2019考研数学基础阶高数之不定积分

2019考研数学基础阶高数之不定积分跨考教育一一成建军“不定积分”是考研数学一一微积分的基本运算。不定积分是导数的逆运算，同时也是后续定积分及多元积分的基础。不定积分是微积分的重要基石，很多考生微积分学不好，感觉积分很难算。在考研数学中直接考察不定积分的运算很少，但其它的考点如果不定积分不会算往往导致结果得不到。比如一个二重积分运算题，首先化成累次积分，其次累次积分计算往往是定积分运算，而定积分要想算出需要不定积分计算能够熟练运用。不定积分计算作为微积分的三大支柱之一，如果不会，基本上微积分是学不会的。因此，2019的考生在基础阶复习时一定要搞定不定积分计算。为帮助2019同学掌握基本不定积分计算的方法，确保基础阶掌握不定积分计算，跨考教研室的成建军老师给各位梳理出一个严密的不定积分计算流程。［有理积分不定积分计算流程：分部积分n可化有理积分n∣有积分［第一换元A、有理积分bXm+b Xm-1H +bm m-1 0aXn+a Xn-ι+ +an n-1 01、m≥n除法降次SGQQ沔 一＞ J喀X=J卜Q)+^^∖dx=JS(x^tix+∫皑\o"CurrentDocument"，… Q5) L Q5)J Q(X)R(DX2—1一 ；X4+1示例1、X2+1X4+X21-X2Jx411dX=J(X2-I)IX+J二dXX2+1 X2+1=L3-X+J—X

3 X2+1-1-X222、分母分解处理RQ)7(1)J曲dAx+BI

=J dxx2+px+qJAx+Bx2+px+qdx=AJ222X+P一P+B LdXx2+px+q=AI Ξ^J2二dx+AJ2T^dx2X2+px+q 2X2+px+qAdx2+px+qA( 2=—J + —+——P+-B2 x2+px+q=AlnX22 dxx2+px+q dxX2+px+qJ d dxx2+px+q dx=x2+px+q2p2+qFdx=^=1、q一P2

T+C dx=x2+px+qdx=—-x2+px+qdx=J7P,,p2x+—一—一q2\4∖dx①P2—4q<0JJ22vAA( 2八+px+q+——P+—B^2X+P2√∖2A1pX+2②p2—4q=0③p2—4q>0J1J1(X+P∣2k2√pX+21∖,P,,1P2x+— +i — 一q2∖4▽八+C1ln2,p2-a2WqP,P2x+一1'—一q2∖-4+CP'p2

x++.l1——q

2∖-4QQM数>2(Q(X/n重根(n≤2))①Q(X/无实根的二次式R(X)=Ax+B+*Q(X)X2+px+q左右同乘X，令X→∞确定A②Q(X治单根的一次式\o"CurrentDocument"R(X) C前=F+*0左右同乘X-X，令X=X确定C0 0③Q(X治二重根的二次式R(X) DD曲==++*0 0左右同乘(X-X力，令X=X确定D0 0 2顺序②③①剩下待定系数采用特殊值法。Q(X治n重根(n≥3)X2示例2、JQ-I)Q+1dABCDX2Q-ι1Q+1)二E+E+E+X+1左右同乘(x-11,令X=1确定C=，，左右同乘X+1，令X=-1确定D=一：，分解式

2 8X2 _Q-11Q+1)―AB11 11 “ ， 1八3——7+ )-+ V-。最后，令X=0,2有A=-,B=-X-1X-122X-128X+1 8 418X一13118X+1ʃ(之*X=J

(X-12Xc+1J,4,2+E+E一dxB、第一类换元法(凑微分)设f(u)有一个原函数F(u),U=W(X)可导，则有Jf(φ(x))φ,(x)dx令U=φ(X)ʃf(U)dfu=F(u)+C=F[φ(X)]+CC、可化有理积分‘三角函数可化有理积分［指数函数根式处理第二类换元法设X=Ψ(t)是单调，可导的函数，且ψ1(t)≠0，设f(ψ(t))ψ'(t)具有原函数G(t)，则1f(x)dx令x=ψ(t)1f[ψ(t)]ψ,(t)dt=G(t)=Gψ-ι(X)+C.万能公式1、三角函数指数函数t=aχ2、.c∙xX 21SInX=2sin—cos—= xcosX=cos2一22 1+12,X1-12-sin2—= 21+123、根式处理2K根式形式4Inax+b直接令t=n；1∆J^axtb-ICcx+dIX求出不含根号n有理积分弋a2-x2:x=asint或acost三角换元)''l'x2-a2:x=asect或acsctn三角函数

√a2+x2：x=atant或acottD、分部积分公式Juv'dx=1udv=uv-Jvdu=uv-1vu'dx原则:好凑微分的做L求导简化的做u；先V后U；3、4、常做U的优先级：arc,ln,JxfQ)dt>>Xa>>三角或ax；a常用凑微分：adx=d(ax+b)，xdx=—dx2)XadX=ɪd^xa+1)2 a+1，d-dx=d