第十四章达朗伯原理

第十四章达朗伯原理

达朗伯原理提供了用静力学的平衡方程求解动力学问题的方法,所以也称‘动静法’.达朗伯原理的运用首先是将有关的运动量转化成达朗伯惯性力系,这其间达朗伯惯性力系的简化和等效代替是重要的一步.其后便是运用静力学平衡方程式的求解技巧.用达朗伯原理求解约束反力和加速度问题是很有效的.质点MM质量m,主动力F约束反力NFN加速度为aRa所以R=F+N=maF+N+(-ma)=0因为惯性力Q=-ma所以F+N+Q

=0

Q是一个虚力用虚线表示象力的平衡方程不是力的平衡方程Q不作用在质点上§14–1惯性力.质点的达朗伯原理

质点的达朗伯原理叙述为∶在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和虚拟的惯性力组成平衡力系。F+N+Q

=0

当非自由质点运动时,作用在质点上的主动力、约束反力和达朗伯惯性力在形式上组成一平衡力系.－这就是质点的达朗伯原理.例一.重P的物块A(不计尺寸)沿与铅垂面夹角为θ的悬臂梁下滑.梁重为 G,均质,长OB=L.不计摩擦.

求:当物块A滑至距固定端为S米时,固定端的约束反力.APθSBOL/2Ga解:先求惯性力XOYOmOFg由达朗伯原理例二.(见书)飞轮的质量为m,半径为R,以匀角速度ω绕O轴转动.设轮缘较薄,质量均匀分布,轮辐的质量不计.不考虑重力的影响,求轮缘横截面的张力.OωORωxdFgT1T2θ解：取半圆环为研究对象

运动的质点系的每一瞬时,系统中的所有质点的达朗伯惯性力与作用于系统的外力在形式上组成平衡力系.－这就是质点系的达朗伯原理.

这个‘平衡力系’显然是一个空间的平衡力系.根据空间力系的平衡理论,就是:

系统中的所有质点的达朗伯惯性力和外力系的矢量和为零(主矢为零),以及这些力对任意点的矩的矢量和为零(主矩为零).用数学式表示,即是:它有六个空间投影方程用于具体问题的计算.如果的平面问题便是三个.§14–2质点系的达朗伯原理质点系∶有n个质点，对第i个质点有在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束反力以及虚拟惯性力在形式上构成平衡力系。对整个质点系，作用其上的力系有∶主动力系约束反力力系虚拟的惯性力系它们在形式上构成平衡力系，且达朗伯原理评价一、引入虚拟惯性力的意义1、提供了用静力学方法写动力力学方程的手段。2、引出了新的观点。3、达朗伯原理的方法被叫做动静法。二、应用方面1、写动力学方程。2、已知运动，求解动约束反力。3、计算构件的动荷强度。质点缘瑞系的凑每一似个质守点的掉达朗尽伯惯况性力纸构成拣一达汽朗伯殿惯性愁力系.一般无情况洁下是昼一个炸较复爹杂的滚空间商力系.运用茅达朗淋伯原鸟理求茄解质蚀点系航或刚疑体动敢力学克问题谦的关厦键是旺将此毕惯性舒力系调进行窑简化坑和等华效代菌替.下面,我们锁将对可常见爹的几棉种运聪动的策刚体牌上的获达氏啦惯性让力进顺行简驼化.§1祝4级–3刚体蹲惯性谢力系颂的简鸦化1.刚体电的平敢动C刚体颈作平因动,其上态所有拔点的劲加速止度矢馋都相暮等.因而延惯性荡力系郊是一忌同向为平行给力系.这个逃力系桨与重睬力系歇类似,其合剃力过榆质心C辣.平动嘱刚体梢上的嘱达朗据伯惯茅性力叫系向响质心才简化跌可得正一力.此力脊的大详小等姻于刚曲体的闹质量仔乘以唯质心突或任魂意一聋点的胡加速俭度,方向驾与加公速度摊相反.2.刚体冈的定牙轴转梨动(刚体艰有质湖量对过称面,且转缘瑞轴垂市直于铲质量脖对称葛面):对于药转轴阶垂直络于质销量对戚称面袄的定身轴转领动的画刚体,首先究其上松的达传朗伯生惯性隙力系使可以朗简化余成质槽量对而称面忌上的钥平面醋力系.进而顷向转怨轴的O点简鸟化,可得牌一力欺和一践力偶.OαωCOC由力惭系的妨简化旦理论编可知:此力和的作胀用线服过O点,量值跨为惯掘性力巴系的俱矢量饺和(主矢);此力既偶作御用在减刚体伐上,量值芒为惯浸性力符系诸室力对O点的酸力矩撑的代累数和(对O点的幼主矩).有质班量对战称面作且转茎轴垂脾直此骨面的换定轴球转动侧的刚循体,其上平达朗谎伯惯斥性力坛系向闪对称械面与次定轴碰的交域点O简化坚可得扔一力吉和一肝力偶.其力:其力偶:现在核讨论芝以下逢三种佩特殊析情况泛：2.当刚棕体作亮匀速叨转动惹时,a＝0,若转服轴不信过质辜心,惯性妨力系百简化鼠为一令惯性恼力FI,且FI＝－maC,同时料力的喘作用狼线通晴过转够轴O。1.当转矩轴通绳过质胳心C时,aC＝0,FI＝0,MIC＝－JCa。此吧时惯狱性力参系简爪化为邪一惯半性力政偶。3.当刚搂体作输匀速惨转动脱且转点轴通置过质丝式心C时,FI＝0,MIC＝0,惯性姜力系线自成锋平衡理力系薪。3.刚体走平面定运动(刚体根有质评量对垃称面追且运纳动平摸面平脊行于凳此面).刚体割平面迟运动溪是随袖质心刃的平弊动和液绕质岔心仍的转狼动的步合成.其上赠的达塔朗伯兵惯性洲力系掩可分谢成两爱部分:平动棋的惯腐性力酷系和乐绕质资心转菌动的沃惯性腥力系.平动阶的惯鞭性力遥系向菜质心抖简化削可得粘一力;绕质傻心转械动的屡惯性慕力系糖可简沸化为叨一力毁偶.αC惯性喉力:惯性污力偶:注意:有质姨量对少称面闭且转勿轴垂畅直此毁面的粮刚体幸的定娱轴转椅动是穷刚体而平面喉运动晕的特曲例,故刚忧体平充面运概动的晶惯性能力系输的简甚化方庸法也言适合音于这贱样的迅定轴务转动法的刚臭体.▲:达朗探伯原弓理的柜应用(1均)动载横荷下山求约能束反赵力及腹加速头度问戴题.(2滥)多自遵由度近系统讯或多朗约束陕系统比下求桌加速度度及桶约束漏反力城问题.例.绞车区的质烦量为80雁kg代,装在厕钢梁缝上的政铰支暂座O上.梁的累两端外视为绵简支.梁为剂均攀质,质量靠为80驴0k旋g学,尺寸扬如图窜示.绞车徒鼓轮患对O点的茧转湾动惯芹量J0=姨1.禾2扯kg零.m²,鼓轮营的半枣径r情=之0.析2填m嘱,绳索老的质垫量不璃计.求:当绞肯车以鉴加速裕度a=脏1尤m/凉s²提升垃质量挖为20惑00相kg的工球件时,求支准座C、D处的耍动反崖力及竖全反拉力.解:垮(产1)先求拢动反给力ACDOr3.8m4.2mmaαaαACDOr3.8m4.2m(m1+m2)g

m3g(2凝)求全冻反力令:鼓轮住的质皱量m1,梁的殃质量适为m2,重物查的质郑量为m3.例.剪(见书)均质毅圆盘劝质量育为mA,半径公为r.均质讯细长粮杆L繁=粮2r蓝,质量册为m.杆端A与轮乱心为孔光滑受铰接.如在A处加暑一水盘平拉缸力F,使轮寇沿水阁平面缴纯滚国动.问:轻F力多帜大能回使杆爹的B端刚飞刚离看开地秆面?又,为保管证作犯纯滚汉动,轮与石地面劈燕间的膊静摩效擦系纺数应栏为多偶大?ACB30°FDα

惯性力系简化后如图,其中解:圆盘粱作平览面运质动,童AB杆作皱平动.取整后体:取AB杆:FA30°CB又,由纯滚动的力学条件:∑Y衰=责0交:∑X莫=妙0婶:(2)代入(1)得:ACB30°FDα取整征体分企析rFA30°CB例.质量m长L的均猪质杆AB泥,其B端固扎结在滨半径命为r的圆斩盘边辆缘上.设圆芽盘以渐角仰加速伯度α忌,角速析度ω在水王平面雪上绕O轴转赤至图晚示位籍置.求:晒AB杆的A端所茧受的逝约束焦反力.OrωαLBCθθA解:均质旋杆AB的惯例性力睡系向肉其质哨心C简化孕如图图示BCθθAL如果呜将A处的吩反力锡分解害成如惹图的烘切向扮和法胃向,则有:§1她4主–装4绕定挂轴转洽动刚谜体的限轴承梳动反艺力惠－定轴菊转动萝的刚樱体在击一般昌情况版下的慕达朗情伯惯亡性力黑系的座简化膨问题基本皇条件:定轴叹转动,刚体附或无债质量灵对称绢面,或转窑轴不六垂直俭质量驶对鹅称面.☆:定轴转动的刚体在一般情况下,其上的达朗伯惯性力是一空间分布力系.若将此力系向转轴上的某一点O简化,可得一力和一力偶.若以O为坐标原点建立O－xyz右手坐标系(Oz轴为转轴),则该力系在此坐标系下的投影表达式为:yxmkrkOφKωαzmkxyαωφkφkO(z)φk设在响定轴绪转动序的刚降体上饰任取界一质油点mk(亏xkykzk)逮,某一蜡时刻,米mk的转常动半炕径rk与Ox轴的雾夹角订为φk,其达夏朗伯彩惯性缓力如窜图示.将刚访体上遇所有摊质点凤的惯威性力缓向O点简凭化,于是迹有:这一暗组式传子便是木以Oz为定岗轴的斜转动蒙刚体叛的达级朗伯因惯性定力系守向O点简长化所漏得到无的新惯性虹力和樱惯性昨力偶识在右邪手坐昼标系O－xy昨z下的门投影挺分量且表达.▲:饿(环1近)若直沿接套枝用此检公式,所建逮立的屠坐标羞系必湾须是棋右手泼系且微转轴积为Oz轴.(2指)式中M是刚神体的船质量,xC、yC、zC是刚俭体的陈质心燥坐标.Jyz、Jzx分别洞是药对y、z轴和北对z、x轴的翻惯性流积,也称居为离恳心转毙动惯艺量.其正全、负谜或弟零与坑质量林分布幼及坐外标轴择的选冷择有势关.(3菌)式中窜除质觉量外皮每一伴个量慰都是零代数沿量,即本席身含线有符傲号.△:主惯笨轴壤及中炼心主雾惯轴锣的概庄念(书上P2段32膛)若要水消除谱定轴俭转动巴刚体扔的转教轴处藏的动扇反力,则应:即,转动象轴为乌中心蛾主惯测轴.例题.均质轮薄圆菠轮盘幻玉质量m抓=左20捏kg榴,半径R远=测20胜0m惨m费,重心O在水抄平转系轴上.由于把轴孔箭不正,装在拍轴上埋时轴屑与圆睡盘面简的中缩慧轴线Oζ成交谦角γ棚=贸1°幸.设转品轴匀丈角速题转动,当n惭=终12匹00备0r选/m戒in信,求轴轿承A、B处的熟动反强力.解:建立的坐标系如图示∵Oz轴过质心,∴故惯性力ζγABOξηγyzx0.5m0.5m又,α=0,所以有Oξ、Oη、Oζ为主惯轴且有:ζγABOξηγyzx0.5m0.5m代入数据后得:例三.长为L的均获质杆悠从铅果垂位律置自抓由倒萝下.试计病算杆如内弯值矩最疲大的并地方,并求穷出此浓弯矩单值.已知简均质壶杆的脉线密锋度为ρ.AOLAOα解:由题汽意我悉们只斜需考役虑切必向惯唇性力.角加验速度驳使杆蜂内各竭点产多生切逼向惯碑力,而重酿力矩协引起丽角加响速度.在水疗平位次置时尘重力宴对O点的险矩最肿大,因而翻这时