河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题

2022-2023学年度高二数学期末考试卷

考试范围：选择性必修一二；考试时间：120分钟；

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共40分）

I.如图所示，在正方体/8S-44GA中，点尸是棱上的一个动点（不包括顶点），平

面8尸A交棱CG于点E,则下列命题中正确的是（）

A.存在点F使得/"用为直角

B.对于任意点E都有直线4G〃平面3£。尸

C.对于任意点E都有平面4CQ_L平面8口）尸

D.当点F由4向N移动过程中，三棱锥尸的体积逐渐变大

2.已知6（%，4）与4（四,8）是直线夕=入+1"为常数）上两个不同的点，则关于X和V的

方程组的解的情况是（）

［a2x+o2y=l

A.无论k、［、鸟如何，总是无解B.无论底片、£如何，总有唯一解

C.存在大小片使之恰有两解D.存在左、［、心使之有无穷多解

3.在平面直角坐标系中，已知点外。问满足同+网=1,记d为点尸到直线1-必-2=0的

距离.当。也加变化时，"的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知点P在直线/：3x+4y-20=0上，过点P的两条直线与圆O：/+/=4分别相切

于45两点，则圆心。到直线Z8的距离的最大值为（）

A.—B.逑C.43D.1

25

5.已知［-1,乎）,彳1,一孚｝为椭圆C:1+?=l上不同的三点，直线/：x=2,

直线产/交/于点“，直线P8交/于点N,若S-=S:,则与=（）

c-i

A.0B-7D.百

fv2

6.已知片、名为双曲线5-彳=1（〃>0/>0）的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点,

ab

满足N不有=60。，\OP\^—\EFA（。为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）

2V10B.迪C29

A.

57'5

7.点尸在直线/：y=x+p（p>0）上，若存在过p的直线交抛物线y2=2px（〃>0）于48两点,

且21PH=|4/，则称点P为点”，那么下列结论中正确的是（）

A.直线/上的所有点都是““点”

B.直线/上仅有有限个点是“〃点”

C.直线/上的所有点都不是点”

D.直线/上有无穷多个点（但不是所有的点）是“〃点”

8.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1：再染3个偶

数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的

7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,

45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,

则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（）

A.3991B.3993C.3994D.3997

二、多选题（每小题5分，共20分）

9.下列结论正确的是（）

A.VxeR,x+—>2B.若a<6<0,则>（）

C.若x（x-2）<0,则log2XW（0,l）D.若a>0,b>0,a+b<\,则

10.圆q：x2+/-2x=0和圆。2：/+/+2欠-4歹=0的交点为48,则有（）

A.公共弦48所在直线方程为x-V=0

B.公共弦的长为夜

C.线段45中垂线方程为x+y-1=0

D.P为圆。，上一动点，则尸到直线距离的最大值为农+1

2

11.已知双曲线1-¥=13>0）右焦点为£,过6且垂直于X轴的直线与双曲线交于/,8

两点，点F（-4,0）,若△/B/为锐角三角形，则下列说法正确的是（）

A.双曲线过点（-2,0）

B.直线3x-y=0与双曲线有两个公共点

C.双曲线的一条渐近线y=的斜率小于逆

22

rI

D.双曲线的离心率取值范围为1，匕卢

\/

12.若函数N=/（x）的图象上存在两个不同的点尸，0,使得/（外在这两点处的切线重合，

则称函数尸“X）为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）

A.y=sinx+cosxB.y=sin（cosx）

C.y=x+sinxD.j^=x2+sinx

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.阅读材料：空间直角坐标系。-xyz中，过点尸（看,为*0）且一个法向量为万=（41,<?）的

平面a的方程为（Z-Z。）=0,阅读上面材料，解决下面问题：已知平

面a的方程为3x-5y+z-7=0,直线/是两平面x-3y+7=0与4V+2z+l=0的交线，则直

线/与平面a所成角的正弦值为.

14.已知P为正方体/BCD—44CQ表面上的一动点，且满足|P4|=0|P8|,/B=2,则动

点P运动轨迹的周长为

15.设尸(x,y)是曲线C:息+稔=1上的点，耳(-3,0),名(3,0),则I呐+|明的最大

值等于.

16.函数f(x)=x、-2x-3,定义数列｛当｝如下：」,=2,、是过两点尸(4,5)、0,(怎,45))

的直线PQ„与x轴交点的横坐标，数列｛玉｝的通项公式为.

四、解答题(共6小题，共70分)

17.如图，在多面体48。£尸中，底面/8CD为正方形，EDl^ABCD,BF上平面“BCD,

DA=-DE=\,ADVDC.(10^)

2

(1)求证：/E〃平面8CF；

(2)若8尸=1,求£尸与平面ZCE所成角的正弦值；

(3)若EF1平面ACF,求平面NCE与平面ACF夹角的余弦值.

18.已知在平面直角坐标系中，1(0,1),8(0,4),平面内动点P满足21PH=|尸耳.(12分)

(1)求点P的轨迹方程；

(2)点尸轨迹记为曲线7，若C,。是曲线7与x轴的交点，£为直线/:x=4上的动点，直线

11

CE,OE与曲线7的另一个交点分别为"，N,直线与x轴交点为0,求口研+而『的

最小值.

19.已知双曲线C：的左、右焦点分别为耳、F2,直线/过右焦点工

且与双曲线C交于A、B两点.(12分)

(1)若双曲线C的离心率为行，虚轴长为2&，求双曲线C的焦点坐标；

（2）设a=l,b=6,若/的斜率存在，且（即+中）•刀=0,求/的斜率；

（3）设/的斜率为且用+词=俘-西，求双曲线C的离心率.

20.设之为正实数，若各项均为正数的数列｛/｝满足：T〃eN*,都有“用之⑸+兀.则称数

列｛。,,｝为P（外数列.（12分）

（1）判断以下两个数列是否为P（2）数列：

数列A：3,5,8,13,21；

数列3：log?5,7t,5,10.

（2）若数列包｝满足4>0且以尸4+J总与-而T,是否存在正实数4,使得数列出｝是

P（㈤数列？若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.

（3）若各项均为整数的数列｛七｝是？⑴数列，且｛〃“｝的前机（加22）项和可+/+%+•••+%,为

150,求%,+机的最小值及取得最小值时的所有可能取值.

Inx

21.已知函数/8）=吧［。>0）.（12分）

ax

（1）求/（好的单调区间：

⑵若/0）4才-,对工€（0,+8）恒成立，求a的取值范围：

a

x

（3）若电1。3+xjn%2=0（3工工2），证明：\+x2>2.

22.若椭圆。g=1仅>…）的离心率为?，且经过点尸（12分）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点R（0,2）的直线与椭圆C交于不同的两点A/,N（均与P不重合），证明：直线PM,PN

的斜率之和为定值.

参考答案:

1.C2.B3.C4.D5.B6.A7.A8.D

9.BD10.ABC11.ACD12.ABC

13.叵#

3535

14.(应+1)乃

15.10

⑹-一喜e

17.

证明：因为底面/BCD为正方形，平面/18CD,故可建立如图所示的空间直角坐标系,

则£)(0,0,0),4(1,0,0),E(0,0,2)C。,1,0)B1,1,0)

设厂(1山)，则旃=(0,0,f),元=(-1,0,0),

故石=(-1,0,2),设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)

[n-BF=tz=0-,、

则一，取丁=1,则〃=(04,0)

n-FC=x=0

故女工=0，而平面8产C,故/£■//平面B产C.

(2)因为网=1,故尸(1,1,1),即丽而％=(-1,1,0),

设平面/EC的法向量为而=(x,y,z),

[in-AE=-x+2z=0—/、

故__,取Z=l,则X=y=2,故加=(2,2,1)

ym-AC=-x+y=0

设EF与平面/CE所成角为。，则

sine=Icos<EF,m>\=—3—=

11V3X33

(3)由(1)可得而=(1,1,”2),而而=(O,1J),

设平面/CF的法向量为2=(x,y,z),

\s-AF=y+tz-0-,、

则<_，，取z=1,贝ijx=y=-/,故s=

s-AC=-x+y=0

因为EFJ.平面ZC77,故而//[,

故存在非零实数4,使得丽=芯，

即(1,1,t-2)=7(-t,T,l),

fl=—At

故、1,解得f=l,

\t—1=A,

故1=(-1,-1,1),由(2)可得

73x33

故ACE与平面ACF夹角的余弦值为先

3

18.

(1)设尸(x,y),则2信+(尸1)2=商+(尸4)2,化简得/+V=4.

(2)由题意得C(-2,0),£>(2,0),

设E(4,/)(/*0),则直线CE的方程为y=：(x+2),

直线DE的方程为y=；(x-2),

%~+2),得…人生、+/_4=0,

联立

|/+r=4,363636

则mil均-2o=-八4r^即Hn知=72?—育2/~，%=*t./+2)、=石24而z

(72-2/224/

则M

、J+36'『+36

得上,2一八+〃一4=。,

联立

+、2=4,4

r4/2日口2r2-8t

则mil/+2=不'即x，v=y%=5区'-2)=八“

f2r-8-St}

[r+4/+4「

24/-8/

①当rw±26时，直线MN的斜率k“K=；；堂=丘)，

『+36-『+4

.,,.—St8f(if—8)

则直线A/N的方程为歹—-二=寸~7x―「•，

/•+412-厂(厂+4)

Of

即y=£^(x-i)，。(1，0)，

②当t=±2石时，直线MN垂直于x轴，方程为x=l,也过定点0(1,0).

综上，直线MN恒过定点。(1,0).

又△CQMsXDQ^,

所以|町|・|叫|=|62].20|=3,

所以1I11」加。「＞2口网°「=2

|何|N0fMof9血0「93

当且仅当|〃。|=有时取等，

所以而11+丽1的最小值为最2

19.

(1)解：由题意得2b=20,e=£=J5d="+凡

a

解得a=\,h=-Jl,c=6，

故双曲线C的焦点坐标为(-/3,0),(73,0).

(2)解：双曲线X?-：=1,可得£(2,0),

设*),8(%,%),直线/的斜率为：八三"，

设直线/的方程为尸=%(x-2),

y=kx-2k

联立直线与双曲线的方程，y2,

X--=1

3

消去了得(3-公卜2+4公》-4左2-3=0,

由直线与双曲线有两个交点，则3-公片0且A=36(l+/)>o,即心土百，

—rz«4k2ri,/八/4k2012A

可得占+》2=正三，则%+%=〃(％+芍-4)=,您3-4)=产与，

又£N=(XI+2，M),£8=(%+2,%)

(耳4+45〉48=0,可得(玉+x2+4,yt+y2)-(x2-xl,y2-yl)=O,

即(西+々+4)(々一为)+(必+%)(%-%)=。>

将左=及二及代入上式，可得%+乙+4+(必+%*=。，

X2~X\

得孚二+4+孚--%=(),可得F=3,

k2-3k2-35

解得a=±巫，即/的斜率为士妪.

55

(3)解：右焦点为玛(c,0),设直线/的方程为夕=%(x-c),火芭,弘),5(%,%),

y=k(x-c)

联立直线与双曲线的方程，2,

IkL

消去了得：伍2-/产)/+2或2后2》-二/02一/62=。，

A-4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,

-2ca2k2-a2k2c2-a2b2

再+x,——；-,x.x—-------~；，

12b2-a2k212b2-a2k2

a

则乂力=M(网_C)(X2—C)=Z：2|\]X2+C2_C+x2)]=/•22，

L」a'k—b~

由你+函=俘一函,得@+砺丁=你-砺『，

整理得方•砺=0，则玉工2+凹％=0,

即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,

则a2b2+a2k2(a2+b2)+k2\a2b2-b2(z2+b2)]=0,

a2b2

整理得k2

b-喈

因为/的斜率4所以3=,整理得从=3/,

V55b4-a4-a2b2

则c2-a2=3a2,c2=4a2,c=2a，

所以离心率e=£=2.

a

20.(1)根据定义,P(2)数列应满足V〃eN*,都有。用2+2,

即--*2恒成立.

对于数歹i」A：有5-3=222,8-5=322,13-8=522,21-13=822均满足，所以数歹IJA

是P(2)数列；

对于数列8,因为5-兀<2不满足，所以数列B不是PQ)数列.

(2)不存在正实数2,使得数列也｝是尸⑷数列.

说明理由如下：假设存在正实数使得数列｛〃,｝是PQ)数列，

则V〃eN*,都有加地+3即*24恒成立.

因为b,,\=b„+J〃+3-JH+1,

所以…,=g-g=gjg<T'

当〃>/时，bn+l-hn<^=<A,这与假设矛盾.

所以，不存在正实数/i,使得数列｛a｝是尸口)数列.

(3)因为数列｛%｝是尸⑴数列，所以。向上。,,+1.

所以%>am_^\>afn_2+2>••->ai+m-l>m,

a

所以<%T，„,-2<a“iT<《“-2，am_3<am_2-\<am-3,L,a2<a3-1<ani-(w-2),

/n(/77—1)

所以4+a1+ai+---+am<mam-[1+2+3+•••+(m-1)]=wa；n

2

—LLtj150m1

a即n1504加4,,--^一』,所以a,”2-^-+5-5

1503m13m

所以a,“+m>---+---->2U30-U^2

/M222222

因为数列｛%｝是整数列，所以％+机的最小值不小于30.

假设%+机=30,必有"9+也-L43O,m—<m<12,

〃？223

因为meN*,所以加可取9,10,II,12.

当加=9时,勺=21,存在满足条件的数列.

q=10,a2=14,a3=15,=16,a5=17,a6=18,%=19,as=20fa9=21；

当m=10时，«„,=20,存在满足条件的数列.

=6,=12,%=13,4=14,=15,4=16,%=17,=18,佝=19,tzl0=20；

当加=11时、*=19,存在满足条件的数列.

4=5,a2=10,a3=11,a4=12,^z5=13,a6=14,a7=15,678=16,a9=17,tz10=18,

=19；

当机=12时，%=18,存在满足条件的数列.

6=7,a2=8,q=9,a4=10,a5=11,a6=12,a7=13,a8=14,a9=15,aI0=16,

qI=17,《2=18.

以上都是%+M=30的充分条件.

所以心+用的最小值为30,此时外的所有可能的取值为此,19,20,21.

21.

(1)/(x)=Lk孚,显然有/(e)=0,当x«0,e)时，/(x)>0,单调递增，

a厂

当xe(e,+8)时,/(%)<0,单调递减；

,八_4_lnx_1„,、x+ln*

(2)由---Mx—得z：ax'-x-Inx>0,a>---：—,

axax

令，则有g，(x)=_x-+1,令%(x)=-x-21nx+l,

显然A(x)是减函数，耳1)=。，,当xe(O,l)时，Zr(x)>0,g(x)单调递增，xe(l,+oo)

时，k(x)<0,g(x)单调递减；

g(x)M=g6=l，。的取值范围是421；

(3)当。=1时，/(x)=—由(1)的结论作函数图像如下:

Inx.Inx,、/、/、

对于X|In%+》2In*=0,得----，不妨设》2>王，则有一/(占)=/(々)，

X?42

由图可知当0</(x)<1时，对应的自变量有2个值马,为，其中X?>e,l<X2<e

e

要证明看+》2>2，只需々取马/3中较小的数々即可，

v0<y(x2)<-,/(A-,)<0,X]€(0,l),2-xtG(1,2),

ee

要证明阳+々>2,只需证明X2>2-%,在xe(O,e)时，/(x)单调递增,

只需证明/爪)>/(2-%)，v/(x2)=-/(xl),只需证明一/(%)>/(2-占),

即/(司)+/(2_玉)<0,构造函数p(x)=乎+嘤X(xe(O/)),

,,、1—Inx-l+ln(2-x)x-In(2-x卜Q-x)lnx+44-x)

P⑴=x2(2-x)2