数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧1.公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式.(2)掌握一些常见的数列的前n项和.①1+2+3+…+n=

;②1+3+5+…+(2n-1)=

;③2+4+6+…+2n=

;n(n+1)

【知识梳理】 数列求和的常用方法n2

2.分组求和法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.3.倒序相加法如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如

数列的前n项和公式即是用此法推导的.等差

4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如

数列的前n项和公式就是用此法推导的.等比5.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.【例1】已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn,求Sn.解:依题意得提示：数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和.方法总结：an=bn±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组求和法求{an}的前n项和.针对训练（1）（2）【例2】已知等差数列{an}和正项等比数列{bn},a1=b1=1,a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=2an ,求数列{cn}的前n项和Tn;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题设知a3+a5+a7=9,所以a7=4.所以3a5=9.所以a5=3.已知在数列{an}中,a1=3,点(an,an+1)在直线y=x+2上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和Tn.针对训练（1）（2）【例3】已知等差数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.(1)求数列{an}和{bn}的通项;(2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由S4+a2=2S3,得4a1+6d+a1+d=6a1+6d,即a1=d=2,则an=a1+(n-1)d=2n.又因为b1=a2=4，b2=a4=8.则等比数列{bn}的公比q=2,所以bn=4×2n-1=2n+1.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 的前n项和Tn.针对训练（1）（2）方法提炼1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.2.一般情况如下,若{an}是等差数列,则 =  , = 

 .此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和.3.常见的拆项公式有:课堂小结6.并项求和法:将相邻几项合并为一项求和；4.错位相减法:对等比数列与等差数列组合数列求和；3.倒序相加法:对前后项有对称性的数列求和；2.分组求和法：