2021年重庆市中考数学真题试卷(学生版+解析版)(b卷)

第1页（共32页）2021年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）3的相反数是（）A．3B．13C．﹣3D．−132．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算x4÷x结果正确的是（）A．x4B．x3第1页（共32页）2021年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）3的相反数是（）A．3B．13C．﹣3D．−132．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算x4÷x结果正确的是（）A．x4B．x3C．x2D．x4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（）A．2：1B．1：2C．3：1D．1：35．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）第2页（共32页）A．70°B．90°C．40°D．60°6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．5√7−2√7=21B．2+√2=2√2C．√3×√6=3√2D．√15÷√5=37．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（）A．小明家距图书馆3kmB．小明在图书馆阅读时间为2hC．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD．小明去图书馆的速度比回家时的速度快8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB第2页（共32页）A．70°B．90°C．40°D．60°6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．5√7−2√7=21B．2+√2=2√2C．√3×√6=3√2D．√15÷√5=37．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（）A．小明家距图书馆3kmB．小明在图书馆阅读时间为2hC．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD．小明去图书馆的速度比回家时的速度快8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D9．（4分）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（）第3页（共32页）A．60°B．65°C．75°D．80°10．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米第3页（共32页）A．60°B．65°C．75°D．80°10．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米11．（4分）关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组{2有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣212．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=ᵅᵆ（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（）第4页（共32页）A．125B．32C．2D．3二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）计算：√9−（π﹣1）0＝．14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是．15．（4分）方程2（x﹣3）＝6的解是．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线第4页（共32页）A．125B．32C．2D．3二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）计算：√9−（π﹣1）0＝．14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是．15．（4分）方程2（x﹣3）＝6的解是．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，12AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为．第5页（共32页）18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10第5页（共32页）18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）计算：（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；（2）ᵆ2+2ᵆ+1÷（x+3−ᵆ2ᵆ+1）．ᵆ2−920．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b第6页（共32页）优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．21．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…第6页（共32页）优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．21．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y=16ᵆ的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣第7页（共32页）2x+6|+m＞16ᵆ的解集．23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面第7页（共32页）2x+6|+m＞16ᵆ的解集．23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低34a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加52a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加511a%．求a的值．24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位第8页（共32页）上的数字之和能被9整除时，记F（n）=ᵅ3．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C第8页（共32页）上的数字之和能被9整除时，记F（n）=ᵅ3．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4√2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH=√3BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连第9页（共32页）接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN第9页（共32页）接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN的面积．第10页（共32页）2021年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）3的相反数是（）A．3B．13C．﹣3D．−13【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：C．2．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5第10页（共32页）2021年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）3的相反数是（）A．3B．13C．﹣3D．−13【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：C．2．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5，故选：A．3．（4分）计算x4÷x结果正确的是（）A．x4B．x3C．x2D．x【解答】解：原式＝x4﹣1＝x3，故选：B．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（）第11页（共32页）A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，故选：D．5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．5√7−2√7=21B．2+√2=2√2C．√3×√6=3√2D．√15÷√5=3【解答】解：A．5√7−2√7=3√7，此选项计算错误；B．2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．√3×√6=√3第11页（共32页）A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，故选：D．5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．5√7−2√7=21B．2+√2=2√2C．√3×√6=3√2D．√15÷√5=3【解答】解：A．5√7−2√7=3√7，此选项计算错误；B．2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．√3×√6=√3×√3×√2=3√2，此选项计算正确；D．√15÷√5=√15÷5=√3，此选项计算错误；故选：C．7．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（）第12页（共32页）A．小明家距图书馆3kmB．小明在图书馆阅读时间为2hC．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD．小明去图书馆的速度比回家时的速度快【解答】解：由图象知：A．小明家距图书馆3km，正确；B．小明在图书馆阅读时间为3﹣1＝2小时，正确；C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；D．因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意．故选：D．8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DC第12页（共32页）A．小明家距图书馆3kmB．小明在图书馆阅读时间为2hC．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD．小明去图书馆的速度比回家时的速度快【解答】解：由图象知：A．小明家距图书馆3km，正确；B．小明在图书馆阅读时间为3﹣1＝2小时，正确；C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；D．因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意．故选：D．8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D【解答】解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故A能证明；B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），故C能证明；第13页（共32页）D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．9．（4分）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP第13页（共32页）D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．9．（4分）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．80°【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP=12ᵄᵄ=ᵄᵄ，∵∠PMN＝30°，∴∠MPO＝30°，∴∠DPM＝150°，在四边形ADPM中，∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM＝360°﹣90°﹣45°﹣150°＝75°．故选：C．10．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）第14页（共32页）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50，∴CE＝120，∵BC＝150，∴BE＝150﹣120＝30，∴AB＝tan50°×30+50＝85.7（米）．故选：D．11．（4分）关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组{2有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【解答】解：关于第14页（共32页）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50，∴CE＝120，∵BC＝150，∴BE＝150﹣120＝30，∴AB＝tan50°×30+50＝85.7（米）．故选：D．11．（4分）关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组{2有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【解答】解：关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ的解为x=6ᵄ+4．∵关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ的解为正数，∴a+4＞0．∴a＞﹣4．∵关于x的分式方程ᵄᵆ−3ᵆ−2+1=3ᵆ−12−ᵆ有可能产生增根2，∴6ᵄ+4≠2．∴a≠﹣1．解关于y的一元一次不等式组{2ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1得：第15页（共32页）ᵆ≤0{ᵆ＞ᵄ−2．∵关于y的一元一次不等式组{2ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1有解，∴a﹣2＜0．∴a＜2．综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1．∴满足条件的整数a第15页（共32页）ᵆ≤0{ᵆ＞ᵄ−2．∵关于y的一元一次不等式组{2ᵆ+2＞ᵄ3ᵆ−2≤ᵆ−1有解，∴a﹣2＜0．∴a＜2．综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1．∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4．故选：B．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=ᵅᵆ（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（）A．125B．32C．2D．3【解答】解：设A（a，0），∵矩形ABCD，∴D（a，ᵅᵄ），∵矩形ABCD，E为AC的中点，则E也为BD的中点，∵点B在x轴上，∴E的纵坐标为ᵅ2ᵄ，第16页（共32页）∴ᵃ(2ᵄ，ᵅ2ᵄ)，∵E为AC的中点，∴点C（3a，ᵅᵄ），∴点F（3a，ᵅ3ᵄ），∵△AEF的面积为1，AE＝EC，∴S△ACF＝2，∴12×(ᵅᵄ−ᵅ3ᵄ)×2ᵄ=2，解得：k＝3．故选：D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）计算：√9−（π﹣1）0＝2．【解答】解：原式＝3﹣1＝2．故答案为：2．14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是49．【解答】解：列表如下黑白白第16页（共32页）∴ᵃ(2ᵄ，ᵅ2ᵄ)，∵E为AC的中点，∴点C（3a，ᵅᵄ），∴点F（3a，ᵅ3ᵄ），∵△AEF的面积为1，AE＝EC，∴S△ACF＝2，∴12×(ᵅᵄ−ᵅ3ᵄ)×2ᵄ=2，解得：k＝3．故选：D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）计算：√9−（π﹣1）0＝2．【解答】解：原式＝3﹣1＝2．故答案为：2．14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是49．【解答】解：列表如下黑白白黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，所以前后两次摸出的球都是白球的概率为49，故答案为：49．15．（4分）方程2（x﹣3）＝6的解是x＝6．【解答】解：方程两边同除以2得：第17页（共32页）x﹣3＝3．移项，合并同类项得：x＝6．故答案为：x＝6．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，12AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣25π．（结果保留π）【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴ᵃᵃ=√(12ᵃᵃ)2+(12ᵃᵃ)2=10．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以12AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积=12×12×16﹣π×52＝96﹣25π．故答案为：96﹣25π．第17页（共32页）x﹣3＝3．移项，合并同类项得：x＝6．故答案为：x＝6．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，12AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣25π．（结果保留π）【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴ᵃᵃ=√(12ᵃᵃ)2+(12ᵃᵃ)2=10．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以12AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积=12×12×16﹣π×52＝96﹣25π．故答案为：96﹣25π．17．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为3．【解答】解：由题意可得，△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，第18页（共32页）∴点O为CC′的中点，∵点D为BC的中点，∴OD是△BCC′的中位线，∴OD=12BC′，OD∥BC′，∴∠COD＝∠EC′B＝90°，∵AE＝BE，BC′＝2，∴OD＝1，在△EC′B和△EOA中，{∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵄᵃᵃ∠ᵃᵃ′ᵃ=∠ᵃᵄᵃᵃᵃ=ᵃᵃ，∴△EC′B≌△EOA（AAS），∴BC′＝AO，∴AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，故答案为：3．18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共第18页（共32页）∴点O为CC′的中点，∵点D为BC的中点，∴OD是△BCC′的中位线，∴OD=12BC′，OD∥BC′，∴∠COD＝∠EC′B＝90°，∵AE＝BE，BC′＝2，∴OD＝1，在△EC′B和△EOA中，{∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵄᵃᵃ∠ᵃᵃ′ᵃ=∠ᵃᵄᵃᵃᵃ=ᵃᵃ，∴△EC′B≌△EOA（AAS），∴BC′＝AO，∴AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，故答案为：3．18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为155元．【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，∴B盒中有多接口优盘10×12=5（个），蓝牙耳机有5×33+2=3（个），迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（个），第19页（共32页）设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，由题知：{2ᵄ+3ᵄ+ᵅ=145①3ᵄ+5ᵄ+2ᵅ=245②，∵①×2﹣②得：a+b＝45，②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），故答案为：155．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）计算：（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；（2）ᵆ2+2ᵆ+1÷（x+3−ᵆ2ᵆ+1）．ᵆ2−9【解答】解：（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2＝3a2+ab+b2；2（2）原式=(ᵆ+3)(ᵆ−3)(ᵆ+1)2第19页（共32页）设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，由题知：{2ᵄ+3ᵄ+ᵅ=145①3ᵄ+5ᵄ+2ᵅ=245②，∵①×2﹣②得：a+b＝45，②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），故答案为：155．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）计算：（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；（2）ᵆ2+2ᵆ+1÷（x+3−ᵆ2ᵆ+1）．ᵆ2−9【解答】解：（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2＝3a2+ab+b2；2（2）原式=(ᵆ+3)(ᵆ−3)(ᵆ+1)2÷（ᵆ+ᵆᵆ+1+3−ᵆ2ᵆ+1）=(ᵆ+3)(ᵆ−3)(ᵆ+1)2÷ᵆ+3ᵆ+1=(ᵆ+3)(ᵆ−3)(ᵆ+1)2•ᵆ+1ᵆ+3=ᵆ−3ᵆ+1．20．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9第20页（共32页）众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝8，b＝9；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．∴中位数a＝8．根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．故答案为：8；9．（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数=1720第20页（共32页）众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝8，b＝9；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．∴中位数a＝8．根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．故答案为：8；9．（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数=1720×100%×120=102（人）．（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．21．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图：第21页（共32页）猜想：DF＝3BF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形．∴OA＝OC，OD＝OB．∵AC＝2AB．∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BC交于点E．∴BF＝FO．∴DF＝3BF．22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出第21页（共32页）猜想：DF＝3BF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形．∴OA＝OC，OD＝OB．∵AC＝2AB．∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BC交于点E．∴BF＝FO．∴DF＝3BF．22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：当x＝3时函数有最小值y＝1；（3）已知函数y=16ᵆ的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞16ᵆ的解集．第22页（共32页）【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，解得：m＝﹣2，即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3第22页（共32页）【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，解得：m＝﹣2，即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y=16ᵆ的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞16ᵆ成立，∴x＜0或x＞4．第23页（共32页）23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格第23页（共32页）23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低34a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加52a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加511a%．求a的值．【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据题意得：{3ᵆ+2ᵆ=314ᵆ+ᵆ=33，解得：{ᵆ=7ᵆ=5，答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；（2）由题意得：4500×7+2500（1+5a%）×5（1−3a%）＝（4500×7+2500×5）（1+52411a%），设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+52m）（1−34m）＝（9×7+25）（1+511m），375m2﹣30m＝0，第24页（共32页）m（25m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍），m2=225，∴a＝8．24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）=ᵅ第24页（共32页）m（25m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍），m2=225，∴a＝8．24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）=ᵅ3．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．【解答】解：（1）∵5+3＝2×（3+1），∴5313是”共生数“，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生数”；（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），设n的百位上的数字为b，∵个位和百位都是0﹣9的数字，∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；∴F（n）=1000ᵄ+100ᵄ+20ᵄ+9−ᵄ3=340a+33b+3，由于n是“共生数”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情况有：{ᵄ=1ᵄ=2，{ᵄ=2ᵄ=1，{ᵄ=3ᵄ=0，第25页（共32页）∴n的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有2148和3069，∴n的值是2148或3069．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y第25页（共32页）∴n的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有2148和3069，∴n的值是2148或3069．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4√2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得{ᵄ−ᵄ−4=016ᵄ+4ᵄ−4=0，∴{ᵄ=1ᵄ=−3，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），第26页（共32页）∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设P（m，m2﹣3m﹣4），作PE∥y轴交直线AD于E，∴E（m，﹣m﹣1），∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△APD=12×ᵄᵃ×4=2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，当m=−2×(−2)=1第26页（共32页）∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设P（m，m2﹣3m﹣4），作PE∥y轴交直线AD于E，∴E（m，﹣m﹣1），∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△APD=12×ᵄᵃ×4=2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，当m=−2×(−2)=1时，S△APD最大为＝8，4（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴沿AD方向平移4√2，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵P（1，﹣6），∴E（5，﹣10），抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：直线x=112，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为152，代入y1＝x2﹣11x+20得y=−254，第27页（共32页）∴ᵃ(152，−254)，若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为72，代入y1＝x2﹣11x+20得y=−254，∴ᵃ(72，−254)，若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则第27页（共32页）∴ᵃ(152，−254)，若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为72，代入y1＝x2﹣11x+20得y=−254，∴ᵃ(72，−254)，若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，∴G的横坐标为52，代入y1＝x2﹣11x+20得y=−54，∴ᵃ(52，−54)∴G（52，−54）或G（72，−254）或G（152，−254），第28页（共32页）四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点第28页（共32页）四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH=√3BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN的面积．【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，第29页（共32页）∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC=12∠ABC＝30°，CD=12AC=12AB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△BDC中，CF=ᵅᵅᵆ∠ᵃᵃᵃ=ᵅᵅᵆ30°=2√3，ᵃᵃ3∴GF＝2√3，Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°=32，CH＝CD•cos30