专题16函数的奇偶性

专题16函数的奇偶性【考点清单】1、奇偶性定义①奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；函数举例：①： ② ③④②偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做偶函数．函数举例：① ② ③2．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．【考向精析】考向一：函数奇偶性的定义与判断1．函数的图像关于（

）A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称.故选：C2．函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】A【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性.【详解】若，则，则；若，则，则.又，满足.所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选：A.3．函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】B【分析】得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性.【详解】的定义域为，关于原点对称，.故为偶函数.故选：B.4．下列关于奇函数与偶函数的叙述中：①奇函数的图象必通过原点；②偶函数的图象必与y轴相交；③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；④既是奇函数又是偶函数的函数必是.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据奇偶性的定义，举反例判断即可.【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如，故①错；偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与轴相交，如，故②错；根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对；既是奇函数又是偶函数的函数不一定是，如，故④错；故选：B5．下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函数定义逐项判断作答.【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C考向二：由函数的奇偶性求解析式6．设是定义在上偶函数，则在区间上是（

）A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，则，由，即，解得，∴，函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B．7．已知有偶函数，奇函数，且有，则的值域为____________.【答案】【分析】根据条件，利用与的奇函数性求出的解析式，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为为偶函数，为奇函数，且有，所以，两式相加得到，又因为，当且仅当，即时取等号，所以的值域为.故答案为：.8．已知函数为上的奇函数，当时，，则时，_________．【答案】【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.【详解】因为函数为上的奇函数，所以对任意的，，所以当时，，，因为当时，，，所以，所以，故答案为：.9．已知函数是R上的偶函数，不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据偶函数的定义先求得，再结合分段函数解不等式即可.【详解】由已知可得，则，，当时，，解之得；当时，，即，显然无解；综上解集为：故答案为：考向三：抽象函数的奇偶性10．．奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性，得到，求出答案.【详解】因为奇函数在上是增函数，故在上是增函数，因为在上的最大值是8，最小值为，所以在上最小值是-8，最大值为1，即，故.故选：C11．为奇函数，为偶函数，且则（

）A．3 B．-1 C．1 D．-3【答案】A【分析】根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得.【详解】因为为奇函数，为偶函数，则所以两式相加可得，即故选：A.12．若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析(2)，(3)最大值为2，最小值为【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数；（2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出；（3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案.【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得，所以，故是奇函数；（2）因为，故令得，即，又是奇函数，所以，令得，令得故；（3）不妨设，中，令得，，因为，又时，，所以，即，所以在R上单调递减，故．13．设是定义域为R的奇函数，且．若，则__________．【答案】3【分析】由题意可得是周期为4的函数，即可求解.【详解】因为是定义域为R的奇函数，则，所以，所以是周期为4的函数，则.故答案为：3.考向四：由函数的奇偶性求参数14．若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.【详解】由函数为奇函数，可得，所以，所以，化简得恒成立，所以，即,经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；故选:A．15．已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A． B．8 C． D．24【答案】A【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解.【详解】解：由题意，定义在上的奇函数，可得，解得，又由当时，所以，故选：A.16．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．【答案】【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性.等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.【详解】由题知，，所以恒成立，即．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得，因此，，由单调递增，单调递增，易知函数单调递增，故等价于等价于即，解得．故答案为：17．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.【答案】1【分析】利用奇函数的性质进行求解.【详解】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.18．若是奇函数，则实数___________.【答案】【分析】利用可求得，验证可知满足题意.【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：；当时，，，为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案为：.【巩固检测】1.判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】①定义域不对称，非奇非偶；②奇函数；③奇函数；④偶函数；⑤定义域不对称，非奇非偶；⑥奇函数；⑦奇函数；⑧奇函数；2.下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是A． B． C． D．【解析】解：不是偶函数；不是偶函数；，该函数在上是减函数；是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，所以该项正确．故选：．3.已知是定义在，上的偶函数，那么的值是A． B． C． D．【解析】解：对于函数知，依题意得：，．又，，．故选：．4.设函数，则下列函数中为奇函数的是A． B． C． D．【解析】解：因为，所以为奇函数，符合题意．故选：．5.（多选）对于定义在上的任意奇函数都有A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．【解析】解：根据题意，函数为定义在上的奇函数，即，对于函数，有，函数为偶函数，正确而错误；又由，则，正确错误；故选：．6.（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法中正确的是A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数【解析】解：函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则，，对于，因为，所以函数为偶函数，故选项正确；对于，因为，所以函数为偶函数，故选项正确；对于，因为，所以函数为偶函数，故选项错误；对于，因为，所以函数为奇函数，故选项正确．故选：．（其中，，为常数），若（5），则A．31 B．17 C．24 D．【解析】解：由，设，，所以，即有，若（5），则（5）．故选：．8.设是上的偶函数，且在，上单调递增，则，，（3）的大小顺序是．【解析】解：由已知是上的偶函数，所以有（2），，又由在，上单调增，且，所以有（2）（3），所以（3），故答案为：（3）．9.（多）已知定义域为的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则以下错误的有A．（2）（3） B．（2）（5）C．（3）（6） D．（3）（5）【解析】解：因为函数为偶函数，所以，令，则（2）（6），同理可得（3）（5），又函数在区间上为减函数，所以（5）（6），则（2）（3），故选项错误，（2）（6）（5），故选项错误，（3）（5）（6），故选项正确，选项错误．故选：．10.为奇函数，当时，，则当时，．【解析】解：为奇函数，时，，当时，，，即时，，故答案为：．是定义在上的奇函数，当时，，则当时，．【解析】解：根据题意，设，则，则，又由函数为奇函数，则，故答案为：．12.已知是定义在上的偶函数，且当，时，满足，则不等式的解集为．【解析】解：因为当，时，满足，所以在，上单调递增，又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，所以不等式，解得或，即不等式的解集为，，．故答案为：，，．是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且（3）那么不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：为奇函数，且在上是增函数，（3），（3），在内是增函数，则或，根据在和内是都是增函数，解得：，，，故选：．上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为A．， B．， C．，， D．，，【解析】解：因为奇函数在上单调递减，且，所以在上单调递减，（1），，由得或，解得或．故选：．15.已知函数是定义在，，上的偶函数，当时，，若，则实数的值可为A． B． C．1 D．3【解析】解：令，因为为定义在上的奇函数且单调递减，所以，所以为定义在上的奇函数且单调递减，由（a）可得（a），即（a），所以（a），所以，解得．故选：．上的函数满足，且当时，．（Ⅰ）证明函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）证明函数在定义域上奇偶性；（Ⅲ）求关于不等式的解集．【解析】证明：取得到，故，设设，则，，故，函数单调递减；证明：，取，则，即，所以函数为奇函数，解：，即