组合数学克鲁斯卡尔定理的证明

关于组合数学克鲁斯卡尔定理的证明第1页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三如何证明假设:这个算法终止于T有n-1条边那么根据定理3.20：假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G没有回路且n=e+1.证明T是一棵树，是G的一棵支撑树。因此，G是连通的图若算法将终止于没有找到有n-1条边的集合T。则G是非连通的图

第2页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三分为两部分证明 1.当G为连通图时 2.当G为非连通图时第3页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三定理13.1：

如果G是n个顶点的联通网络，Kruskal算法将终止于一个有n-1条边的最小支撑树T。

如果G是非连通网络，那么算法在检查所有边之后，T中仍没有n-1条边，这时它将停止并输出G是非连通的信息。证明思想：1.若G是连通的： (1)证明这个算法的确给出的是支撑树 (2)证明这个支撑树是最小的。2.若G是非连通的

证明算法终止时没有给出有n-1条边的T第4页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三证明：

1.当G为连通的(1)若算法给出有n-1条边的T那么根据定理3.16：假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G是连通的且n=e+1.则能证明算法给出的T是支撑树第5页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三(2)想要证明Kruskal生成的支撑树T是最小支撑树125463569191126211234565611141414181616要证明支撑树T是最小的。反证法:假设T不是最小支撑树假设S是G的一棵最小支撑树S≠T第6页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三e1(x,y):为第一条在T中而不在S中的边这时会出现两种情况情况1：e1的权值>e2的权值情况2：e1的权值<e2的权值Kruskal生成的支撑树T12546314165611e1假设的最小支撑树S125463141656e2xyXYS中存在一条简单链C(x,y),与e1(x,y)构成回路在链C(x,y)中存在一条在S中但不在T中的边e2第7页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三情况1：e2的权值<e1的权值12546314165611e1Kruskal生成的支撑树T125463141656假设的最小支撑树S9e2因为e1是第一条在T中但不在S中的边所以T中在e1之前被找到的边也一定在S中出现既然e2<e1，为什么T选择了e1却没选择e2因为e2与e1之前出现的边形成了回路，所以T选择了边e1因为S是支撑树，S中不能有回路所以与假设矛盾那么情况1不成立第8页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三情况2：e1的权值<e2的权值S′:是从S中去除边e2，加上边e1的边的集合S′=S-e2+e1(权值)125463141656125463141656假设的最小支撑树S125463141656e2125463141656125463141656支撑树S’125463141656e2e1第9页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三情况2：e1的权值<e2的权值S′=S-e2+e1(权值)125463141656125463141656假设的最小支撑树S125463141656e2125463141656125463141656支撑树S’125463141656又因为S是最小支撑树所以S’权值和=S权值和所以S’就是最小支撑树因为S为最小支撑树所以e2的权值至少与e1的权值一样大e1情况2：e1的权值≤e2的权值因为e2≥e1(权值)所以S’的权值和<=S的权值和第10页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三情况2：e1的权值<e2的权值≤125463141656125463141656125463141656125463141656e1支撑树S’Kruskal生成的支撑树T11e1图中，支撑树S’与Kruskal生成的支撑树T相同就可以证明T是最小支撑树。这是当T=S’的情况，证明完毕。11第11页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三当T≠S’时，再继续找第一条在T中但不在S’中的边e1’不在T中但在S’中的边e2’S”=S’-e2’+e1’按照以上的方式重复做，直到找到T=S”为止1254631416561254631416561254636125463141656e1支撑树S’Kruskal生成的支撑树T11e1情况2：e1的权值<e2的权值≤11第12页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三2.若G是非连通的：若这个算法终止时没有给出有n-1条边的T反证法：假设G是连通的

∵T中的边数少于n-1条 ∴T至少有两个分支又∵G是连通的 ∴G中存在一条连接T的两个不同分支中的顶点的边{x,y}

∵