专题19函数的基本性质（原卷版）

专题19函数的基本性质【知识点梳理】知识点一：函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为A，区间如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域A内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f（x）在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数f（x）的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性．（2）已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．6、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．7、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二：基本初等函数的单调性1、正比例函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三：函数的最大值（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得．那么，称M是函数的最大值．（2）几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标．知识点四：函数的最小值（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得．那么，称M是函数的最小值．（2）几何意义：函数的最小值是图象最低点的纵坐标．知识点五：函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点六：判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点七：关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间和上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间和上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是减函数（增函数）．【题型归纳目录】题型一：函数单调区间的确定题型二：复合函数的单调性题型三：函数与抽象函数单调性的证明题型四：利用函数单调性求最值、求参数题型五：二次函数的最值（含参数与不含参数）题型六：函数奇偶性的判定题型七：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数题型八：函数单调性与奇偶性的综合问题题型九：恒成立与有解问题题型十：函数图像的识别【典例例题】题型一：函数单调区间的确定例1．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）例2．（2023·高一课时练习）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A． B．和C． D．和例3．（2023·高一校考开学考试）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．变式1．（2023·新疆喀什·高一校考期末）函数，的单调减区间为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·广东深圳·高一深圳市宝安中学（集团）校考期中）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．题型二：复合函数的单调性例4．（2023·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．例5．（2023·云南红河·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．例6．（2023·天津·高一静海一中校联考期中）函数的单调增区间为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·四川巴中·高一统考期中）的单调增区间为（

）A． B． C． D．变式4．（2023·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．题型三：函数与抽象函数单调性的证明例7．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知函数，，满足条件，.(1)求的解析式；(2)用单调性的定义证明在上的单调性，并求在上的最值.例8．（2023·高一课时练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式．例9．（2023·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）若非零函数对任意实数a，b，均有，且当时，．(1)求的值．(2)求证：①任意，．②为减函数．(3)当时，解不等式．(4)若，求在上的最大值和最小值．变式5．（2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)判断函数在的单调性，并用定义证明.(2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.变式6．（2023·河南漯河·高一校考期末）已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，．(1)求的值；(2)判断的单调性，并说明理由；(3)若，解不等式．变式7．（2023·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）定义在的函数，满足，且当时，.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并说明理由；(3)若，解不等式.变式8．（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）已知函数，且.(1)求实数m的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的最值.变式9．（2023·云南昆明·高一统考期末）已知函数的定义域为，且对，，都有．(1)求，并证明：；(2)若当，有，给出两个论断：①当时，；②在上单调递增；请选择其中一个证明．变式10．（2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）已知函数，且．(1)求的值；(2)证明函数在区间上是减函数，并指出在上的单调性；(3)若对，总有成立，求实数的取值范围．变式11．（2023·河南信阳·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.(1)求证：；(2)证明：在上为减函数；(3)若，求实数的值.题型四：利用函数单调性求最值、求参数例10．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（）A． B．2，5 C．1，2 D．例11．（2023·云南普洱·高一校考阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．以上都不对例12．（2023·河南信阳·高一校考阶段练习）函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．变式12．（2023·高一单元测试）已知，设，则函数的最小值是（

）A．－2 B．－1 C．2 D．3变式13．（2023·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，函数，则此函数的最小值是（

）A． B． C． D．不存在变式14．（2023·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．变式15．（2023·高一课时练习）设函数是上的减函数，则有（

）A． B． C． D．变式16．（2023·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考开学考试）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．变式17．（2023·广东梅州·高一校考期中）已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．变式18．（2023·四川广安·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．变式19．（2023·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知为增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式20．（2023·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(

)A． B． C． D．变式21．（2023·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式22．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式23．（2023·天津红桥·高一统考期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（

）．A． B．C．或 D．或题型五：二次函数的最值（含参数与不含参数）例13．（2023·云南昆明·高一统考期末）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．(1)求函数的表达式；(2)设，求函数在区间上的最小值．例14．（2023·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知二次函数满足，且(1)求函数的解析式.(2)当时，求函数的最大值（用表示）例15．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；(2)当时，求的最小值．变式24．（2023·四川巴中·高一校考期中）已知，为常数，且，，，方程有两个相等实根．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的值域．变式25．（2023·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．(1)求函数的解析式；(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．变式26．（2023·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知函数．(1)当时，解不等式<0；(2)当时，求函数在区间上的值域；(3)若不等式≥-6恒成立，求实数a的取值范围.变式27．（2023·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为.(1)求的解析式；(2)已知，讨论在上的最小值；(3)当时，恒成立，求k的取值范围.变式28．（2023·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；(2)若，求函数的最小值.题型六：函数奇偶性的判定例16．（多选题）（2023·云南普洱·高一校考阶段练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是偶函数例17．（多选题）（2023·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（

）A． B．C． D．例18．（多选题）（2023·高一单元测试）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数变式29．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）下列函数是奇函数的是（

）A．B．C．D．变式30．（2023·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).变式31．（2023·高一课时练习）已知函数，证明是定义域上的奇函数；变式32．（2023·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数的定义域为，且对任意x，，都有；(1)求的值；(2)判断的奇偶性并证明你的结论：(3)若时，，求证：在单调递减.变式33．（2023·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期中）已知函数，点是图象上的两点.(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性，并用奇偶性概念加以证明；(3)用函数单调性定义证明：函数在上为增函数.题型七：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数例19．（2023·全国·高一专题练习）已知为偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．例20．（2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）A． B．C． D．例21．（2023·江西赣州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（

）A．1 B．3 C． D．变式34．（2023·河南许昌·高一校考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（

）A． B． C． D．变式35．（2023·高一校考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=（

）A． B． C． D．变式36．（2023·安徽·高一芜湖一中校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．变式37．（2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，（

）A． B．C． D．变式38．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．变式39．（2023·高一单元测试）已知函数是上奇函数，则（

）A．4 B．3C．2 D．1变式40．（2023·高一课时练习）若函数是偶函数，则、的值是（

）A． B．不能确定，C．，不能确定 D．变式41．（2023·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2变式42．（2023·江西抚州·高一统考期末）已知是定义域为的偶函数，则（

）．A．0 B． C． D．题型八：函数单调性与奇偶性的综合问题例22．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．例23．（2023·江苏扬州·高一统考期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．例24．（2023·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（

）A． B． C． D．变式43．（2023·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．变式44．（2023·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（

）A． B．C． D．变式45．（2023·高一课时练习）已知，则等于（

）A．8 B． C． D．10变式46．（2023·云南昆明·高一统考期末）已知函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则（）A．0 B．1 C．2 D．4题型九：恒成立与有解问题例25．（2023·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式.(2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围.例26．（2023·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数．(1)若，判断的奇偶性（不用证明）．(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值．(3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．例27．（2023·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，且.(1)求在区间上的最小值；(2)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.变式47．（2023·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.(1)求，的值；(2)判断的单调性（不需要写证明过程）；(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.变式48．（2023·广东清远·高一统考期末）已知是定义在R上的奇函数，其中，且.(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.变式49．（2023·广东揭阳·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，其中、，且.(1)求、的值；(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.题型十：函数图像的识别例28．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（

）A．B．C．D．例29．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）函数的图像简图可能是（

）A． B．C． D．例30．（2023·江苏扬州·高一期末）的图象大致是（

）A．B．C． D．变式50．（2023·陕西安康·高一统考期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．变式51．（2023·陕西渭南·高一校考期中）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．变式52．（2023·山西大同·高一统考期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【过关测试】一、单选题1．（2023·高一课时练习）在下列函数中：①，②，③，④，在上为增函数的有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④2．（2023·高一课时练习）已知函数在上是递减函数，且，则有（

）A． B．C． D．3．（2023·高一课时练习）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·高一课时练习）关于函数的单调性的说法，正确的是（

）A．在定义域内是减函数B．在上单调递减，在上单调递增C．在上单调递减，在上单调递减D．在上单调递增，在上单调递减5．（2023·高一课时练习）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数6．（2023·高一课时练习）己知是定义在上的奇函数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数8．（2023·河北保定·高一保定一中校考期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中．有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A．