矩阵的基本运算

关于矩阵的基本运算第1页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例如为同型矩阵.

同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应的元素相等,即则称矩阵A与矩阵B相等，记作1、运算定义&运算规则第2页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三

设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)

矩阵A与B的和记为AB

规定为AB(aijbij

)

即

矩阵的加法注

只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.第3页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三矩阵加法的运算规律

设A

B

C都是mn矩阵则

(1)ABBA

(2)(AB)CA(BC)

设矩阵A(aij)

记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵；另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如

(3)A=A+O=O+A

第4页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三矩阵的数乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.矩阵数乘的运算规律第5页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三矩阵乘法把此乘积记作

是一个s×n矩阵,

那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n

矩阵其中

设是一个m×s矩阵,例如

第6页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三求AB.例

若解第7页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.乘积AB维的关系=——A可左乘B的可相乘条件.第8页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三练习

计算下列矩阵的乘积，并观察结果.注两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数.第9页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三第10页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三第11页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三结论两个n

阶对角阵之积仍为n阶对角阵.

结论两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.

第12页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三注

矩阵乘法不满足交换律,即(左乘分配律)(右乘分配律)矩阵乘法的运算规律例如

设则

两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵第13页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？(1)AB有意义，但BA没意义；(2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.结论

在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序“左乘”&“右乘”但也有例外，比如设则有定义

满足AB=BA的矩阵称为可交换的.结论

两个同阶对角矩阵是可交换的.第14页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三EA=AE=A结论

n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即证明设为任意n阶矩阵,则有第15页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三注

矩阵乘法不满足消去律，即例如

设有则但是注

该例也说明注

此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当.

即第16页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三并且若A是n

阶方阵,则Ak为A的定义

(方阵的幂次)的k次幂,即

定义

(方阵的多项式)注

显然只有方阵的幂才有意义

第17页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三解例

由此归纳出第18页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三用数学归纳法证明:假设k=n时成立,则k=n+1

时,例

解归纳出第19页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三所以对于任意的k都有第20页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三转置矩阵（transpose）把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作例转置矩阵的运算规律转置运算对乘积的去括号法则第21页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三解1例

已知解2第22页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三定义

(对称阵)设A为n阶方阵,如果满足

，那么A称为对称阵.即注

对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即

aii=0

是3阶反对称矩阵.例如第23页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三证例

设列矩阵满足第24页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例证

命题得证.显然C为对称矩阵,B为反对称矩阵.第25页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三2、矩阵应用举例例（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原点O经逆时针方向转过角α后成为Ox'y'(如图)，任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为和,它们有如下关系：xOx′y′yAα写成矩阵形式，记为过渡矩阵第26