七年级数学竞赛培优-平面直角坐标系-含解析

平面直角坐标系【思维入门】1．如图3－11－1是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(0，0)表示新宁崀山的位置，用(1，5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为 ()图3－11－1A．(2，1) B．(0，1)C．(－2，－1) D．(－2，1)2．在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在第几象限 ()A．一 B．二C．三 D．四3．如图3－11－2，在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(5，0)，C(3，4)，D(－2，3)．求四边形ABCD的面积．图3－11－24．如图3－11－3，点A，B，C的坐标分别是(2，2)，(2，－1)，(0，－2)．(1)求线段AB的长及△ABC的面积；(2)若在直线AB上有一点M，且线段AM＝a(a>0)，求△BMC的面积．图3－11－3【思维拓展】5．在平面直角坐标系中有两点A(－2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点有()A．1个 B．2个 C．4个 D．6个6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，eq\r(3))，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．87．如图3－11－4，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有____个，写出其中一个点P的坐标是____．图3－11－48．如图3－11－5，已知坐标平面内的三个点A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)，求△ABO的面积．图3－11－5

【思维升华】9．如图3－11－6，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是____；点P2014的坐标是____．图3－11－610．如图3－11－7，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为____．图3－11－711．如图3－11－8，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称，….照此规律重复下去，则点P2013的坐标为____．图3－11－812．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为____，点A2014的坐标为____；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为____．平面直角坐标系【思维入门】1．如图3－11－1是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(0，0)表示新宁崀山的位置，用(1，5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为 (C)图3－11－1A．(2，1) B．(0，1)C．(－2，－1) D．(－2，1)2．在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在第几象限 (D)A．一 B．二C．三 D．四3．如图3－11－2，在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(5，0)，C(3，4)，D(－2，3)．求四边形ABCD的面积．图3－11－2解：作DE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如答图，四边形ABCD的面积＝S△ADE＋S四边形CDEF＋S△BCF＝eq\f(1,2)×1×3＋eq\f(1,2)×(3＋4)×(3＋2)＋eq\f(1,2)×2×4＝23.第3题答图4．如图3－11－3，点A，B，C的坐标分别是(2，2)，(2，－1)，(0，－2)．(1)求线段AB的长及△ABC的面积；(2)若在直线AB上有一点M，且线段AM＝a(a>0)，求△BMC的面积．图3－11－3解：(1)∵点A，B的坐标分别是(2，2)，(2，－1)，∴AB⊥x轴，∴AB＝2－(－1)＝3，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×2＝3.(2)当M点在BA的延长线上时，MB＝a＋3，△BMC的面积＝eq\f(1,2)×2×(a＋3)＝a＋3；当M点在线段AB上时，0<a<3，MB＝3－a，△BMC的面积＝eq\f(1,2)×2×(3－a)＝3－a；当M点在AB的延长线上时，a>3，MB＝a－3，△BMC的面积＝eq\f(1,2)×2×(a－3)＝a－3.【思维拓展】5．在平面直角坐标系中有两点A(－2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点有(D)A．1个 B．2个 C．4个 D．6个【解析】因为A，B的纵坐标相等，所以AB∥x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径作圆，可与坐标轴交于4点，所以满足条件的点共有6个．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，eq\r(3))，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为(C)A．4 B．5 C．6 D．8【解析】如答图，满足条件的点M的个数为6，分别为(－2，0)，(2，0)，(0，2eq\r(3))，(0，2)，(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).故选C.第6题答图7．如图3－11－4，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有__8__个，写出其中一个点P的坐标是__(0，6)，答案不唯一__．图3－11－48．如图3－11－5，已知坐标平面内的三个点A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)，求△ABO的面积．图3－11－5解：如答图，S△ABO＝S梯形ACDB＋S△BDO－S△ACO＝eq\f(1,2)×(1＋3)×(3－1)＋eq\f(1,2)×3×1－eq\f(1,2)×1×3＝4＋eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝4.第8题答图

【思维升华】9．如图3－11－6，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是__(8，3)__；点P2014的坐标是__(5，0)__．图3－11－6【解析】如答图，经过6次反弹后小球回到出发点(0，3)，第9题答图当点P第3次碰到矩形的边时，点P3的坐标为(8，3)；∵2014÷6＝335……4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P2014的坐标为(5，0)．10．如图3－11－7，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为__(2n，1)__．图3－11－7【解析】由图可知，n＝1时，4×1＋1＝5.点A5(2，1)，n＝2时，4×2＋1＝9，点A9(4，1)，n＝3时，4×3＋1＝13，点A13(6，1)，所以，点A4n＋1(2n，1)．11．如图3－11－8，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称，….照此规律重复下去，则点P2013的坐标为__(0，－2)__．图3－11－8【解析】点P1(2，0)，P2(－2，2)，P3(0，－2)，P4(2，2)，P5(－2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵eq\f(2013,6)＝335……3，∴点P2013的坐标为(0，－2)．12．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为__(－3，1)__，点A2014的坐标为__(0，4)__；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为__－1＜a＜1且0＜b＜2__．【解析】∵A1的坐标为(3，1)，∴A2(0，4)，A3(－3，1)，A4(0，－2)，A5(3，1)，…，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2014÷4＝503……2，∴点A20