等腰三角形的性质与判定

关于等腰三角形的性质与判定第1页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三1.如图，在△ABC中，（1）如果AB=AC，可得

,（2）如果∠B=∠C，可得

,∠B=∠CAB=AC预习检测☞2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。

ABC10cm或11cm19cm35°，35°第2页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。学习目标第3页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三4.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？

回顾与思考☞2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下下列几个问题：(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）(2)等腰三角形有哪些性质？等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的三线合一）。3.上述性质你是怎么得到的？轴对称的性质第4页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三合作与探究证明：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作顶角的平分线（2）作底边上的中线；ABCD12第5页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三证明：等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．ABCD怎么想怎么写要证∠B＝∠C．

只需证△ABD≌△ACD只需有 AB＝AC

∠

BAD＝

∠CADAD＝AD合作与探究第6页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D

D根据以上证明，我们还可以得到什么结论？结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。ＡＢＣ已知：求证：△ABC中，AB＝AC∠Ｂ＝∠Ｃ即得到AD⊥BC和BD=CD

AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已证) AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴∠BAD=∠CAD(角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵第7页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三ＡＢＣ已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠Ｂ＝∠Ｃ证明：作BC边上的中线

AD

D

AB=AC(已知) BD=CD（已证）

AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴BD=CD(中线定义)∵在△BAD与△CAD中即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC根据以上证明，我们还可以得到什么结论？等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边。第8页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（

）∴∠B=∠C(

）已知等边对等角通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。符号表示：第9页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三通过证明我们不仅发现等要三角形的两底角相等成立，而且还得到如下结论也是成立的成立的。等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).交流与发现这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！第10页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD12性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).∟符号语言⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.图⑴∟∥12第11页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三

写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，如何证明这个逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

交流与发现如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.

(简称“等角对等边”).第12页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三ABC求证：AB=AC.已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.D证明：作AD⊥BC,垂足为D,∠ADB=∠ADC=90°(已证)，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)∠B=∠C(已知)，AD=AD(公共边)，∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∟如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）则∠ADB=∠ADC=90第13页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）CBA符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C

（

）∴AC=AB(等角对等边）已知第14页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三例题解析例1.已知：如图：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求证：AB=AC.ABCDE证明：（已知）（角平分线定义）（已知）（二直线平行，同位角相等）（二直线平行，内错角相等）（等量代换）（等角对等边）第15页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三例2.求证：等边三角形的每个内角都等于60°.ABC证明：（已知）（等要三角形的两个底角相等）（等式的性质）（三角形的内角和定理）（等量代换）（等式的性质）第16页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三

如果一个三角形的每个内角都等于600，那么这个三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理：如果一个三角形的两个内角都等于600，那么这个三角形是等边三角形。逆命题是真命题：逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题.交流与探索

思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？第17页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三练习CBAD（1）第18页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三名称图形概念性质与边角关系

判定

等腰三角形ABC有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等边对等角,3.三线合一。4.是轴对称图形.2.等角对等边,1.两边相等。1.两腰相等.小结第19页，讲稿共21页，2023年5月2日，星期三小结

在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形。等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明