高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题

1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangleABF_2$的周长为$10$。2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。5.$P$为双曲线$x^2/a^2-y^2/b^2=1$上一点，$F_1$为一个焦点，以$PF_1$为直径的圆与圆$x^2+y^2=a^2$的位置关系为内切。重点三：1.双曲线$mx^2+y^2=1$的虚轴长是实轴长的$2$倍，则$m=-\dfrac{1}{2}$。2.若抛物线$y=mx$的焦点与椭圆$26x^2+2y^2=1$有相同的焦点，则$m=-\dfrac{1}{2}$。3.椭圆$2x^2+y^2=1$与双曲线$2x^2-4mm^2y^2=1$有公共焦点，则$m\in(-\infty,-1)\cup(0,1)$。4.椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的焦点个数相同，则$ab=1$。1.若直线$y=kx+1$（$k\in\mathbb{R}$）与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$总有公共点，则实数$a$的取值范围是（）A．$0<a\leq1$B．$0<a<7$C．$1\leqa<7$D．$1<a\leq7$改写：若直线$y=kx+1$（$k\in\mathbb{R}$）与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有交点，则实数$a$的取值范围为（）A．$0<a\leq1$B．$0<a<7$C．$1\leqa<7$D．$1<a\leq7$2.设直线$l:2x+y+2=0$与椭圆$x^2+4y^2=4$的交点为$A,B$，点$P$为椭圆上的动点，则使$\trianglePAB$的面积为$\frac{1}{2}$的点$P$的个数为（）A.1B.2C.3D.4改写：设直线$l:2x+y+2=0$与椭圆$x^2+4y^2=4$的交点为$A,B$，点$P$为椭圆上的动点，则使$\trianglePAB$的面积为$\frac{1}{2}$的点$P$的个数为（）A.1B.2C.3D.4。3.右焦点交椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$于$A,B$，则$AB=1$。已知斜率为$1$的直线过椭圆的右焦点，则交点为$C$，求$AC$的长度。改写：右焦点交椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$于$A,B$，则$AB=1$。已知斜率为$1$的直线过椭圆的右焦点，则交点为$C$，求$AC$的长度。4.已知抛物线$y^2=2px(p>0)$的过焦点的弦为$AB$，$AB=5$，$\frac{x_A+x_B}{2}=3$，则$p=3$。若倾角为$\frac{\pi}{4}$的直线过抛物线$y^2=4x$的焦点且与抛物线相交于$M,N$两点，则$MN$长为多少？改写：已知抛物线$y^2=2px(p>0)$的过焦点的弦为$AB$，$AB=5$，$\frac{x_A+x_B}{2}=3$，则$p=3$。若倾角为$\frac{\pi}{4}$的直线过抛物线$y^2=4x$的焦点且与抛物线相交于$M,N$两点，则$MN$长为多少？5.椭圆$mx+ny=1$与直线$x+y-1=0$相交于$A,B$两点，弦$AB$的中点$C$与椭圆中心的连线$OC$的斜率为$\frac{n^2}{1}$。求$\frac{m}{n}$的值；若$AB=2\sqrt{2}$，求椭圆方程。改写：椭圆