江苏省苏州市通安中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

江苏省苏州市通安中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线参考答案：A【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．【解答】解：极坐标方程ρ=cosθ即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=x，即

，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．2.若命题“”为假，且“”为假，则A．“”为假

B假

C．真

D．不能判断的真假参考答案：B3.某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（

）A.0.0999 B.0.00999 C.0.01 D.0.001参考答案：B【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果．【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B.【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．4.函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是A.20

B.18

C.3

D.0参考答案：A5.已知a，b∈R，i为虚数单位，且a﹣3i=2+bi，则复数z=a+bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵a﹣3i=2+bi，a，b∈R，∴a=2，b=﹣3．则复数z=a+bi=2﹣3i在复平面上对应的点（2，﹣3）在第四象限．故选：D．6.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（）A．55

B．70C．85D．100参考答案：C7.函数处的切线方程是

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略8.函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．9.“a2+b2≠0”的含义为（）A．a和b都不为0B．a和b至少有一个为0C．a和b至少有一个不为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0参考答案：C【考点】逻辑联结词“或”．【专题】阅读型；探究型．【分析】对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．【解答】解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；A中a和b都不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对；D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；故选C【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．10.若定义在R上的函数f(x)的导函数为，则f(x)的单调增区间是（

）A.(－∞，0) B.[1，＋∞)C.(0,1] D.(－∞，0)∪[1，＋∞)参考答案：C【分析】解不等式，即可得出结果.【详解】因为的函数f(x)的导函数为，由，可得，所以，单调增区间为(0,1].故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数方法求函数的单调区间，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.小于100的自然数中被7除余3的所有数的和是_

参考答案：67912.在数列中，=____________.参考答案：31略13.数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=

．参考答案：1【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．14.函数的最小正周期为．参考答案：π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可．【解答】解：函数的最小正周期为：=π．故答案为：π．15.已知P，Q分别为直线和上的动点，则PQ的最小值为

．参考答案：由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.

16.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点的坐标为 .参考答案：(1.5,4)略17.（5分）（2014?菏泽一模）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC则b=．参考答案：4【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结合a2﹣c2=2b，即可求b的值．解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案为：4【点评】：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，a为实常数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）证明：对于任意的实数a，的图像与x轴有且仅有一个公共点．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）将代入函数解析式，得到，对函数求导，求出切线斜率，进而可得切线方程；（2）先对函数求导，得到，记，用导数的方法判断函数单调性，再分别讨论，两种情况，即可得出结论成立.【详解】（1）当时，，，故在处的切线为．（2），记，则故在上单调递减，在上单调递增，则有.①当时，∵，∴，又∵，当时，取，故在上存在唯一零点．当时，，故在上存在唯一零点．（用极限说明也可）②当时，记，∴在上单调递减，在上单调递增，，又∵，∴存在两个零点（用极限说明也可）即有两个极值点，记为可知在上增，在上减，在上增则为的极小值，∴，∴记，则即在上减，在上增，故∴又取，得故在上存在唯一零点．综上所述，上有唯一零点．【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，以及导数的方法研究函数零点的个数，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数单调性、最值等，即可，属于常考题型.19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中,直线l的极坐标方程为．（1）求出线C1的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线上的任意一点,求点P到直线l的距离最大值．参考答案：（1）曲线C1的极坐标方程，直线l的直角坐标方程为（2）【分析】（1）先求解的普通方程，然后将其转化为极坐标方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性求解最大值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数)，消去方程中的可得普通方程为，将，代入上式得．所以曲线的极坐标方程．直线l的极坐标方程为，即，将，代人上式，得，所以直线的直角坐标方程为．（2)设为曲线上任一点，则点P到直线l的距离，∴当时，的最大值，∴点P到直线l的距离的最大值为.【点睛】（1）直角坐标与极坐标的互化：，；（2）利用参数方程，将点设成三角函数表示的参数形式可用于计算曲线上的点到直线的距离问题，求解对应最值可根据三角函数的有界性完成求解即可.20.（本小题共14分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在圆：上.（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）由题意可得，

----------------------------------1分

又由题意可得，所以，

----------------------------------2分

所以,

----------------------------------3分

所以椭圆的方程为.

---------------------------------4分

所以椭圆的右顶点，

--------------------------------5分

代入圆的方程，可得,

所以圆的方程为.

------------------------------6分（Ⅱ）法1：假设存在直线:满足条件，

-----------------------------7分

由得----------------------------8分

设，则,

---------------------------------9分

可得中点，

--------------------------------11分

由点在圆上可得

化简整理得

--------------------------------13分

又因为，

所以不存在满足条件的直线.

--------------------------------14分（Ⅱ）法2：假设存在直线满足题意.由（Ⅰ）可得是圆的直径，

-----------------------------7分

所以.

------------------------------8分

由点是中点，可得.

--------------------------------9分

设点，则由题意可得.

--------------------------------10分

又因为直线的斜率不为0，所以,

-------------------------------11分

所以,-------------------------------13分

这与矛盾，所以不存在满足条件的直线.--------------------------14分21.（本题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙