广东省惠州市惠东县2022-2023学年九年级上学期数学核心素养评测（复评）（含答案解析）

广东省惠州市惠东县2022-2023学年九年级上学期数学核心

素养评测(复评)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.x+2y=lB.y2+x=\C.3x+—=4D.r-2=O

x

2.下列图形中，为中心对称图形的是()

c®

3.下列抛物线中，其顶点是抛物线的最高点的是()

1

A.y=x2B.y=—x9+1C.y=-5+x2D.y=-x2-1

2

4.将y=2/先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是()

A.y=2(x+2)2—3B.y=2(x+3)?+2C.y=2(x-2)2+3

D.y=2(x-3)2+2

5.在平面直角坐标系中，点P(T,-2)关于原点对称的点的坐标是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-2,-1)

6.对于二次函数y=(x-2y+l的图象，下列说法正确的是()

A.对称轴是直线x=-2B,开口向下

C.与x轴有两个交点D.顶点坐标(2,1)

7.己知A8C的三边长为a,b,c,且满足方程序/一(c2/242)x+〃=0,则方程根的

情况是(),

A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D.不能确定

8.二次函数y=-4(x-2)2-5的顶点坐标是()

A.（-2,5）B.（2,5）C.（-2,-5）D.（2,-5）

9.如图，点A、8分别在x轴、y轴上以AB为直径的圆经过原点O,C

是AOB的中点，连结AC,BC.下列结论：①NACB=90。；②AC=3C；③若。4=4,

OB=2,贝IJ他C的面积等于5；④若04-08=4,则点C的坐标是（2,-2）,其中正

确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.已知二次函数丫=以2+必+。（。工0）图象的对称轴为直线犬=-1,部分图象如图所示,

下列结论中：①"c>0；②4ac>0;③4a+c>0；④若f为任意实数，则有

a-bt<at2+b;⑤为图象经过点时，方程or?+6x+c-2=0的两根为

%,毛（不<赴），则为+2々=-2,其中正确的结论有（）

A.①②③B.②③⑤C.②③④D.②③④

二、填空题

11.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平

均一个人传染了个人.

12.抛物线y=炉-5x+2与），轴的交点坐标是.

13.如图所示，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，且代为半圆的g,设扇形AOC、

△COB、弓形BMC的面积分别为S1、S2、S3,则S1,S2.S3的大小关系式是.

试卷第2页，共6页

ni

c

S3

/S；'V

AOB

14.抛物线y=；x2+gx的图象如图所示，点4,A2,AJ,4…，4期在抛物线第一象

限的图象上，点MB2,Bj,B4..,B2022在y轴的正半轴上，0AB|、BtA2B2>....

-B2⑼4m不叱都是等腰直角三角形，则4⑼人侬=_______.

4

0x

15.如图，正方形A5CQ的边长为8,尸是边CD上的一动点,EFLBP交BP于G,且

EF平分正方形A8CD的面积，则线段GC的最小值是一.

AB

二

DPC

三、解答题

16.解方程;

(1)2X2-5X-3=0；

(2)(A-1)2-4=0.

17.已知二次函数图像的最高点是A(l,4),且经过点8(0,3),与x轴交于C、。两点(点

C在点。的左侧).

(1)求二次函数的解析式.

(2)求4BCD的面积.

18.如图，在平面直角坐标系中，A8C的三个顶点都在格点上，点A的坐标(1,3),请

解答下列问题：

(1)画出二ABC关于原点对称的△AB。，并写出点B的坐标;

(2)画出/BC绕原点。逆时针旋转90。后得到的△4&G,并写出点C?的坐标.

19.2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举

行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩

<一、

(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂

平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月

生产量增长率是多少？

(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过

10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰

墩墩”应降价多少元？

20.如图，A8是。。的直径，C为。。上一点，连接AC,BC.平分/BAC,点

。在。。上，连接0。，交BC于点E.

试卷第4页，共6页

(1)若NABC=30。，AC=2,求A£)的长；

(2)求证：AC=2QE.

21.如图，在正方形ABC。中，P是对角线AC上的一个动点(不与点A.C重合)，连

接8P,将如绕点B顺时针旋转90。到时,连接QP交BC于点E,QP延长线与边相＞

(2)若正方形的边长为4,且PC=3AP,求线段AP的长.

22.如图，AB是。O的直径，点P在。。上，且以=尸8,点M是。。外一点，MB与

。。相切于点8,连接OM,过点A作AC/OM交。。于点C,连接BC交于点£).

(2)若48=20,8c=16,连接PC,求PC的长；

(3)试探究AC、BC与PC之间的数量关系，并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-/+笈+。的图象与x轴交于A、B两

点，与轴交于C(0,3),4点在原点的左侧，8点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个

动点，且在直线8c的上方.

(1)求这个二次函数及直线8c的表达式.

(2)过点P作PE垂直于BC交直线BC于点E,求PE的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N,使MV。为等腰直角三

角形，且NNMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若

不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

A.x+2），=l是二元一次方程，与题意不符；

B.丁+犬=1是二元二次方程，与题意不符；

C.3x+」=4是分式方程，与题意不符；

X

D.V-2=0是一元二次方程，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.

2.B

【分析】将一个图形沿着某一点旋转180。后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根

据定义判断.

【详解】解：A、不符合定义，故该选项不符合题意；

B、符合定义，故该选项符合题意；

C、不符合定义，故该选项不符合题意；

D、不符合定义，故该选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了中心对称图形的定义，熟记定义是解题的关键.

3.D

【分析】由“>0,抛物线有最低点，由a<0,抛物线有最高点，从而可得答案.

【详解】解：y=V的顶点坐标是抛物线的最低点，故A不符合题意；

y=^+\的顶点坐标是抛物线的最低点，故B不符合题意；

y=-5+x2的顶点坐标是抛物线的最低点，故C不符合题意；

丫=---1的顶点坐标是抛物线的最高点，故D符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点坐标及

图象的最高点与最低点'’是解本题的关键.

答案第1页，共19页

4.B

【分析】根据二次函数图像的平移：上加下减，左加右减，即可得.

【详解】解：将y=2/先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是：

y=2(x+3)2+2,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，解题的关键是掌握上加下减，左加右减.

5.C

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(4，-y),然后

直接作答即可.

【详解】解：根据题意知：点P(T,-2)关于原点对称的点的坐标为(1,2).

故选：C.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标，是需要熟记的基本问题，关键是掌握关于原点

对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数.

6.D

【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与x轴交点个数，则可得

出答案.

【详解】解：：y=(x-2)2+l,

•••抛物线开口向上，顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2,

:.A、B不正确，D正确，

•••抛物线开口向上，最小值为1,

.••抛物线与x轴没有交点，

•••C不正确，

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

7.C

【详解】解：b,c为△ABC的三边长，

：.a2/0.

/.△=(。2・〃2»2)2・4。2•力2,

答案第2页，共19页

=(c2-a2-b2-2ab)(.c^-a2-b2+2ab),

-{c2-(a+b)^[c2-(.a-b')2],

=(c-a-b)(c+a+b)Cc+a-b)(c-a+h),

又•.•三角形任意两边之和大于第三边，

所以△<(),则原方程没有实数根.

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程以2+bx+c=0(分0,a,b,c为常数)根的判别式.当小

>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有

实数根.同时考查了因式分解和三角形的三边关系.

8.D

【分析】根据顶点式>=-4(X-2)2-5,即可得.

【详解】解：二次函数y=-4(x-2)2-5的顶点坐标是(2,-5),

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质.

9.A

【分析】根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出A8,根据等腰直角

三角形的性质可判断③，作CZJLx轴于。，CEJ.y轴于E,通过构造全等三角形

VACD^VBCE,可判断④.

【详解】解：4?是直径，

:.ZACB=90°,故①符合题意；

C是AOB中点，

AC=BC,故②符合题意；

AB2=(冶+OA2=22+42,

AB=26，

是等腰直角三角形，

AC=BC=—AB=s/\O,

2

，AC8的面积为强二=5,故③符合题意；

2

作C£)_Lx轴于。，CE_Ly轴于E,

答案第3页，共19页

ZBCE+/BCD=ZACD+ZBCD=9（r,

:./BCE=NACD,

AC=BC,

:NACD^IBCE,

;.CD=CE,AD=BE,

「.OECD是正方形，

设正方形的边长为〃，

:.OA-a=OB+a,

.\2a=OA-OB=4f

..Q=2,

•・•点C坐标为：（2,-2）,故④符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查圆的有关知识及三角形全等，关键是综合运用几何知识点.

10.C

【分析】利用抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线的对称轴方程得到6=2〃>0,利用抛

物线与y轴的交点位置得到c<o,则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②

进行判断；利用x=l时得到a+Kc>0,把b=2a代入得至Ij3a+c>o,然后利用。〉0可对

③进行判断；利用二次函数当户-1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数

y=ar2+fox+c与直线y=2的一个交点为,利用对称性得到二次函数y=ox?+/?x+c与

直线y=2的另一个交点为，22），从而得到玉=-|，9=；，则可对⑤进行判断.

【详解】解：抛物线开口向上，

«>0,

抛物线的对称轴为直线户-1,

答案第4页，共19页

即-3=-1,

2a

:.h=2a>0,

抛物线与y轴的交点在x轴下方，

c<0,

abc<0.所以①错误；

•..抛物线与x轴交于两点，

**-b2-4ac>0

故②正确；

.“=1时，y>o,

：.a+b+c>0,

而b=2a,

.,.3tz+c>0,

a>0f

.\4a+c>0,

所以③正确；

•.•抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,

当x=-i时，y有最小值，

a-6+c4a产+4+c（f为任意实数），

即a-bt<at2+b>

所以④正确；

图象经过点（万,2）时，方程ar?+Z?x+c-2=0的两根为方,工2（百<x2）•

.,.二次函数y=o?+a+c与直线y=2的一个交点为,

抛物线的对称轴为直线4-1，

+法+C与直线y=2的另一个交点为卜g,2）,

，二次函数y=or2

即玉=_1，*2=5,

.­.X]+2X2=-|+2X|=-|,所以⑤错误.

，正确的有②③④.

答案第5页，共19页

故选：c.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数“决定抛物线的开口方向和大

小.当时，抛物线向上开口；当。<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系

数。共同决定对称轴的位置：当。与b同号时，对称轴在y轴左；当。与b异号时，对称轴

在y轴右.常数项。决定抛物线与y轴交点：抛物线与>轴交于（（）©.利用图象法求相关不

等式解集，二次函数与方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.

11.12

【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流

感，列方程求解

【详解】解：设平均一人传染了x人，

x+l+（x+1）x=169

解得：x=12或x=-14（舍去）.

•••平均一人传染12人.

故答案为：12.

【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解.

12.（0,2）

【分析】把户0代入抛物线y=x2-5x+2,即得抛物线y=》2-5x+2与y轴的交点坐标.

【详解】解：由题意得，当户0时，抛物线y=/-5x+2与V轴相交，

把xR代入y=》2-5x+2,得）=2,

.••抛物线y=f-5x+2与y轴的交点坐标为（0,2）,

故答案为：（0,2）.

【点睛】本题考查了二次函数，求抛物线与丫轴的交点坐标，令户0代入抛物线是解题的关

键.

13.S2<S1<S3

【分析】首先根据^AOC的面积=ZiBOC的面积，得S2<S|.再根据题意，知S1占半圆面积

的所以S3大于半圆面积的;.

【详解】根据AAOC的面积=4BOC的面积，得S2<SI（再根据题意，知S1占半圆面积的g,

答案第6页，共19页

所以S3大于半圆面积的

故答案为：S2<S1<S3.

【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.

14.2022正

【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为先表示出点A/的坐标，代入二次函数的

解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为〃?，表示出A2的坐标，代入二次函

数的解析式，求出相，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边.

【详解】解：设

VAOA/B/是等腰直角三角形，

OBi=x,

则4的坐标为G,x）,代入二次函数产々9+4达

得k57+呆，

解得%=1或尸0（舍），

设A282TH,

・・・/XB/A2B2腰是等腰直角三角形，

•♦•Az的坐标为（相，1+m）,

代入二次函数产

得gw2+^m=1+m,

解得机=2或机=-1（舍），

同理可求出AJBJ=3,

AyB«=4,

.♦•8202加。22=2022,根据勾股定理，

得B2021A2022-2022正，

故答案为：2022a.

【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的

点坐标特征是解决本题的关键.

15.2>/10-2>/2##-272+2Vf0

答案第7页，共19页

【分析】连接BD,交EF于点0,根据勾股定理，得到30的长；EF平分正方形ABC。的

面积，得到点。是正方形的中心，求得0B的长；以0B为直径作,M,连接CM,则点G

在CM与的交点处时，CG的值最小；在肋BMN和RfCMN中，利用锐角三角函数和

勾股定理即可求解线段GC的最小值.

【详解】解：正方形ABCD中，8c=8=8,ZABC=ZBCD=90°,连接BD,交EF于点O,

如图所示：

则ZABD=4CBD=-ZABC=1x90°=45°,

22

在RtZXBCD中，由勾股定理，得：BDABC'CD2MJG+G=8夜,

平分正方形488的面积，

.♦.EF一定经过正方形得中心，即点。是正方形的中心，

Z.OB=OD=-BD=-xSy/2=4>/2,

22

•:EFLBP交BP于G,

：.NOGB=90。,

...以。8为直径作M,如上图，则点G在M上，BM=GM=LOB=、4丘=2五,

22

...连接CM,如上图，则点G在CM与M的交点处时，CG的值最小，

此时，MG=BM=2日

过点M作MNLBC于点N,如上图，则/BMW=NC7VM=90。，

在Rt.BMN中,BN=BM<osNCBD=2&a=2,

2

MN=BMsinZCBD=2y/2x—=2,

2

:.CN=BC-BN=8—2=6,

在RtCMN中,由勾股定理，得：CM=JCN?+MN?=五+2?=2回，

CG=CM-MG=2M-2垃,

答案第8页，共19页

即CG的最小值是2何-2立.

故答案为：2函-2&.

【点睛】本题综合性较强.涉及勾股定理、锐角三角函数以及正方形的性质.分析问题并作

出辅助线时本题解题的关键.

16.⑴%=3,X2=-g

(2)西=3,w=-1

【分析】(1)根据因式分解法解一元二次方程；

(2)根据因式分解法解一元二次方程.

【详解】⑴解：原方程化简，得：(x-3)(2x+l)=0

解得：匕=3,々=一3；

(2)解：原方程化简，得：(x-l-2)(x-l+2)=0

即：(x-3)(x+l)=0

解得：%,=3,x2=-1.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

17.(l)y=-x2+2x+3

(2)6

【分析】(1)设二次函数的解析为y=a(x-lY+4,再把点8的坐标代入解析式，即可求得；

(2)首先求得点C、。的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求得.

【详解】(1)解：设二次函数的解析为y="(x-l)2+4,

把点B的坐标代入解析式，

得“(0-1)2+4=3,

解得。=-1,

所以，y=—(x-+4=—X2+2.x+3；

(2)解：令)=0,则-丁+2》+3=0,

答案第9页，共19页

解得x=3或x=-l,

.•.c»=3-(-i)=4,

,"SaHC"=5x4x3=6.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析，求二次函数与x轴的交点问题，熟

练掌握和运用利用待定系数法求二次函数的解析是解决本题的关键.

18.⑴作图见解析，点4的坐标为(Y,-5)

(2)作图见解析，点G的坐标为(T，5)

【分析】(1)分别找出A、B、C三点关于原点的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出与

点坐标即可；

(2)将△ABC中的各点A、B、C绕原点。旋转90。后，得到相应的对应点&、C2,连

接各对应点即得4A/42,然后根据图形写出G点坐标即可.

【详解】(1)如图所示，△ARC即为所求，点用的坐标为(T,-5)；

(2)如图所示，△A283G即为所求，点C2的坐标为(-1,5).

【点睛】本题考查直角坐标系网格中的中心对称与旋转作图，掌握中心对称和旋转的性质是

解题的关键.

19.(1)该工厂平均每月生产量的增长率为20%

(2)每个“冰墩墩”应降价4元

答案第10页，共19页

【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为X,利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量

=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量X（1+该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得

出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40-y）元，平均每天可售出（20+5），）个，利用

该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润x平均每天的销售量，即可得出关于y

的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x,

依题意得：500（1+x）2=720,

解得：％=0.2=20%,々=-2.2（不符合题意，舍去）.

答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%.

（2）解：设每个“冰墩墩''降价》元，则每个盈利（40-〉）元，平均每天可售出

20+10x]=（20+5y）个，

依题意得：（40-y）（20+5y）=1440,

整理得：V-36y+128=0,

解得：,=4,%=32（不符合题意，舍去）.

答：每个“冰墩墩”应降价4元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

20.⑴2G

（2）证明见详解

【分析】（1）过点。作于点F,利用垂径定理可得AO=2AF,根据直径所对的圆周

角是直角可得486=90。，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得AB=2AC=4,进

而可得OA=1A8=2,然后利用角平分线的定义可得NC4D=ND4O=30。，从而在

RtAAOE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OF=1,AF=^>,进行计算即可解

答;

答案第II页，共19页

（2）利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AC〃03,然后利用平行线分线段成比

例可得BE=CE,从而利用三角形的中位线定理即可解答.

【详解】（1）解：如图所示，过点。作。尸，4）于点片

二AD=2AF,ZAF(9=90°,

•••AB是。的直径，

二ZBC4=90°,

VZABC^30°,AC=2,

，ABAC=90°-ZABC=60°,AB=2AC=4,

/.OA=—AB=2,

2

•・•AO平分NBA。，

・・・4CAD=ZDAO=-ZC4B=30°,

2

在々△AOE中，04=2,

AOF=^OA=lfAF=60F=6

AD=2AF=2y/3,

・・・AO的长为26；

(2)证明：・・・人。平分/84。,

・•・ZCAD=ZDAO,

♦：OA=OD,

：.ZADO=ZDAO,

：.ZADO=ZCADf

:.AC//OD,

,:OA=OB,

：.BE=CE,

答案第12页，共19页

，0E是ABC的中位线，

，AC=2OE.

【点睛】本题考查了垂经定理，圆周角推论，角平分线，等腰三角形性质，平行线分线段成

比例，三角形中位线，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点.

21.⑴见解析

⑵立

【分析】(1)由四边形A8CD是正方形可得，AB=BC,ZABC=90°,由图形旋转可得，

BP=BQ,NPBQ=90°,从而可证..APB三CQB,故AP=CQ；

(2)如图所示，由四边形A8CO是正方形可得，ZPAM=45°,故△丛”是等腰直角三角

形且=由勾股定理可得，AC=4后，故AP=血.

【详解】(1)由题意得：PB=QB,ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=90°,

四边形ABC。是正方形，

:.AB=BC,ZABC=ZABP+ZPBC=90°,

ZABP=NCBQ,

在zMPB与△CQB中，

AB=CB

"NABP=NCBQ,

BP=BQ

:...APB=jCQB,

AP=CQ.

(2)由(1)知：ZABC=90°,AB=CB,

在RtAABC中,AC=>IAB2+BC2=次+4=472，

QPC=3AP,

:.AC=AP+PC=AP+3AP=4AP=4y/2，

AP=42.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟

练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键.

22.(1)见解析

⑵14夜

答案第13页，共19页

(3)4C+BC=J5PC，理由见解析

【分析】(1)连接0C,证明△OCM四△OBM,从而得到NOC0=/O3M=9O°即可得证；

(2)过点A作AHLPC于点H,利用圆周角定理，和等腰三角形的性质和判定，以及勾股

定理分别求出CH,P",再利用PC=CW+P”进行计算即可；

(3)延长CB至点E,使得跖=AC,连接PE,证明名△P8E,推出PCE为等腰

直角三角形即可得证.

【详解】(1)证明：如图所示：连接。C,

:MB是。的切线，

ZOBM=90°,

•••AC//OM,

：.ZOAC=NBOM,ZACO=ZCOM,

'：OA^OC,

：.NQ4C=ZACO,

,ZBOM=ZCOM,

在；OCM与OBM中，

OC=OB

•ZCOM=NBOM,

OM=OM

：./\OCM且AOBM(SAS),

NOCM=NOBM=90°,

••.VC是：。的切线；

(2)解：..•AB是。的直径,

/.ZACB=ZAPB=90°,

答案第14页，共19页

AC=yJAB2-BC2=V202-162=12

,:PA=PB,ZAPS=90°

，_月记是等腰直角三角形，/PAB=ZPBA=45°

/y

:.PA=PB=—AB=1072,

2

过点A作AHJ.PC于点H,

又NPC4=NPBA=45。

AS是等腰直角三角形，

*'•AH=CH=—,—AC=6>/2

2

•*-PH=ylPA2-AH2="(10夜了-(6夜了=80，

:，PC=PH+CH=14&•

证明：延长CB至点E,使得5E=AC,连接PE,

则AC+BC=BE+BC=CE,

••,四边形AC3尸内接于：。，

NPAC=ZPBE,

在△尸AC和△P8E中，

PA=PB

-APAC=NPBE,

AC=BE

:.APAC义APBE(SAS),

AZAPC=ZBPE,PC=PE,

'：ZAPB=ZAPC+NCPB=90°,ZAPC=ZBPE,

：.NCPE=ZBPE+ACPB=90°,

答案第15页，共19页

又：PC=PE,

...PCE为等腰直角三角形,

二CE=血PC，

又：AC+BC=CE,

AC+BC=-j2PC-

【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用.熟练掌握圆中常见的等量关系，圆周角定理，切

线的判定和性质，以及通过添加辅助线构造三角形全等是解题的关键.题型的难度较大，在

中考中属于几何的压轴题.

23.(l)y=-x2+2x+3,y=-x+3

(2)^72

o

(3)(3-至或（厘等曲手-)或(3+VU1—)

2~~_2­，-2-

【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；

（2）过点尸作P。y轴交BC于点力，则是等腰直角三角形，即当最大时，PE最

大，设动点P的坐标为（x,-X2+2X+3）,则点。的坐标为（x,-x+3）,PD--x2+3x,

由二次函数的性质可得出答案：

（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1,设对称轴与x轴

交于点尸，过点N作NELMF于点、E,证明△MENg△。月W（AAS）,可得。尸=EM=1,设

点M坐标为（1,a）,可得NE=MF=a,则N（l-a,1+a）,把点N坐标代入二次函数解析

式求出〃的值，可得此时点N的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当

点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同

理可求点N的坐标.

【详解】（1）解：把点8,点C的坐标代入解析式yn-V+fcr+c中,

答案第16页，共19页

「-9+3什c=0

得：&，

[b=2

解得：QI

[c=3

，二次函数得表达式为y=-f+2x+3；

设8c的函数表达式为》="+仇，

0=3…

把点3,点。的坐标代入可得:

3=4

解得：AQ，

也=3

...直线8c的函数表达式为：