山东省德州市第四中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

山东省德州市第四中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“直线与函数的图象有且仅有一个交点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件参考答案：C2.记全集，集合，集合，则（

）A.[4,+∞) B.(1,4] C.[1,4) D.(1,4)参考答案：C【分析】求得集合或，，求得，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集，集合或，集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为

A

B.

C.

D.参考答案：C4.已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（

）A.9 B.8 C.7 D.6参考答案：D【分析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题5.已知实数x，y满足，则z=3x+4y-2的最大值为(

)A．8

B．6

C．5

D．1参考答案：A6.设向量),则是a∥b的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C7.如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．8.设是方程的两个根，则的值为（A）-3

（B）-1

（C）1

（D）3参考答案：A

因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.9.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】作出不等式表示的平面区域，整理得：，利用表示点与原点的连线斜率，即可求得，问题得解。【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：易知表示点与原点的连线斜率，当点在处时，取得最小值-3.且斜率小于直线的斜率-1，故，则，故.故选：B【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题。10.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(

)A．

B．

C．

D．16参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足，则的最小值为______.参考答案：－3【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为．

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．12.若不等式对任意的恒成立，则的最大值是

．参考答案：913.不等式的解集为

．参考答案：14.已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。参考答案：

解析：将代入得，则，而，得15.已知函数，且，则的值为_

．参考答案：16.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数，则的最小正周期是__________.参考答案：17.已知函数，若，，则函数的值域为_________．参考答案：由题意可得，解得，∴当时，，当时，，则函数的值域为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是.（1）求直线l的普通方程；（2）求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标.参考答案：解：(1)直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是，过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.

19.德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品的质量采用综合指标值进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：（1）估计该新型窑炉烧制的产品为二等品的概率；（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：

一等品二等品三等品销售率单件售价20元16元12元根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于6；②单件平均利润值不低于4元.若该新型窑炉烧制产品的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.参考答案：解法一：（1）记为事件“该新型窑炉烧制的产品为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为二等品的频率为，故事件的概率估计值为．（2）①先分析该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数．该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数的估计值，故满足认购条件①．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．故件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为件，件，件．一等品的销售总利润为元；二等品的销售总利润为元；三等品的销售总利润为元．……11分故件产品的单件平均利润值的估计值为元，有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．解法二：（1）同解法一．（2）①同解法一．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．故件产品的单件平均利润值的估计值为

元，有满足认购条件②．综上所述，该新型窑炉达到认购条件．20..已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A、B两点（点A、B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程；（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标.【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以，,抛物线的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.当直线斜率存在时，设直线的方程为设，将直线与抛物线联立得：又，即，，，将①代入得，即得或当时，直线为，此时直线恒过;当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.21.平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆与直线恒有公共点，且要求使圆的面积最小。(1)写出圆O的方程；

（2）若圆O与轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围。参考答案：（1）由已知可得直线过定点T（4,3），

（2分）要使圆面积最小，定点T在圆上，所以圆O的方程为。

（4分）（2）A(-5,0),B(5,0),设，则

①，

（5分）

，因为成等比数列，所以,即，整理得，即

②，（8分）

由①②可得，

（10分）

=，。

（12分）22.2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天