九年级中考数学压轴题训练旋转运动类综合题

中考数学压轴题训练旋转运动类综合题

1.如图，在AABM中，AABC=90°,延长BM使BC=BA,线段CM绕点C顺时

针旋转90。得到线段CD,连接DM,AD.

⑴依据题意补全图形；

⑵当乙BAM=15°时，LAMD的度数是；

(3)小聪通过画图、测量发现，当乙4MB是一定度数时，AM=MD.

小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE,

就易证△ABM丝△AED,因此易得当/.AMD是特殊值时，问题得证；

想法2：要证AM=MD,通过第(2)问，可知只需要证明△AMD是等边三

角形，通过构造平行四边形CDAF,易证AD=CF,通过△ABM丝ACBF,易

证AM=CF,从而解决问题；

想法3:通过BC=BA,/.ABC=90°,连接AC,易证易得

^AMD是等腰三角形，因此当^AMD是特殊值时，问题得证.

请你参考上面的想法，帮助小聪证明当^AMB是一定度数时，AM=MD.(一

种方法即可)

2.在AABC中，AB=BC,^ABC=90°,将线段AB绕点A逆时针旋转cr(0°<a<

90°)得到线段AD.作射线BD,点C关于射线BD的对称点为点E.连接AE,

CE.

备用图

(1)依题意补全图形；

(2)若a=20。，直接写出4AEC的度数；

(3)写出一个a的值，使赫=近时，线段CE的长为V3-1.并证明.

3.解答下列问题.

(1)【问题探究】如图1,有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG,

AE<AB,连接BE与DG,请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关

系和位置关系，并请说明理由.

(2)【理解应用】如图2,有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG,

AE<AB,AB=10,将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当乙ABE=

15°,且点D,E,G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长.

(3)【拓展应用】如图3,有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG,AD=

4m，4B=4V^,AG=4,AE=4^.将矩形AEFG绕点A在平面内任意

旋转，连接BD,DE,点M,N分别是BD,DE的中点，连接MN,当点D,

E,G三点在同一条直线上时,请直接写出MN的长.

C

4.如图，正方形ABCD中，点P在BC边上，连接AP,将线段PA绕点P顺时针

旋转90。得到线段PE,过点E作EFLBC,分别交直线BC,AC于点F,G.

⑴依题意补全图形.

(2)求证：BP=EF.

(3)连接PG,CE,用等式表示线段PG,CE,CD之间的数量关系，并证明.

5.在平面直角坐标系中，。为原点，点4(1,0),点B(0,V3),把△AB。绕点。顺时

针旋转,得△4B'。，记旋转角为a.

(1)如图①，当a=30°时，求点B'的坐标；

(2)设直线AA'与直线BB,相交于点M.

(i)如图②，当a=90时，求点M的坐标；

(ii)点C(-l,0).求线段CM长的最小值(直接写出结果即可).

6.探究：如图1和图2,四边形ABCD中，已知AB=AD,^BAD=90°,点E,F

分别在BC,CD上，^EAF=45°.

(1)①如图1,若4B,^ADC都是直角，把AABE绕点A逆时针旋转90°至

AADG,使AB与AD重合，直接写出线段BE,DF和EF之间的数量关系;

②如图2,若乙B,乙D都不是直角，则当乙B与ZD满足关系时，线

段BE,DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程:

(2)拓展：如图3,在△ABC中，NB4C=90。，AB=AC=2五,点D,E均在

边BC上，且/.DAE=45°,若BD=1,求DE的长.

7.已知线段AB,过点A的射线11AB.在射线I上截取线段AC=AB,连接BC,

点M为BC的中点.点P为4B边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点

P为旋转中心，将4BPN逆时针旋转90。得到4DPE,B的对应点为D,N的

对应点为E.

(1)当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，

①据题意在图中补全图形；

②证明：以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形.

/B

(2)连接EM.若4B=4,从下列3个条件中选择1个：

①BP=1；

(2)PN=1；

③BN=V2,

当条件一(填入序号)满足时，一定有EM=EA,并证明这个结论.

8.如图，在XABC中，44=90。，AB=4C,点。是BC上任意一点，将线段AD

绕点A逆时针方向旋转90。，得到线段AE,连接EC.

备用图

⑴依题意补全图形；

(2)求乙ECD的度数；

(3)若ACAE=7.5°,AD=1,将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长

线于点F,请写出求AF长的思路.

9.解答下列问题.

(1)【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：

如图1,点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3.你能求出

乙APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将4BPC绕点B逆时针旋转90°,得到4BPA,连接PP,,求出

乙4PB的度数；

思路二：将AAPB绕点B顺时针旋转90。，得到连接PP',求出

/-APB的度数.

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

(2)【类比探究】

如图2,若点P是正方形ABCD外一点，P4=3,PB=1,PC=VT1.求

乙APB的度数.

10.以平面上一点。为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作4AOB和△COD,

其中AABO=乙DCO=30°.

(1)点E,F,M分别是AC,CD,DB的中点，连接FM,EM

①如图1,当点D,C分别在4。，B0的延长线上时，霁=；

②如图2,将图1中的&AOB绕点。沿顺时针方向旋转a角(0。<。<

。)，其他条件不变，判断器的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

60EM

(2)如图3,若BO=3V5，点N在线段0D上，且N0=2.点P是线段AB

上的一个动点，在将AAOB绕点。旋转的过程中，线段PN长度的最小值

为，最大值为•

11.已知，正方形ABCD的边长为4,点E是对角线BD延长线上一点，AE=

BD.将△力BE绕点A顺时针旋转a(00<a<360°)得到△AB'E',点、B,E

的对应点分别为B',E'.

(1)如图1,当a=30。时，求证：B'C=DE;

(2)时，请在图2中补全图形，并求出a的值:

(3)如图3,点P为AB的中点，点Q为线段BE,上任意一点，试探究：在

此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为.

12.如图，抛物线y=-^x2+bx+c交x轴于点4(—2,0)和点8,交y轴于点

C(0,3),点。是x轴上一动点，连接CD,将线段CD绕点D旋转得到DE,过

点E作直线ILX轴，垂足为H,过点C作CF1,于F,连接DF.

(2)若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90。得到，求线段DF的长；

⑶若线段DE是CD绕点D旋转90。得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点

E的坐标.

13.请回答：

(1)【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD内

一点，P4=l,PB=2,PC=3.你能求出乙4PB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将ABPC绕点B逆时针旋转90。，得到△BP’4,连接PP',求出

乙APB的度数；

思路二：将AAPB绕点B顺时针旋转90°,得到4CP'B.连接PP'，求出

乙APB的度数.

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

⑵【类比探究】

如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,=VTT.求

乙APB