高中数学竞赛真题4平面向量（学生版+解析版50题）

竞赛专题4平面向■

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1.（2018•全国侑三竞赛）已知A48C的外接园圆心为。，8C>C4>A8.则

（）.

A.dAOii>OAoc>oiioc

B.OAOB>OfiOC>OAOC.

C.OliOC>OAOC>OAOfi

D.OAOC>OBOC>OAOB

2.（201，全国诲三竞赛）设P为AA8c所在平面内一动点•则使得

川刊+取得最小值的点P是A48c的（）.

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.（2018・全国•高•三竞赛）设〃是AA8c所在平面上的一点，用。、b、八人分别表

不向量OA、08、OC-OH.^ab+ch=hc+ah=ca+bh.则，是AA8C

的.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

4.（20”•全国•高三竞赛）如图，在A48C的边上做匀速运动的三个点尸、S、R,当

/=0时，分别从A、8、C出发，当/=ls时，恰好同时到达8、C、A.那么，这个

运动过程中的定点是X'QE的（）

A.内心B.夕卜心

C.垂心D.重心

5.（2018•全国•高三竞赛）如图，在凸四边形A8CQ中，A8=4,8c=3,CD=|,

旦NAOC=NA8C=90°.则/*等于（

B

C.3\/3+8D.3y/34----

4

6.（2018.全国•岛.三竞赛）已知P为△ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC4,那么，

S.3,C：SAF：SW"等于.

A.1:2:3B.2:3:4C.3:4:2D.4:3:2

7.（2020•浙江温州•高一竞赛）已知单位向景三，鼻的夹角为60。，向量公=痴+）言，

B.l<.v<2,l<y<2,设向量•与■的夹角为，，则cosa的酸大值为（）.

AmB.亚C.也D.”

43147

8.（2018・全国•高三竞赛）平面上的两个向景3、08满足|。4|="，\OB\=b,且

a2+b2=4,0408=0.若向量OC=/lOA+〃O8（/l,“wR）,且

（义-3]/+（〃-；）%=1.则QC的最大值是（）

A.-B.1C.2D.4

9.（2018・陕西两三竞赛）在边长为8的正方形A8C©中，何是8c的中点，N适AD

边一1点，旦DN=3NA,若对于常数”，，在正方形A/3C/）的标上恰有6个不同的点

P，使相第=团，则实数机的取值范围是

A.（-8,8）B.（-1,24）C.（-1,8）D.（0,8）

二、填空题

10.（2018・吉林•高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，ZACH=1,

AC=8C=2,点P是斜边AB上一点，且8P=2已4,那么>@+。口航=

II.（2019•全国高三竞赛）设AABC的面积为1.边AB、AC的中点分别为E、F,P

为线段EF上的动点，则/=PH.PC+而£的最小值为.

12.（2019•全国询三竞赛）设P是小8。所在平面上一点.满足PA+PI3+PC=2A瓦若

SgBC=1，则S.”、"=.

13.（2019•全国•高三竞赛）在△ABC中，已知卜同=2,04=3.］明=4,设0为

△ABC的内心，且XC=/而+"反则入+口=.

14.（2021・全国•高三竞赛）己知向最£=（8$/5亩。）/；=（我."）,则|2,7+5］的鼓大

值是

5（2019•全国•高三竞赛）在正四面体43C。中，i殳亚='入月，CF^CD,记诙

和RF所成的角为。,则cos。=

16.（2019・全国•高三竞赛》如图，已知G是AA8O的重心，若PQ过点G,且

OA=ay（）B~I）,OP=nia,OQ-nb,则工+上=.

mn

17.（2021全国•高三竞赛）△人8c中，A、B、C的对边分别为“、b.c,。是AA8C的

外心，点?满足而=3+而+无，若8=辛且乔反==4,则A"C的面枳为

18.（2021.全国•高三竞赛）已知平面单位向量0、B、&了，且2+6+1=。，记

y=|.r-a|+|A:-/J|+|.f-e|,则的报大值为.

19.（2021・全国•高三竞赛）己知点A满足|。印|=3，B、C是单位圆。上的任意两点，

则而反的取值范围是.

20.（2020•浙江.高三竞赛〉已知人/；为非零向量，且口=|£+同=【，则恢+可+|同的

最大值为

21.（2021•全国高三竞赛）己知两个非零向量源，T满足同=2加+2T=2,则

|2加+川+W|的煨大值是.

22.（2021•全国高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足雨+而+1=33瓦

若△而（7的面积为］，则△PA8的面积为

23.（2021•全国高三竞赛）已知A、8、C为“6C三内角，向量

占=（c。sAJ,6sin管）|£|=应.如果当C圾大时，存在动点M,使得

uuir

LK.IUULUUUIUI/VfCI

IM41、IA例、1MBi成等差数列，则」吐最大值为________.

\AB\

3

24.（202L全国•高三竞赛）如图，在A/WC中，A8=2.AC=5.cos/CA8=g,O是边

IDpI

8c上一点，且8/5=2OC1.若点〃满足而与而共线,PA1PC.则三三的值为

\AD\

25.（2021・全国•高三竞赛）若平面向量口6、万+6的模均在区间［2,4］内，则不日的取

值范围是

26.（2019・广西•高三竞赛）已知点打-2,5）在圆C:尸+V-2》-2｝一尸=0上，直线

/：3K+4.V+8=0与圆C1相交于A、8两点，则应；=.

27.（2019,H油高三竞赛）△A8C的三边分别为“、b、c,点。为“8C的外心,已知

tuaiuuu

/x-2h+c2=0,那么8cAO的取值范围是.

28.（2019.四川.高三竞赛）设正六边形A8C。"的边长为I,则

（AB+DC）｛AD+HE）=

29.（2019・重庆,高三竞赛）已知向量满足|d|：葩|：©=】：A：3（AeZj,且

2｛c-b）,若a为的夹角，则cosa=

3，.（2，18•山东市三竞赛）在“8。中，/&1C=60。，N&1C的平分线AQ交4c于

。,且有初二，ZC+/Z月.若A8=8,则AO=

4

31.（2・18,河北,高三竞赛）设点0为三角形ABC内一点，且满足关系式：

S,,i00+2sA80c+3S,co［一

S▲，皿---------•

32.（2・18•全国•高三竞赛）在等腰△ABC中，已知AC=8C=4，点D、E、F分别

_____25

在边AB、BC、CA上，JIAD=DB=EF=1.若屣•历《丁，则而.而的取值范围是

16

33.（258•全国•高三竞赛）在平面直角坐标系中，己知。为原点，点A（-IQ）,

川・,曲），动点C在圆（x-3『+./=4上运动，则|砺+而+而|的最大值为

34.（23,•全国•高三竞赛》如图，在AA8c中，已知。为8c的中点，点;W、N分别

在边A8、4C上，且AM=6,MB=4,AN=4,NC=3,NMON=90°.则

cosA=_

35.（2・I8•全国两三竞赛）已知。为“8c边"上的一点，P为“8C内一点，且满

足人。=3八"，而=而+二阮.则^.

4532八*

36.（2,18•全国高三竞赛）已知。是“8C的外心.若A8=AC.NC48=300,且

函=49+4而厕4右=

37.（2・18・全国•高三竞赛）在△ABC中，已知ZA=120°,记向量

BA

+就上鬲砾？则与尸的夹角等于

|B4|cosAFra

38.（258•全国窗三竞赛〉如图，设G、，分别为AA8C的重心、垂心，F为线段GH

的中点，A48C外接圆的半径R=l.叫两力叫2+闭，=.

G卡H

B

39.（2019•全国两三竞赛）如图，M,N分别是正六边形488£下的对角线AC、

CE的内分点，且A怨M=RCN=%,若8、M、N三点共线，则4=_.

40.（2019.全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2/+2））-5.0+*+丫+4=0在平面直

角坐标系,中表示两条相交的宜线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上，且

।雨|"尸»|=1.则用.而=.

41.（2018•全国•高三竞赛）在用A48C中，ZC=9O0.A8=c.沿向量大方的方向，点

何.”2,…，何，一将线段AB分成了«等份.设八=，■="”.则

呵！尹西+西瓯＞+•••+啊］函=.

42.（2019•全国询三竞赛）设点。在AA8C的外部，且次一2瓦-3。。=（）.则

C-C=

京八伙…）6。8c-------

43.（2018•全国高三竞赛）己知向量”、〃满足M=I4="〃=2,且（"-C）（〃-C）=O.

则|独-c|的最小值为.

44.（2018•江苏•高三竞赛）在A48c中，A8=5,AC=4,且而=12,设P为平

面A8c上的一点，则PA（PH+PC）的最小值是.

45.（2018・贵州•窗三竞赛）已知。为AASC所在平面上一定点，动点尸满足

"+犒阖JUe［（）­+«＞］,则尸点的轨迹为

46.（2021.全国•高三竞赛）已知平面向量d、鼠满足m|=2,历|=|百

若61=0，那么14一$+〃万一3I+,方+（1一义）（方一刃的最小值为

47.(2019・贵州・高三竞赛)在△入8c中，GA+Gli+GC=6,GAGii=().W]

（tan4+tan^）tanC_

tanA-tan/?

48.（2021・全国•高三竞赛）已知三个非零向量，、b＞己，满足

刈&+b+川="•5+6・CC1=/（其中义为给定的正常数）.则实数『的最小值为

三、解答题

49.（2020・浙江温州•高一竞赛）若平面上的点45方），儿竟，方），4（0口），。。，-2）满

足|°\卜冈=|砥|=6.

（1）求|况-冈的最大值；

（2）设向量（c.d）,定义运算拓@〃=“c—〃d-若AA,44=°,求

0%（80耳+0%0。%+。《€）。4的取值范围.（其中。为坐标原点）

50.（202卜全国,全三竞赛）已知点A（2cosa,sina）,8（2cos/A$in0、C（2co$y,siny）,其

中6四？€[0,2万）,且坐标朦点。恰好为AABC的重心,判断S““是否为定值，若

是，求事该定值；若不是，请说明理由.

竞赛专题4平面向■

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

I.（2018•全国两三竞赛）已知A48c的外接网圆心为O,8C>CA>A8.则

（）.

A.OAOB>OAOC>OBOC

B.OAOB>OIiOC>OAOC-

C.OI3OC>OAOC>OAOli

D.OAOC>OliOC>OAOB

【答案】A

【解析】

【详解】

设MBC的外接网半径为R.则OAOB=/?2cos2C.OBOC=R2cos2A.

（?AOC=/?2cos26.XlllBC>CA>AB,可知sinA>sin8>sinC>•.故

I-2sin2A<1-2sin2fi<1-2sin2C.即cos2A<cos28<cos2c.所以0A-013>OA-OC>

OBOC

2.（2019.全国诲三竞赛）设P为A48c所在平面内一动点•则使得

跖户力+,力取得最小值的点户是A48c的（）.

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】

【详解】

注意到I

PAPfi+PT{PC+PC-PA=画.（附+而）+（用+翻）•（耳XAO+（PA+AC）PA

=3次+2（AB+AC）PA+AB-AC=3（PZ+弋同。/_（A8+AC）+雁配①

当原=AQ+Aj即尸为M8C的重心时，式:①―捅小行（A8+AG"通而.

33

故答案为C

3.（2018.全国•高三竞赛）设”是A48C所在平面上的一点，用“、b、，、A分别表

不向量OA、08、・C、OH.^ab+ch=bc+ah=ca+bhf则H是A/18C

的.

A.内心B.外心C.重心I）.垂心

【答案】D

【解析】

【详解】

由a.5+c/=b-c+a-A，^ab+ch-bc-ah-Q.t!|J（a-c）（Z>-/i）=t.

所以。4/川=0,则，8_LCA.同理，HALBC.

4.（2019.全国•高三竞赛）如图，在A48C的边上做匀速运动的三个点p、S、R,当

/=•时，分别从A、8、C出发，当/=1’时，恰好同时到达8、C、A.那么，这个

运动过程中的定点是A/'QK的（）

A.内心B.外心

C.垂心D.重心

【答案】D

【解析】

【详解】

依题意知•二=•芸=?=2.设G为APSR的重心，则AG=L（AP+AS+AR）,

ABBCC43

^[AAZ?+AS+ABC+（I-AMC]=^（XB+AC）.

所以，G为A4BC的重心.

故答案为D

5.（2018•全国•高三竞赛）如图，在凸四边形A8C。中，A8=4,BC=3,CD=1.

flNAOC=48C=9()。.则//等于().

B

27

+一

4

29

C.3G+8D.36+一

4

【答案】B

【解析】

【详解】

如图由勾股定理得AC=J42+3'=5=2X』=2CQ.11NA/X7=90°,则NC4。=30°.

2

乂因/ADC=NA8c=90。，所以，A、8、C、。四点共圆.

联结BD.则ZABD=ZACD=90°-30°=60°.

14

设Z.BAC=a（a为锐角）,则sina=；,cosa=y（O°<a<60°）.

作矩形CQA/,则A/MBC,/£4。=90°-（。+30°）=60。-夕.

AB

二卜|卜卜°""。=3•sinZABDcos（60°-a）

sinZADB

…&na=36+1.选B.

=3x——•sin60°-

sin（90。-a）22

编者注：此题用复数法解答比较简洁.

B

6.（2018•全国•高三竞赛）已知P为AABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0,那么,

S.VW:SwA:等于.

A.1:2:3B.2:3:4C.3:4:2D.4:3:2

【答案】B

【解析】

【详解】

如图,延长PA至D,使PD=2PA：延长PB至E,使PE=3PB：延长PC至F.使

PF=4PC.则PD+PE+PF=O.

从而，P为△DEF的虞心.于是,有

<1_11c__Lc

-7-T甘一鼻x□"T>皿上万-Z7）皿/•

=4x2Sw"=,Xs11yty=—SMKI,

7.（2020・浙江温州•高一竞赛）已知单位向量或，1的夹角为60。，向量方=m；+ye；,

旦14x42,14）±2,设向量£与4的夹角为&，则co$a的最大值为（）.

D,也

AB

-Tc*7

【答案】C

【解析】

【详解】

1

.v十一y

由题目有cosa=21

J.d+＜〉'+/

3

则cos-a=4

x2+”+)/、

(R+(X

小二处

又因若e.2,所以cos,2a年42心5,所以

2_72o14

故选：C.

8.（2018・全国•高三竞赛）平面上的两个向量CM、08满足|。4|=",|。即=〃，且

/+"=4,0408=0.若向量OC=N6M+"OB(4〃wR),旦

从=1.则|oc|的最大值是（）

A.；B.1C.2D.4

【答案】C

【解析】

【详解】

因为|。4|=“，|0闿=。，且〃2+6=4，3JL08,所以，。、A、8三点在以A8的

中点M为圆心、I为半径的圆上

又。M=；（OA+O8）,OC=AOA+^iOH,则

MC=OC-OM=（/l_+

从而，点C也在以仞为圆心，I为半径的圆匕

因此，0、A、8、C四点共圆,其圆心为M.

当0、M、C三点共线，即0C为。〃的一条直径时，|因2=2.

9.（2018.陕西诲三竞赛）在边长为8的正方形A8C&中，M是8c的中点./V是A。

边上一点，&DN=3NA,若对于常数"I,在正方形A8CD的标上恰有6个不同的点

LLL11ULLV

P,使PM/V=/”，则实数"I的取值范围是

A.（-8,8）B.（-L24）C.（-1,8）D.（0.8）

【答案】C

【解析】

【详解】

如图建立直角坐标系,A（0,0）,M（8,4）.N（0,2）,P（x」）.由题意得:

PM-PN=（8-.r,4-y）-（-r,2-y）=x2-8.v+y'-6y+8=»J

=（内-4）2+（.丫-3）2=,〃+17.即以（4,3）为圆心，疝而为半径的圆与正方形四边有且

仅有6个不同的交点，易由图形知4<J〃?+17<5n，〃e（-l,0）.

'I''，，

T\'__-，；，《二

___-

二、填空题

10.（2018•吉林・高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，ZACB=~,

2

AC=8C=2,点P是斜边AB上一点，且8P=2户A,那么守.而+行.C月=

【答案】4

【解析】

【详解】

解法-：W<)'CP=CA+AP=CA+^AB=CA+^AC+CB)=^CA+^CB,

22

^ACPCA+CPCB=1CA+1CB=1+^=4.

解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(2.

0).

42,———

B(0,2),P(y,不)，有CA=(z2,0),CS=(0,2),CPHJ-

84

所以6@+少•而=-+j=4.

故答案为4

II.（2019・全国•高三竞赛）设A4BC的面积为1,边AB、AC的中点分别为E、F,P

为线段EF上的动点，则f=PBPC+BC2的最小值为

【答案】73

【解析】

【详解】

作户。±8c于点D.设8C=".

如下左图,当点D位于线段BC或CB的延长线上时，

/=（所+而）.（而+Z5T）+直2=防+丽.玩+“2>^-/!；+a->aha=2>4^.

如下右图，当点D位于边BC上时，

/=（而+7用）.（而+码+BC2

=和+而.玩+/片T。胤明+"，

,I.2（1'2犷+昭、小i/T

N_h----卜a=------N—ah.=y3

4"442fl

当D为线段BC的中点以及。=&时，上式等'，；成立.

综上，源=6・

故答案为6

12.（2019•全国高三竞赛）设P是A4?C所在平面上一点，满足而+的+定=2而.若

=1,则.

【答案】;

【解析】

【详解】

设O为原点.则（万-万）+（而-丽）+（反-加卜西+PB+PC

=2丽=2（丽-砺）.

即3（砺-而）=而_说.

故3而=说.

得PA||8C,且BC=3PA

所以.；5&皿.=g-

故答案为:

13.（2019•全国高三竞赛）在AABC中，已知|祠=2,.@=3,|南［=4,设0为4

ABC的内心，且AO=AAii+piic.^A入+□=.

【答案】三

【解析】

【详解】

设AO与BC交于点D.

由角平分线定理知照=会='.

DCAC3

于是，AB=|XS+|AC.

..AOABACABAC5

又7---=——=——=——+——=一,则nil

ODRDCDBDCD4

c19__

AO=-AD=-AB^^AC

939

=；4耳+：（人月+8C）

99

因此,―武7.

故答案吗

14.（2021•全国•高三竞赛）已知向量％=（cosa,$ina）.5=（如,则12万+5|的最大

值是

【答案】5

【解析】

【详解】

121+/；142Ml+15区2+3=5，当tana=正时等号成V.

2

故答案为：5.

15.（2019・全国•高三竞赛）在正四面体A8c。中，设:不后=,AQ,CF=-CD,记瓦

44

和所成的角为。.则cos0=.

4

【答案】飞

【解析】

【详解】

设正四面体棱长为4.则

BFDE=（BC+CF）（DA+AE）=CFDA+BCAE=2x4co^=-4,而

阱阮4

\BF\\DE\=~^

16.（2019.全国询三竞赛）如图，已知G是"8。的重心,若尸。过点全，且

OA=ti.OH=h.OP=mil.OQ=nb.!/l!|—+-=.

mn

【答案】3

【解析】

【详解】

由OA/=3£+〃），可知06=1。彳［（£+/；）,由〃、G、Q:点共线有同=2G。.

而PG二OG-OP=^-（6/+/；）-ma=-m）a+,

G0=O0-0G=nb—（〃+〃）=—a+（/?—）/?,

因为■力小共线,所以♦

解得3/〃〃=〃?+〃.故一+—=3.

mn

故答案为3

17.（202卜仝国•高三竞赛）△ABC中,A.B、C的对边分别为a、b、c,。是△A8C的

外心，点P满足丽=。河+丽+南，若B=三,且所.而=4,则AABC的面枳为

【答案】2G

【解析】

【分析】

【详解】

\\\op=bA+6ii+（）c<得。/一次=丽+阮，AP^OH+OC

注意到（歹分+反）.L万仁，所以八户JL8C.

同理，而J.〃，所以。是AABC的垂心，

BP-liC=（丽+而）•K'=BAliC.

所以“cco$8=4,cic=8.

所以S&wc=；orsinB=2G.

故答案为：2G.

18.（2021・全国•高三竞赛）己知平面单位向量a6、&.1且不+5+5=0，记

y=|.r-H|+|.v-fe|+|.f-c|,则y的最大值为.

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

单位向吊:不、^^满足万+6+5=0,则有@5）=（/词*加与，不妨设四个向最

如图所示，分别为豕丽灰永，X在单位圆。的/I"上.设I欣仁"用为三上〃，

则有〃/+，/+mn=3，

C

故有。〃+〃/=3+mn<3+,即有m+/z<2.

4

故），=|工一4|十|£—6|+1£-臼=/n+H+|f-c|<2+2=4.

故答案为：4.

19.（2021•全国•高三竞赛）已知点A满足l（5X|=；，B、C是单位圆。上的任意两点,

则/方C的取值范围是

【答案】

o

【解析】

【分析】

【详解】

AC-fiC=(OC-OA)\OC-OB)=OC2+^[[OA+OB-OC)'-

0/_0]_0n=：6+酒_1

又04]。4+6国。A|+|C©K；+2=|,取等可以保证，

故所求范围为.

O

故答案为：[-^3.

O

20.(2020•浙江.高三竞赛)已知九B为非零向昂:，且问=尸+4=1,则悔+耳+忖的

最大值为

【答案】272.

【解析】

【详解】

解法一设＜5=(⑷,分=(cos6-l,sin6),则

12“+@+忖=J(cosJ+l).+sin29+J(cosg-1)2+sin?6=2

解法二端力，则｛鬻丁，w

枚答案为：2五

21.(2021•全国•高三竞赛〉己知两个非零向量而万满足阿=2,何+2同=2,则

|2而+臼+科的最大值是____.

【答案】M

3

【解析】

【分析】

【详解】

/>;=(2,•),m+2n=(2cosA\2sinA),JliJ/i=(cos.r-l,sin.r).；,：

I2/H+H|+|77|=^/（COSA+3）2+sin2.v+^/（cos.v-1）2+sin2x

=V10+6cos.v+V2-2cosx

=^2cosr+J2-2co$.r

<J（3+l）^-y+2cos.v+2-2cos.v^

———.

当且仅当史+2COSX=3（2-2COSX）,即cosx=!时，等'，；成立.即展大信为述.

333

故答案为：随.

3

22.（2021・全国•高三竟赛）设尸是AA8c所在平面内一点，满足

PA+Pli+PC=3A（i,若△2/、（?的面积为1,则的面积为

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

因为PZ+P/i+PC=3而，所以34+八月+芯=346，

即3方=2Ag-ZC=2（Ag-L正）.

2

记AC的，11点为M,于是PA=-MB,

3

因此S,A8=S：=gS/、c=；.

故答案为：

23.（2021•全国高三竞赛）已知A、B、。为AA8c三内角，向量

I=（cosd^,6sinW^｝区|=忘.如果当C最大时，存在动点M,使得

UUIT

I循卜I罚I、I漏成等差数列，则⑥最大值为_________.

\AB\

【答案】26+应

4

【解析】

【分析】

【详解】

2—_g+3sin?人+@=2+-COS(A-B)——COS(A+B)=

|夜|=近u>cos2

2222

<=>cos(A-B)3cos(A+8)<=>2sinAsinB=cosAcosBotanAtanB—,

2

tanC=-tan(A+B)="+皿】B=一2(t“nA+tanB)<-4\/tanAlanB=-20.

tanAtanB-1

等号成立仅.当tanA=tanB=.

2

令|"|=2c,因|而|十|后再|=4c.所以M是椭圆工>=1上的动点.

4ca3c2

故点C0.-^-「,设.则:

2

IMC|22y?+y-y/2cy4-y=+?»

-2

Iy|<JJc.

当y=-限时，IMClL=—^^-c\\MC|,n„=雪

即鼠2舟血

~~4

2^+72

故答案为:

4

3

24.（202【•全国高三竞赛）如图，在“8c中，A8=2,AC=5,co$NC46=是边

BC上一点,且庚5=20C.若点〃满足8户与通共线，PALPC，则空的值为

I人。1

【解析】

【分析】

【详解】

因为&万=25七:.所以耳。一人否=2（46；—4。），即方力.

因为所与而共线，所以存在实数4，使得8A=义而i.

因为A£j=lA2j+2AC.所以8户=4A8+4ZC.

3333

fWnPA=PB+BA=-^AB-^-AC-AB=-^+l^AB--AC

PC=PA+^C=-|y+1MB+I1-yIAC,

所以丽配=（»游+（g+i）（竽.府-那号w：

3

因为4B=2,AC=5,cos/048=二.

5

..、,2

所以48，=4/。-=25］瓦XC=2x5xw=6,

所以两前=停+1）x4+（（+娉7卜6一和号卜25

=—A2-8Z-2.

9

因为7_L正,所以期浅=0,即学矛-82-2=0,解得人=』或2=-工

9416

因此尊=ui=3或白.

\AD\416

故答案为：：3或弓3.

416

25.（2021・全国•高三竞赛）若平面向量以6、"+/；的模均在区间［2,4］内，则必日的取

值范围是^

【答案】［-144］

【解析】

【分析】

【详解】

_("+6)2-l"F-lW7-甲-万

«n=----------------->=-14.

22

等号成立当_Q仅当mi=i51=4,m+方।=2时成立.

取边长为4、4、2的等腰AOA8,其中八8=2.

令砺=".百5=9即可.

P..r(«+A)2-(«-/?/42

乂a.b=----------------------§­=4.

44

取a=b—(2,0),等*J成立.

故答案为：[74,4].

26.(20以广西•高三竞赛)己知点，(一2,5)在胴C:.v2+)J-2*-2y+F=0上，直线

/：3x+4.r+8=0与圆C相交于A、8两点，则A38J?=

【答案】-32

【解析】

【详解】

山已知求得圆C：U—1)-+(y-D2=5-到囱线/的距离为3,

从而|BC|=5,|AlJ|=8.cOsNA8C=—.

所以AB-BC=\AB\\BC\cos(乃-ZABC)=-32.

故答案为：-32.

27.(2019•甘肃•高三竞赛)△八8c的三边分别为“、b、c,点•为△A8C的外心,已知

UL11UUU一

/r-2/?+c2=0,那么8c-A•的取值范围是_____________

【答案】H、2J

【解析】

【详解】

延长AC)交△八8c的外接圆于1),曲创

BCAO=AOAC-AdAB=^A[)^

XC--AOAti

2

=5(Z

因为。=一/+2〃>0.所以〃£(0,2).故而•标

故答案为：f--,2

28.（2019・四川高三竞赛）设正六边形人8CQ"的边K为L则

（而+/元）（他函=

【答案】-3

【解析】

【详解】

如图所示.建立平面一角坐标

于是通+反=（i.o）+R当=仅当,

I22JI22J

而+麻=(1.-6)+(-1,-肉=(0,-2我.

于是（丽+瓦j♦（而+品'）(0,-2而=-3.

故答案为：-3.

29.（2019・重庆・高三竞赛）己知向量：76］满足|<":|向：|，：|=|：*：36€/+）,且6-。=

2（c-b）.若a为6,1的夹角，piijcosa=.

【答案】$

【解析】

【详解】

因为6-d=2（1-万），所以6所以/?=［石2+9炉+g,7£.

1A

因为|训二|万|:|日=1:h3,所以产=—+4+-COS6ZG（2.6）.

又因为4EZ-所以人=2,所以cosa=-'■.

12

1

故答窠为:

一大

30.（2018山东•高三竞赛）在“8C中，ZHAC=6O°,zTMC的平分线A力交8c于

D,且有4方=1从e+/4月.若A8=8,则A£>=

4

【答案】6外

【解析】

【详解】

过点。作/）£||A8交AC于点E,。/IIAC交A"于点F,

由题设力力二上入^+/月二荏+耳^^所以入巨二,/，AE=-EC.AF=tAB.

443

因此誓=：=尝=萼=喋,所以AC=24,FA=3BF=^-AB.因由=1.

EC3CDFAAC44

所以|也『二：R+：同一/福）.（；前+?而]

=—|Ac|"+—|4fl|2+—ACAB=108.

I611161116

由此捏A£）=6jL

31.（2018•河北•高三竞赛）设点•为三角形ABC内一点，且满足关系式：

q+29+3S

*\AOBt4乙〃0《'°AC<M_

C---------

【答案】口

6

【解析】

【详解】

^fOA+2OB+3OC=3Afl+2«C+CAft>J3OA+OB+2OC=0.

（OA+OB）+2（OA+OC）=0.

设M、N分别是AB、AC的中点，W*]OM=-2ON.

设AABC的面枳为S,由几何关系知5,«>c=gs，$,心〃=$$,SsAa=：S，

6

所以'乂*+2S、BOC+3s3中=11

3X6,

32.（2018•全国•高三竞赛）在等腰AABC中，已知AC=8C=小，点D、E.F分别

25

在边AB、BC、CA上，且AD=DB=EF=1.若力发汴4天，则乔明的取值范围是

16

4

【答案】

_**-

【解析】

【详解】

以D为原点、射线DB和DC分别为x和y轴正：方向建立平•面自用坐标系.则

A(-1,O),B(1,O),C(0,2).

设点E(.v,,)'J,广(.q,4)，其中，,V)=-2A-+2.v2=2.r,+2.

="；+£)=..

设线段EF的中点为M体,%).则_#+力.

.、一/=2----^=2-y0.

由EF=I,得1%)2+(2-.\"=1.①

故(-4.%)'=1-(2-.%)220nlM同43.②

又。区"广=；[(0弓+0户)2-(庞+OF)?=DM'-EF2=DM2

>SA，'2/29'>,»29

nDM<—=>X^+y--TT-

loIo

29X4

将式①代入式③，消去%，整理得15寸-4)，；-324孑=一?4.%4；.④

Io53

4

综合式②、④得14.％4二.

3

丁是，~-A1—A，：-1.

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