湖北省荆州市石首新厂高级中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省荆州市石首新厂高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U={0，1，2，3，4），集合A={1，2，3），B={2，4}，则为A.{1,2,4)

B.{2,3,4)

C.{0,2,4)

D.{0,2,3,4)参考答案：C略2.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm参考答案：B方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，根据题意可知,故；又，，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，，将代入可得所以，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.

3.若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（

）A. B.2C. D.3参考答案：C【分析】设点，根据焦半径公式可求得的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；【详解】设点，为抛物线的焦点，，，，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（

）

A、

B、

C、

D、1参考答案：C5.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]参考答案：C【考点】幂函数的性质．【分析】由幂函数y=xa的图象经过点（8，4），求得幂函数的解析式，再由所得的解析式求出函数的值域、单调性等性质，得到答案．【解答】解：∵幂函数y=xa的图象经过点（2，4），∴4=2a，即22=2a解得a=2故函数的解析式为y=x2，故函数图象经过点（﹣1，1）；A正确；当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]；正确；由于f（﹣x）=（﹣x）2=x2，函数不满足f（x）+f（﹣x）=0；C错；函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]；正确故选C．6.复数化简的结果为

A.

B.

C.

D.参考答案：A，选A.7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足的，，有，则（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.8.设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“,且”是“的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B9.若，，则等于（

）

A.

B.

C.

D.无法计算参考答案：B10.已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为A. B. C. D.参考答案：D本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概率为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P（x,y）在不等式表示的平面区域上运动，

则的最大值是＿＿＿＿参考答案：略12.不等式的解集是

。参考答案：13.已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间上是增函数，则实数t

的取值范围是_________．参考答案：略14.已知函数f(x)＝x的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为________(注：将所有正确命题的序号都填上)．参考答案：②③15.=___________．参考答案：略16.设是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，则实数a的取值范围是____．参考答案：【知识点】奇函数函数的周期性B4解析：因为f(2015)=f(671×3+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)＜-1,得，解得，所以实数a的取值范围是【思路点拨】先利用函数的周期性与奇函数的性质把所求函数值与已知函数值建立起联系，在利用已知函数值范围解不等式即可.17.函数的零点个数是

．参考答案：2由，得在同一坐标系中作出与的图象，可知交点个数为2，即的零点个数为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设

(Ⅰ）求函数的不动点；

(Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使恒成立的常数的值；参考答案：（Ⅰ）设函数

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常数.

19.（本小题满分13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an（n≥1）．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列{2nan}的前n项和为Tn，An=+++…+．试比较An与的大小．参考答案：20.某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：M900700300100y0.53.56.59.5哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：M

（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]频数361263（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．【解答】解：（1）=（9+7+3+1）=5，=（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，则==﹣1.05，=5﹣（﹣1.05）×5=10.25，故．（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为=0.1，AQI指数在200至400的频率为=0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设每月的收入为X，则X的分布列为X﹣200040007000P0.10.20.7则X的数学期望为E（X）=﹣2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500，即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．21.设等差数列的前项和为,且(是常数,),.(1)求的值及数列的通项公式;(2)证明:.参考答案：(Ⅰ)解:因为,所以当时,,解得,

当时,,即,解得,所以,解得;

则,数列的公差,所以.

(Ⅱ)因为

.

因为所以略22.

设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

参考答案：证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，，其中k为任意整数。容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然