一轮复习人教A版2.2基本不等式（十年高考）作业

基本不等式及不等式的应用考点一基本不等式及其应用1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b)),A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C由题意得p=lnab,q=lna+b2,r=12(lna+lnb)=lnab=p,∵0<a<b,∴a+b2>ab,∴2.(2015福建理,5,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(答案C因为直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+23.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为(A.22答案C依题意知a>0,b>0,则1a+2b≥22ab=22ab,当且仅当1a=2b,即b=2a时,“=”成立.因为1a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥4.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb-3,∴a+b=b+4bb-3=b+4(b-3)+12b-3=(b-3)+12b-35.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()元元元元答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.6.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤(x+y)24,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2=14(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤x2+y22得1=x2+y2-xy≥x2+y2-x2+y22,即x2+y27.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥122a+log2b≥-2D.a答案ABD∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤a+对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2a-122+12≥12,当且仅当a=对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴12<22a-1<2,∴2a-b>12成立,B对于C选项,∵0<ab≤14,a>0,b>0∴log2a+log2b=log2(ab)≤log214=-2,C不正确对于D选项,∵(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,∴a+8.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=12∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c当且仅当ca=4ac,即a=32,c=3一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa+∴1=(ac)2(a+c)∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4a一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三点共线,∴AD∥DC,∴1-c2-3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4a9.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为答案8解析由题设可得1a+2b=1,∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba+4ab故2a+b的最小值为8.10.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.

答案32解析解法一:令t=a+1+b则t2=(a+1+b+3)2=a+1+b+3+2a+1·当且仅当a+1=b即a=72,b=32时,即t的最大值为32.解法二:设a+1=m,b+3=n,则m,n因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,所以m+n≤2·m2所以a+1+b+3≤2·a+1+当且仅当a+1=b即a=72,b=32时,“=”成立,所以所求最大值为3考点二应用基本不等式求解最值(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y答案9解析本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力.(x+1)(2y+1)xy=2∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时1xy≥1