材料力学课件第五章弯曲应力

§5–1引言

(Introduction)§5–2梁的正应力及强度条件

(Normalstressesinbeamsandstrengthcondition)§5–3梁的切应力及强度条件

(ShearStressesinbeamsandstrengthcondition)§5–4非对称截面梁的平面弯曲

(Planebendingofunsymmetricalbeams

开口薄壁截面的弯曲中心

(Shearcenterofopenthin-wallsections)§5–5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)第五章弯曲应力(Stressesinbeams)如何简化出火车轮轴的计算模型？如何计算火车轮轴内的应力？如何计设计车轮轴的横截面？mmFSM当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩

M

，又有剪力

FS

。只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力mmFSmmM剪力FS

切应力t弯矩M正应力s内力所以，在梁的横截面上一般既有正应力(normal

stresses)，又有切应力(shearStresses)PPaaCDAB+-PP+P.a

简支梁

CD

段的特点：其任一横截面上：剪力等于零，而弯矩为常量。若梁在某段内各横截面的弯矩为常量

，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(purebending)。纯弯曲（purebending)图5-1AB纯弯曲工程实例FFaaCDFa++-FF——横力弯曲(TransverseBending)

——横截面上只有σ——横截面上既有σ又有τABCD段弯矩为常量剪力为零；——纯弯曲(PureBending)AC、BD段有剪力，有弯矩ABMN2Fdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5–2梁的正应力及强度条件

(Normalstressesinbeamsandstrengthcondition)一、纯弯曲时梁横截面上的正应力(NormalStressesoftheBeaminPureBending)伽利略做木梁实验的装置伽利略电子万能实验机进行纯弯曲梁实验

实验室纯弯曲梁实验的装置纯弯曲梁加载过程1、实验（Experiment）（1）变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,

仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线θ（2）提出假设

(Assumptions）平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线.(b)单向受力假设

纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.NeutralsurfaceNeutralaxisSymmetricalaxisofCrossSectionFig5-3推论（Inference）:

横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长，由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段无长度改变。此层称为中性层

(Neutralsurface)。中性层与横截面的交线称为中性轴(neutralaxis).观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴2、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx图（c）yρzyxo’o’b’b’dx图（b）yyzbbooxo观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴3、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??中性轴M中性层中性轴横截面横截面的对称轴1、中性轴的位置（Locationoftheneutralaxis)2、中性层的曲率半径

(Curvatureradiusoftheneutralsurface)?观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴yzxOMdAzyσdA4、静力关系

(Staticrelationship）

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量(1)(2)(3)中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题FNMzMy(1)(2)(3)中性轴通过横截面形心将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题：将应力表达式代入(3)式，得自然满足观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心M

横截面上的弯矩(bendingmomentinthebeam)该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y

求应力的点到中性轴的距离

(distancefromtheneutralaxisofthebeamtothefibers)式中:横截面对中性轴的惯性矩(momentofinertiaofthecrosssectionofthebeam)Iz(FlexureFormula)伽利略（G.Galiieo,1564-1642）的研究中认为：弯曲应力是均匀分布的（《两门新科学的对话》1638年出版)，因而得不到正确的公式，大科学家有时也弄错。yyZCZ中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。M拉压M拉压yyZCZ中性轴CC讨论

应用公式时，一般将M，y以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断的正，负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（为正号）。凹入边的应力为压应力，（为负号）。最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处（Themaximumtensileandcompressivestressesinthebeamoccurfarthestfromtheneutralaxis）.1)当中性轴为对称轴时(Thecrosssectionssymmetricalabouttheneutralaxis):yZCWZ称为抗弯截面模量矩形截面实心圆截面空心圆截面型钢可查型钢表或用组合法求bhzyzdyzDdybhzyzy应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式2)对于中性轴不是对称轴的横截面

(Thecrosssectionsunsymmetricalabouttheneutralaxis):求得相应的最大正应力MzyM横力弯曲正应力引用记号则公式改写为——抗弯截面系数二、横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeamintransversebending)

横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力,平面假设和单向受力假设都不成立。横力弯曲最大正应力矩形截面实心圆截面空心圆截面型钢可查型钢表或用组合法求bhzyzdyzDdybhzy等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为三、公式的应用范围

(TheApplicableRangeoftheFlexureFormula）:

1、

（在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)

2、具有切应力的梁（thebeamwiththeshearstress）3、平面弯曲（Planebending）4、直梁（Straightbeams）四、强度条件（strengthcondition)：

梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1、数学表达式（mathematicalformula)2、强度条件的应用(applicationofstrengthcondition)(2)设计截面(1)强度校核(3)确定许可核载对于铸铁等

脆性材料

(brittlematerials)制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴(neutralaxis)

一般也不是对称轴，所以梁的要求分别不超过材料的

许用拉应力(allowabletensilestress)

和

许用压应力

(allowablecompressivestress)

。=140MPaand

Example1:

AnoverhangingbeamABCisloadedandsupportedasshowninFig1(a),thesizesofthecrosssectionasshowninFig1(b).Determinetheallowableloadonthebeamifa=50mm.2aaxABCRARBFFig1(a)20z301(b)Solution:1)fromarriveat+PaM例题2：由n片薄片组成的梁lFZbh当每片间的摩擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲lFZbh近似地认为每片上承担的外力等于每一薄片中的最大正应力等于lFZbhlFZbh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

（1）切应力与剪力平行；

（2）距中性轴等距离处，切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。

（1）在梁上取微段如图b；

（2）在微段上取一块如图c，平衡dxxFs(x)+dFs(x)M(x)yM(x)+dM(x)Fs(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图cdxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzst1tb图a图b图c由切应力互等Fs切应力方向：与横截面上剪力方向相同；切应力大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Fs为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；2、几种常见截面的最大弯曲切应力

Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大切应力Af—腹板的面积。;»maxAFstf？翼缘同腹板相比起什么作用？

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：exyzPQeQeh§5-4

梁的正应力和切应力强度条件•

梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和切应力强度条件2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts4、需要校核切应力的几种特殊情况：（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时（如腹板较薄而厚度偏大时），要校核切应力。（1）梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核切应力。（3）各向异性材料(如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：例3悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。（1）画梁的剪力图和弯矩图（2）按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：目录4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为目录y1y2GA1A2解（1）画弯矩图并求危面内力例4

T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD+