江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题含答案解析

2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学

一、□□□.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知A=y=,9_彳2｝,3=｛*|3*_1〉0｝,且Au8=（-4,+功，则a=（）

A.-3B.-4C.-9D.-12

2.欧拉公式e0=cos8+isin。（其中e=2.718…,i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立

了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，

下列结论中正确的是（）

A.e’"的实部为0B.e》在复平面内对应的点在第一象限

cje、=lD.3"的共轨复数为1

3.已知等比数列｛4｝的前九项和为S“，且253,3怎,456成等差数列，则数列｛4｝的公比4=（）

A.1或B.—1或一

22

C.-1或2D.1或一2

4.若函数y="X）在x=5处取得极值，则称无。是函数“X）的一个极值点.已知函数

y=sin（蛆+0）＞0）的最小正周期为24,且在［0,2句上有且仅有两个零点和两个极值点，则（P的值可

能是（）

冗冗71

A.乃B.---C.-D.---

322

5.某同学为班级设计一个班徽，他选择从正八边形中选取素材，如图所示.若正八边形的边长为近厘米，则班

徽的面积（图中阴影部分）为（）平方厘米.

A.4+3V2B.4-1-4V2c.7D.10

6.已知圆O:x2+y2=r2（r〉0）,A（_3,o）,8（6,O）,若对于圆。上的任意一点p,都有12而+丽卜3,则

正数「的取值为（）

A.lB.2C.3D.4

7.已知抛物线C:y2=i6x的焦点为尸，直线x—my—4=0（，〃€1i）与抛物线。交于43两点，贝ij

|AF|+4忸F|的最小值是（）

A.40B.36C.28D.24

144（1

8.设。=—/=—ln—,c=21nsin—+cos—,则（）

333166）

\.b<a<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数”》）=尤3-3%2过点（3,0）的切线方程是（）

A.9元一y—27=0B.18x-y-54=0

C.6x-y-18=0D.y=0

10.已知数列I殳二34是公差为1的等差数列，且q=1,%=1,则下列说法正确的有（）

I%a“J2

1

A.a、

B.存在等差数列也｝,使得其前〃项和S.=J

C.存在等差数列｛c“｝，使得其前n项和（=J-1

D.对任意的nGN',0<<1

11.已知圆/：f+y2—2y=0,抛物线C:%2=4y,过圆心厂的直线/与两曲线的四个交点自左向右依次记

为P,M,N,Q,若构成等差数列，则直线/的方程可能是（）

A.x-y+1=08・x+y-l=0

Cx-4+收=0D.x+。-应=0

31

12.已知sinl00=a，则,2/z---的值用。可以表示为()

sin-40cos40

8。+44a+2

A.-------B.........-C.16aD.32Q

l-a2l-a2

三、填空□:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知府为单位向量，且G，B)=60°,^c=3a-2b＞则cos仅©=.

14.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是西，运，若ZZ2=Z；,则复数z=.

15.已知双曲线C:》2—2产=1的左、右口点分□□A3,点p(x,y)是曲线C在第一象限内图象上一点，则

上+上的取值范围为.

x-lX+1

16.对任意的xe[l,+”)，不等式ae"?Inx恒成立，则实数。的取值范围为.

四、解答□:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、□明□程或演算步□.

17.(10分)在口48c中，角的对边分别为a,"c.已知，一=一旦—.

cosAcosB+cosC

(1)求角A的大小；

(2)若。为线段延长线上一点，且=求sin/ACD.

18.（12分）在条件：①s“=）包+。（2+2）；②6=1且35,,=（〃+2）%；③5=1且〃S,M=（〃+3）S,中

6

任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列｛凡｝的前〃项和为S”

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）数列的前九项和为7；,求Z,

19.（12分）已知双曲线C:5—g=l（a>0,0>0）,0为坐标原点，离心率e=2,点M（加,G）在双曲线

。上

（1）求双曲线C的方程；

（2）如图，若斜率为半的直线/过双曲线的左焦点，分别交双曲线于P,。两点，求丽•丽的值，并求

出口P。。外接圆的方程

20.（12分）如图，长方形ABC。纸片的长A8为3+4，将矩形A5CO沿折痕ERG”翻折，使得A,B两

点均落于。C边上的点P,若EG=Ji,NEPG=e.

（1）当sin28=-sin®时，求长方形宽AD的长度；

（2）当，时，求长方形宽AO的最大值.

22

21.（12分）已知椭圆C：二+21=1的左，右顶点分别为A3,右焦点为F,点P是挪圆C

43

上一动点（异于AB）点p关于原点的对称点为Q，连接AP,QF并延长交于点M连接PF并延长交椭圆C

于点N,记口口AFN面积分别为Ed2

,3、S

（1）当P点坐标为-1,不时，求三1"的值;

I2）>

（2）是否存在点P，使得$=6S2若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）已知函数/（x）=2asinx-ei+lj'（x）是/卜）的导函数,且/（2）=0

（1）判断了（x）在（0,万）上的单调性，并说明理由；

（2）判断函数“X）在[（2A+1）肛（2Z+2）句（AGN*）内的零点个数，并说明理由.

2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学-答案

一、□□□.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.【答案】D

【解析】A={x|—3<xK3},B=[x|x>]},Au8=（—4,+e）,.・.g=—4,

.•.。=-12,选口.

2.【答案】C

【解析】d"=cos乃+isin;r=—1，实部为一1，A错;

=cos2+isin2,（cos2,sin2）位于第二象限，B错;

"1=Jcos¥isin2万=1,C对，选C.

3.【答案】A

【解析】2邑,335,456成等差数列,

+%）=+生+出+/+%+%

6s5=2s3+4S66（q+4+%+42（q+g）+4（q+4）

/.6%+6%=4a4+4%+4%,・t4&一2%-2%=0,/.2q?-q-\=0

一.q=1或一;，选A

4.【答案】B

27r

【解析】T=一=2匹0=1,/（x）=sin（x+夕）

（0

对于A,夕="时/⑴=-sinx在［0,2句有三个零点不满足条件

对于C,时〃x）=cosx在［0,2句有且仅有两个零点，有三个极值点，不选，

同理。也不选，选By=w时，/（x）=sinx+可在［0,2句有且仅有两个零点：左，丁有且仅有两个极

JI7

值点2二%满足，选B.

66

5.【答案】A

【解析】如图，ZB=ZD=\35\S=S=-x42xy［2x—=—

/AimI!CCDP222

靖=C£；2=2+2—2.在目―#）=4+2"S：ACE=；（4+2&）=0+2,

.•.S=VI+2+2x也+夜+2=3拒+4,选A.

2

AE

BD

6.【答案】A

【解析】P（x,y）,2万+而=（―3羽—3y）,12西+叫=3商+/=3.=3,.」=1,

选A.

7.【答案】B

【解析】抛物线的焦点F（4,0）在直线x—加），-4=0上,

1121112

-----1-----——--（结论：A3为抛物线的焦点弦，——+—为定值一）

AFBFp4AFBFp

4444

--------1--------=1,；.AF+4BF(AF+4BF)--------1--------

AFBFAFBF

4AF16BF/—

=4+——+-------+16220+2洞=36,，(4尸+43?)3=36,选8.

BFAF111

8.【答案】B

【解析】法一：若x=*a=九-1,。=xlnr,令/a)=xlor-(x-l)

广(力=山+1_1=0/=1,〃力在(1,+8)口,/(%)>/(1)=0

4411<11

z.-ln->-,即b>。，比较。与。的大小，先比较一与Insin:+cos;

3336166

若x=',In卜in'+cosj=ln(siru:+cosx)

cosx-siru-2sinx

令g(x)=ln(sinx+cosx)-x,gx(x)---------------1

sinx+cosjcsin%+cos%

<0,c<a,.\c<a<h选B.

时g'(x)<0，g(x)口，gI!)f

法二：秒杀

,f.11Y.f,.1).ii

c=Insin+cos=In1+sin<sin<-a,:.c<a

I66)I3)33

1444/3、1

另一方面由尤〉0时，lnr>l——=>/?=-ln->-x1——\=-=a=>b>a,

x33313

:.c<a<b,选B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AD

,2

【解析】切点(后,x；-3%o),/(x)=3x-6x,k=3年-6x0

切线y-（X；-3片）=（3*一6%）（.x-Xo)过(3,0)，

T+3%=（3%o-6x）（3-x）

00x0=0或3,冗=0时切线丁=0,选。

x=3时切线9元-y-27=0,选A,・,•选AD

10.【答案】ACD

1--r

一CLi

【解析】皿=产=匕％一组是以1为首项1为公差的等差数列

«2«11x1，%+山〃J

2

..._ann——-a四..=匕，即--1------1=n

an+\a„an+la„

,11,

-----=1

a2q

11c11,c

------=2,-------=]+2+,••+H-1

<«3«24q

11,

-------=n-1

a„

11.+1n(n-l)〃2一〃+22

—=--1--------------=---1-

an42q22〃-〃+2

等差数列的前n项和S“=An2+Bn^—,B错.

an

，—1=2,数列｛〃-1｝是等差数列且前〃项和为7；=J-1,C对.

,2

〃N1,一〃+222,0<-......<1,。对.

一〃+2

11.【答案】CD

【解析】PM+NQ=2MN=4,PF—\+QF—1=4,，PF+QF=6

令尸（石,弘）,。（乙,%），；・M+1+%+1=6,...3+y2=4

对于A,B,乂+必=6不满足；对于C,D,乂+必=4满足条件，选C。

12.【答案】AD

3________1____3cos2400-sin240°

【解析】法一:

城协一府40°-sin240°cos240°

11+38。。）-；（1*80。）4+8c°s80。

过洋，选A,不选B

2

-sin800cos2100\-a~

4

由选项知C£)中选。，选4D.

_3__________1_______6_________2_

法二：原式一1一cos行-1+COS807-1—sinio°―l+sinio°

F2^

6+6sinl0°-2+2sinl0°4+8sinl（K4+8。

，A正确，8错;

（l-sinl00）（l+sinl0°）l-sin210°1-a2

sin30°=sin（3x10°）=3sinl00-4sin314*00=1,.\3a-4a3=；

6«_8/=1,.••士雪=驹巴+8〃=3刿=2)=32a,。正确，c错.

1-a1-a"］一矿

选：AD.

三、填空□:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】2①

7

【解析】a-c^a(3a-2b^3a2-2a-b^3-2xlx-^2

历/-E\_ac_2_277

6'侬("/)=丽=下=亍

14.【答案】l-2i

【解析】Z]=2+i,z2=—1+2i,zz,—Zyz-—-1—2i

Z2

15.

【答案】(&,+8)

士二%，七=3/加=内=3

【解析】

令kph=m,则kpB上+—

2mx-1x+12m

・・,渐近线的斜率m>,?.-^—+-^—>y[2

22x-\x+1

.•.二-+」-的取值范围+8).

X-]X+1\'

16.【答案】：，+8)

【解析】ae">Inr恒成立，axe">xlwc恒成立

令力(x)=xlnx,x>=Inx+1>0,//(x)在[1,+8)□

(x),eax2%,即ox2Inx,a>

x

/、liu“、1-lnr

g(x)=——，g(无)=—―=0,x=e

XX

g(x)在(l,e)口，(e,+e)口,^Wmax=1,.-.a>1.

四、解答□:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、口明口程或演算步□.

17.【解析】

,、sinAsinB+sinC

(1)------=---------------,z.sinAcosB+sinAcosC=sinBcosA+sinCcosA

cosAcosB+cosC

=>sinAcosB-cosAsinB=sinCcosA-cosCsiM

sin(A—3)=sin(C—A),/.A—3+C—A=或A—3=C—A=B+C=2A或C—8="(舍去

),7i—A=2AA.=—

(2)法一：设NAC3二。

CDAC

在口AC。中，0泊万一.(口乃、，①

sin—sin0——

6I6)

BCAC

在口ACB中，")，②

sin—sin0+Q

3I3)

csin\0|rr

①=2I3a

②.仁吟2

sin0——

I6j

1・A百A

-sinJ+「cos，

.22tan。=3M.sine==>sinZACD=

且sin6」cos。1414

22

ABBC

法二：设/ACB=e,在口43c中，而？=.兀,①

sin一

3

ABBD

在口中，.(左、一°；,、)，②

sin0Q——sin—

I6j2

csin(6-%],or—

①I6J4na/7,.n3V21..

---------------------=—T=tan。=3。3,・・sin。=-----=sin^zfACD

②sin。3614

18.【解析】

(1)若选①，由s=〃(〃+1)5+2),①

"6

,(n-\\n(n+\\…

〃N2时，S——U——L,②

"T6

G—3〃("+1)+\

①一②=a=——L=——\n>2)

n62

而q=S]=1也满足上式，；.an="(；+l)

12111、

(2)此时一=-^---^=2----------,

ann^n+i)[〃n+l)

十工11111In

(223nn+lJn+l

若选②，3SS.=(〃+2”“,①

〃22时，3s〃-l=(7?+l)a.T，②

①一②=>3%=(〃+2”“一(〃+1”“_|=>(«-1)«„=(/?+!)«„_1

a,.n+l

=-!!-=-(-〃--2)

《i〃T

a345tt+l

nI•••••以下同上.

123n-12

若选③，〃a“+[=3S“①

〃22时，(〃-l)a“=3S._i，②

①一②n〃a“+i-(〃一l)a“=3a〃=>〃%+]=(/z+2)a„(/?>2)

〃=1时由①知a2=3q也满足上式，,nan+l=(n+2)a“，同②

19.【解析】

£=2

a

a=1

23।

(1)由题意知＜----------1ZI><

a1h2b=6,双曲线C的方程为:%2

Q-2+〃i-2=C"23

V15°

x=----y-2J524厉A

（2）设尸（石,乂）,。（々,必），,3=>3-y-y+42=3

J

3x2—y2=3

n4y2-4厉y+9=(),△=16x15—16x9=16x6=96

\

OPOQ=xx+yy2

t2}2y一y2~+

7

8

M+必)+4=VF^+4=0

3+无2y+%

OP-0Q=0,OPJ_0Q,POQ外接圆圆心为而

2'2

"A考二詈考考一2二9.外接圆圆心为

直径为|PQ|,|PQlli+?|xfl

4,.'.半径r=2

：npoQ外接圆的方程为=4

20.【解析】

I2)

(1)当sin26=-sin。时，2sin6cos。=-sin^=>cos。=——,0=——

23

•/EG=不,设PE=AE=x,PG=BG=y,x+y=3,①

x2+y2-2xy-7=/+丁+孙=7,②

①2一②n孙=2,二.S,、PEG=~-\y,sin=二•近.AD=AD==—―

232177

(2)在口PEG中，PE=AE=x,PG=BG=y,x+y=3Q)

x2+y2-2xycos。=7②

।2sm纥。s®tan"

1

q；xysin。=2•"A。=>A。sing22__2

°PEG仞…旷凡+2叱丁而

c八/4八。万八八、1近

・「0<6<—,...()<—W—,0<tan—<1,(AZ))——产——

2242maxb7

21•【解析】

（i）当p„卜寸,

&=、ME=2,尸(1,0)

MF32V'

33

即方程：y=—a(x—])

34

y=——(x-l)=>x=——y+1J1628八)2…

<433—y—y+1+4y=12

3x2+4y2=12193)

282Q…279

y-8y-9=0,.-.yp-yN=--=>yw=

JZo14

914

S|_Xw.=­x—=7.

29

5yN

x+2

(2)设P(/，%)，，。(一/,-A。方程：x^-^—y-2

%

x=-%+2y-2G

。产方程：x=匕％y+l,<,°=>%=3%

%片上Ey+1

I%

PM方程：x=%」y+l,

为

x=—X。——-1y+1>2+2(%-1))+]