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=/+ax+21nxs为常数)，且/口)在定义域

内有两个极值点.

(1)求4的取值范围；

(2)设函数“X)的两个极值点分别为4%(王<%)，求〃网)--伍)的范围.

5.(2023•四川攀枝花,统考二模)已知函数/(*)=x?-alnx+x(aeR).

⑴当a=3时,求函数/(x)的极值;

(2)设函数g(x)=/(x)-x,若g(x)有两个零点为，x2(x,<x2),且为g(x)的唯一极值点,

求证：xl+x2>2x0.

6.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(X)=3。犬-(〃+l)x+lnx,a>0.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。=1时，设g(x)=/(x)+(3-加)x-(x+l)lnx,(meR),函数g(x)有两个极值点

>x2(Xj<x2).

①求m的取值范围；

②若3演2々，求1呻+lnw+2加的取值范围.

7.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈师大附中校考期末)已知函数/(x)=e，-g/-ax有两个

极值点为，x.〉

(1)求实数。的取值范围；

(2)求证：/(X,)+/(X2)>2.

8.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lnx+#-x-；.

⑴若函数〃x)有两个极值

(i)求实数。的取值范围；

(ii)求f(x)极大值的取值范围.

⑵对于函数g(x)N瓯、X2€/,都有g(X)；g(X2)4g(土黄)则称g(x)在区间/上是凸函

数.利用上述定义证明，当。>0时，/(x)在(0,9］上是凸函数.

9.(2023秋•黑龙江绥化•高三校考期末)已知实数。>0,函数/(x)=xlna-alnx+(x-e)-,

e是自然对数的底数.

⑴当a=e时，求函数/(x)的单调区间；

(2)求证：/(》)存在极值点与，并求飞的最小值.

10.(2023秋•江苏•高三统考期末)已知函数/(x)="e，+cosx+gx2,其中。为实数，e是

自然对数的底数.

⑴当。=0时，求曲线〃x)在点信,/创处的切线方程；

⑵若g(x)为f(x)的导函数，g(x)在(0,兀)上有两个极值点，求。的取值范围.

II.(2023•福建・统考一模)已知函数/(x)=e"—竺,a>0.

⑴讨论/(x)的极值点个数：

(2)若/(X)有两个极值点外/2,且玉<》2，当e<a<5时，证明：/(^)+2/(%2)<-^.

12.(2023秋•安徽合肥•高三校考期末)已知函数/(x)=lnx+x+q(aeR),g(x)=《.

xX

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)若〃(x)=g(x)+W(x),且当。=2时,函数〃(x)恰好有两个极值点，求实数机的取值范

围.

13.(2023春洞北邯郸•高三校联考开学考试)设函数/*)=•*—(2x+l)e*,aeR.

⑴当a=1时,求曲线歹=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)若。＜0,且/(x)在区间(-2,+*)上有极值，求实数。的取值范围.

14.(2023秋•江苏南通•高三统考期末)已知函数/(x)=,+("；)『+2Inx,«eR.

⑴当。=-4时，求/(x)的极值：

(2)当0＜。＜；时，设函数的两个极值点为为，々，证明：/(xJ[〃X2)L+2a.

2AT|3C2J

15.(2023秋•河南开封•高三统考期末)已知函数/(x)="-“ln(x+l).

⑴讨论函数g(x)=/&)-Inx的单调性；

(2)若x=0是函数〃(x)=/(x)-sinx+xcosx(-1＜X＜1)的极小值点，求a的取值范围.

16.(2023秋•广东•高三校联考期末)已知函数/(》)=即-*+/.

⑴若x=l是〃x)的极值点，求a；

(2)若马,%分别是/(x)的零点和极值点，当。>0时,证明：ln*<x；-xo+l.

17.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=21n(x-l)+%e"2(AGR).

⑴若x=2是/(x)的一个极值点，求/(力的极值；

(2)设人口)=吗”的极大值为〃(%),且“X)有零点，求证：4(与-1)2-总.

ee

18.(2023・全国•高三专题练习)己知函数/(x)=e'(x-a)2.

⑴若/(x)在--1处的切线与x